Z11/1. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO – ZADANIE 1
1
Z11/1. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO – ZADANIE 1
Z11/1.1. Zadanie 1
Dany jest pręt pryzmatyczny (o stałym przekroju) o długości 1,0 m. Przekrój pręta jest przekrojem kołowym o promieniu 10,0 cm przedstawiony na rysunku Z11/1.1. Pręt ten jest skręcany momentem skręcającym o wartości -10,0 kNm (wkręcającym się do pręta). Wyznaczyć naprężenia styczne τXY i τXZ
w punkcie A znajdującym się na krawędzi przekroju kołowego przedstawionego na rysunku Z11/1.1 a nas-tępnie wyznaczyć całkowity kąt skręcenia tego pręta. Pręt jest wykonany ze stali o module Younga równym 205 GPa i współczynniku Poissona równym 0,3.
10,0 kNm
10,0
10,0 kNm
10,0 kNm
1,0
[m]
Y=Y =Y
0
gl
[cm]
A
6,0
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z11/1.1. Pręt o przekroju kołowym Z11/1.2. Wyznaczenie naprężeń stycznych i całkowitego kąta skręcenia Główne momenty bezwładności przekroju kołowego przedstawionego na rysunku Z11/1.6 wynoszą
⋅10,04
J = J
=
=7854 cm 4 .
(Z11/1.1)
Ygl
Zgl
4
Czyli biegunowy moment bezwładności wynosi J =78547854=15710 cm 4
0
.
(Z11/1.2)
Zgodnie z rysunkiem Z11/1.2 współrzędna z punktu A wynosi z = 10,02−6,02=8,0 cm .
(Z11/1.3)
A
Tangens kąta nachylenia promienia w punkcie A wynosi 8,0
tg =
=1,333 .
(Z11/1.4)
6,0
Dr inż. Janusz Dębiński
Z11/1. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO – ZADANIE 1
2
10,0 kNm
53,12O
Y=Y =Y
0
gl
,0
8,0
10
A
[cm]
6,0
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z11/1.2. Współrzędne punktu A Czyli kąt nachylenia promienia w punkcie A do poziomu wynosi arc tg 1,333=53,12 ° .
(Z11/1.5)
Wartość bezwzględna momentu skręcającego działającego w przekroju pręta przedstawionego na rysunku Z11/1.1. wynosi
∣M∣=10,0 kNm=1000 kNcm .
(Z11/1.6)
Wartość bezwzględna wypadkowego naprężenia stycznego τ (A) X
w punkcie A, zgodnie ze wzorem (11.1), wynosi
∣
1000
kN
A∣=
⋅10,0=0,6365
=6,365 MPa
X
.
(Z11/1.7)
15710
cm 2
10,0 kNm
6,365 MP
53,12O
a
Y=Y =Y
τ (A)
XZ
0
gl
53,12O
τ (A)
XY
A
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z11/1.3. Wypadkowe naprężenie styczne w punkcie A Dr inż. Janusz Dębiński
Z11/1. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO – ZADANIE 1
3
Rysunek Z11/1.3 przedstawia wypadkowe naprężenie styczne od działania momentu skręcającego τ (A)
(A)
(A)
X
oraz składowe naprężenia styczne τXY i τXZ . Wartość bezwzględna składowego naprężenia stycznego τ (A)
XY
wynosi
∣ A∣=6,365⋅ sin53,12°=5,091 MPa XY
.
(Z11/1.8)
Wartość bezwzględna składowego naprężenia stycznego τ (A) XZ
wynosi
∣ A∣=6,365⋅ cos53,12°=3,820 MPa .
(Z11/1.9)
XZ
Rysunek Z11/1.4 przedstawia składowe naprężenia styczne τ (A) (A)
XY
i τXZ w punkcie A przekroju kołowego od działania momentu skręcającego.
10,0 kNm
a
6,365 MPa
20 MP
Y=Y =Y
3,8
0
gl
5,091 MPa
A
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z11/1.4. Składowe naprężenia styczne w punkcie A Jak widać na rysunku Z11/1.4 składowe naprężenie styczne τ (A) XY
wynosi
A
XY=5,091 MPa
.
(Z11/1.10)
Składowe naprężenie styczne τ (A) XZ
wynosi
A =−3,820 MPa .
(Z11/1.11)
XZ
Moduł Kirchhoffa dla materiału, z którego wykonany jest skręcany pręt o przekroju kołowym ma wartość
205
kN
G=
=78,85 GPa=78850 MPa=7885
.
(Z11/1.12)
2⋅ 10,3
cm 2
Długość pręta wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z11/1. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO – ZADANIE 1
4
L=1,0 m=100,0 cm .
(Z11/1.13)
Całkowity kąt skręcenia pręta o przekroju kołowym, zgodnie ze wzorem (11.6), wynosi
−1000⋅100
=
=−8,073⋅10−4 rad =−0,0463 ° .
(Z11/1.14)
7885⋅15710
Dr inż. Janusz Dębiński