Egzamin z Równań Różniczkowych, 25 VI 2009

1. Zadanie wstępne

Nr

Zadanie

Odp.

1.1

Napisać równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego, którego całkami
szczególnymi są: y

1

= e

x

, y

2

= xe

x

Rozwiązanie:
(r − 1)

2

= 0

równanie charakterystyczne

r

2

− 2r + 1 = 0

y

00

− 2y

0

+ y = 0

y

00

− 2y

0

+ y =

0

1.2

Wyznaczyć krzywą całkową równania y

0

= 3x

2

y , do której należy

punkt P (5, 0)
Rozwiązanie:

dy

dx

= 3x

2

y

dy

y

= 3x

2

dx

rozdzielamy zmienne

ln |y| = x

3

+ C

całkujemy

y = Ce

x

3

0 = Ce

125

=⇒ C = 0

y = 0

1.3

Rozwiązać równanie: y(1 + x

2

)y

0

=

1

2

Rozwiązanie:

2y dy =

dx

1 + x

2

rozdzielamy zmienne

y

2

= arc tg x + C

całkujemy

y

2

=

arc tg x + C

1.4

Zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

2n − 2

2n + 3

n

Rozwiązanie:
Korzystamy z warunku koniecznego:

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

2n − 2

2n + 3

n

= lim

n→∞

1 +

−5

2n + 3

n

=

lim

n→∞







1 +

−5

2n + 3

2n + 3

−5







−5n

2n + 3

= e

−

5
3

6= 0

szereg

jest

rozbieżny

1.5

Zapisać w postaci ogólnej równanie płaszczyzny normalnej do krzywej
K : x = t , y = t

2

, z = 3t w punkcie P (1, 1, 3)

Rozwiązanie:

~

r(t) = [t, t

2

, 3t]

Punkt P odpowiada t = 1

˙

~

r(t) = [1, 2t, 3]

,

˙

~

r(1) = [1, 2, 3]

1 · (x − 1) + 2 · (y − 1) + 3 · (z − 3) = 0

płaszczyzna normalna

x + 2y + 3z − 12 = 0

x + 2y + 3z −
12 = 0

1

2. Rozwiązać równanie:

y

0

= −

1

x

y + xy

3

dla x > 0

Rozwiązanie:

y

0

+

1

x

y = xy

3

równanie Bernoulliego , α = 3

u = y

1−3

= y

−2

podstawiamy nową funkcję u(x)

y = u

−

1
2

dla y ­ 0

y

0

= −

1
2

u

−

3
2

u

0

−

1
2

u

−

3
2

u +

1

x

u

−

1
2

= xu

−

3
2

u

0

−

2

x

u = −2x

równanie liniowe

u

0

−

2

x

u = 0

równanie liniowe jednorodne

du

u

=

2

x

dx

rozdzielamy zmienne

Z

du

u

=

Z

2

x

dx

całkujemy

ln |u| = 2 ln |x| + C

u = Cx

2

rozwiązanie ogólne równannia liniowego jednorodnego

u = C(x)x

2

uzmienniamy stałą

u

0

= C

0

x

2

+ 2xC

C

0

x

2

+ 2xC −

2

x

Cx

2

= −2x

C

0

= −

2

x

C =

Z

−

2

x

dx = −2 ln |x| + D

u = (−2 ln |x| + D)x

2

y =

1

q

(−2 ln |x| + D)x

2

=

1

x

√

−2 ln x + D

x > 0

2

3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego











y

00

(x

2

+ 1) − 2xy

0

= 0

y(0) = 1
y

0

(0) = 5

Rozwiązanie:

Jest to równanie rzędu drugiego bez y. Podstawiamy:

y; = p(x)

y

00

= p

0

p

0

(x

2

+ 1) − 2xp = 0

równanie o zmiennych rozdzielających się

dp

p

=

2x

x

2

+ 1

dx

rozdzielamy zmienne

Z

dp

p

=

Z

2x

x

2

+ 1

dx

całkujemy

ln |p| = ln |x

2

+ 1| + C

licznik jest pochodną mianownika, podstawiamy t = x

2

+ 1

p = C(x

2

+ 1)

5 = C

z warunku y

0

(0) = 5 mamy p(0) = 5

p = 5x

2

+ 5

y

0

= 5x

2

+ 5

y =

Z

5x

2

+ 5 dx =

5

3

x

3

+ 5x + D

1 = D

z warunku y(0) = 1

y =

5

3

x

3

+ 5x + 1

Odpowiedź:

y =

5

3

x

3

+ 5x + 1

3

4. Rozwiązać równanie:

y

00

− y

0

= e

x

+ x

Rozwiązanie:

Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:

y

00

− y

0

= 0

r

2

− r = 0

równanie charakterystyczne

r(r − 1) = 0

r

1

= 0 , r

2

= 1

y = C

1

+ C

2

e

x

rozwiązanie ogólne równannia liniowego jednorodnego

Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:

y

00

− y

0

= e

x

Przewidujemy rozwiązanie w postaci:

y

s

= Ae

x

x

y

0

s

= Ae

x

x + Ae

x

y

0

s

= Ae

x

x + 2Ae

x

Ae

x

x + 2Ae

x

− Ae

x

x − Ae

x

= e

x

A = 1

y

s

= e

x

x

Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:

y

00

− y

0

= x

Przewidujemy rozwiązanie w postaci:

y

s

= (Ax + B)x = Ax

2

+ V x

y

0

s

= 2Ax + B

y

0

s

= 2A

2A − 2Ax − B = x

−2A = 1 , 2A − B = 0

A = −

1
2

, B = −1

y

s

= −

1
2

x

2

− x

Odpowiedź:

y = C

1

+ C

2

e

x

+ xe

x

−

1
2

x

2

− x

4

5. Wyznaczyć przedział zbiezności szeregu potęgowego:

∞

X

n=1

[2 + (−1)

n

]

x

3

n

Rozwiązanie:

a

n

=

2 + (−1)

n

3

n

q = lim

n→∞

n

q

|a

n

| = lim

n→∞

1

3

n

q

2 + (−1)

n

1 ¬

n

q

2 + (−1)

n

¬

n

√

3

twierdzenie o trzech ciągach

lim

n→∞

n

√

3 = 1

Stąd

q =

1

3

Promień zbieżności szeregu jest równy:

R =

1

q

= 3

Szereg jest zbieżny na przedziale x ∈ (−3 , 3) . Badamy zbieżność na końcach prze-
działu:

x = −3

∞

X

n=1

[2 + (−1)

n

]

−3

3

n

=

∞

X

n=1

[2 · (−1)

n

+ 1]

|a

n

| = 2 + (−1)

n

­ 1 więc lim

n→∞

a

n

6= 0 , warunek konieczny nie jest spełniony więc

szereg jest rozbieżny dla x = −3

x = 3

∞

X

n=1

[2 + (−1)

n

]

3

3

n

=

∞

X

n=1

[2 + (−1)

n

]

a

n

= 2 + (−1)

n

­ 1 więc lim

n→∞

a

n

6= 0 , warunek konieczny nie jest spełniony więc szereg

jest rozbieżny dla x = 3

Odpowiedź:

Szereg jest zbieżny dla x ∈ (−3 , 3)

5

6. Wyznaczyć współczynniki szeregu Fouriera funkcji:

f (x) =































0 dla x ∈ [−π, −

π

2

]

−1 dla x ∈ (−

π

2

, 0)

0 dla x = 0
1 dla x ∈ (0,

π

2

)

0 dla x ∈ [

π

2

, π]

dla n = 1, 2, 3, 4 . Podać wartość sumy tego szeregu dla argumentu

π

4

i

π

2

Rozwiązanie:

Ponieważ funkcja jest nieparzysta, więc a

n

= 0 , n = 0, 1, 2, . . .

b

n

=

1

π

π

Z

−π

f (x) sin nx dx =

2

π

π

Z

0

f (x) sin nx dx =

2

π

π

2

Z

0

1 · sin nx dx =

2

π

− cos nx

n

π

2

0

=

2(− cos n

π

2

+ 1)

nπ

Korzystamy z parzystości funkcji podcałkowej.

Stąd:

a

1

= a

2

+ a

3

= a

4

= 0

b

1

=

2

π

b

2

=

2

π

b

3

=

2

3π

b

4

= 0

W punkcie x =

π

4

funkcja f (x) jest ciągła, więc szereg Fouriera jest zbieżny do f (

π

4

) = 1.

W punkcie x =

π

2

funkcja f (x) nie jest ciągła, więc szereg Fouriera jest zbieżny do

średniej arytmetycznej granic lewostronnej i prawostronnej f w x =

π

2

:

S

F

(

π

2

) =

1 + 0

2

=

1

2

Odpowiedź:

a

1

= a

2

+ a

3

= a

4

= 0

b

1

=

2

π

; b

2

=

2

π

; b

3

=

2

3π

; b

4

= 0

S

F

(

π

4

) = 1

S

F

(

π

2

) =

1

2

6