Matematyka 2 Podręcznik dla gimnazjum STARA WERSJA praca zbiorowa pod redakcją M Dobrowolskiej E book

Niniejsza darmowa publikacja zawiera jedynie fragment

pełnej wersji całej publikacji.

Aby przeczytać ten tytuł w pełnej wersji

kliknij tutaj

Niniejsza publikacja może być kopiowana, oraz dowolnie

rozprowadzana tylko i wyłącznie w formie dostarczonej przez

NetPress Digital Sp. z o.o., operatora

sklepu na którym można

nabyć niniejszy tytuł w pełnej wersji

. Zabronione są

jakiekolwiek zmiany w zawartości publikacji bez pisemnej

zgody

NetPress oraz wydawcy niniejszej publikacji. Zabrania się jej

od-sprzedaży, zgodnie z

regulaminem serwisu

Pełna wersja niniejszej publikacji jest do nabycia w sklepie

internetowym

Nexto.pl

Zespół autorów:

Zoﬁa Bolałek

Małgorzata Dobrowolska

Marta Jucewicz

Marcin Karpiński

Jacek Lech

Adam Mysior

Krystyna Zarzycka

Okładka i zdjęcia na okładce: Leszek Jakubowski

Ilustracje: Sławomir Kilian

Graﬁka komputerowa: Leszek Jakubowski

Skład (TEX): Joanna Marszałkowska, Andrzej Mysior

Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego
do spraw oświaty i wychowania i wpisany do wykazu podręczników szkol-
nych do kształcenia ogólnego do nauczania matematyki na poziomie klasy
drugiej gimnazjum na podstawie recenzji rzeczoznawców: dr. Leona Gul-
gowskiego, mgr Leokadii Koper, dr. Zenona Krzemianowskiego i mgr. Wa-
cława Wawrzyniaka. Numer w wykazie: 88/00.

Książka jest zgodna z programem Matematyka z plusem, dopuszczonym
przez MEN do użytku szkolnego. Numer dopuszczenia: DKW–4014–139/99.

ISBN 83–87788–40–6

Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, 80–309 Gdańsk, al. Grunwaldzka 413

Gdańsk 2005. Wydanie szóste

Druk i oprawa: Interak, Czarnków

Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe
80–876 Gdańsk 52, skr. poczt. 59
tel./fax 0–801 643–917, fax (58) 340–63–61
tel. (58) 340–63–60 lub 340–63–63
e-mail: gwo@gwo.pl

http://www.gwo.pl

Spis treści

POTĘGI I PIERWIASTKI

Potęga o wykładniku naturalnym

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach

. . . . . . . . . . . . . . .

Potęgowanie potęgi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Działania na potęgach

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Notacja wykładnicza

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pierwiastki. Przykłady liczb niewymiernych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Działania na pierwiastkach

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Działania na pierwiastkach (cd.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DŁUGOŚĆ OKRĘGU. POLE KOŁA

Liczba π . Długość okręgu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pole koła

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Długość łuku. Pole wycinka koła

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Jednomiany i sumy algebraiczne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mnożenie sum algebraicznych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kwadrat sumy i kwadrat różnicy

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Iloczyn sumy przez różnicę

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Równania i nierówności

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

UKŁADY RÓWNAŃ

Do czego służą układy równań?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rozwiązywanie układów równań

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rozwiązywanie układów równań (cd.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ile rozwiązań może mieć układ równań?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

Zadania tekstowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

Procenty w zadaniach tekstowych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

TRÓJKĄTY PROSTOKĄTNE

Twierdzenie Pitagorasa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

. . . . . . . . . . . . . . .

130

Zastosowania twierdzenia Pitagorasa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych

. . . . . . . . . . . . .

138

Przekątna kwadratu. Wysokość trójkąta równobocznego

. . . . . . .

141

Trójkąty o kątach 90

◦

, 45

◦

, 45

◦

oraz 90

◦

, 30

◦

, 60

◦

. . . . . . . . . . . . . .

145

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

WIELOKĄTY I OKRĘGI

Okrąg opisany na trójkącie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

Styczna do okręgu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157

Okrąg wpisany w trójkąt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

Wielokąty foremne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

Wielokąty foremne — okręgi wpisane i opisane

. . . . . . . . . . . . . . . .

170

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

GRANIASTOSŁUPY

Przykłady graniastosłupów

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

Siatki graniastosłupów. Pole powierzchni

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182

Objętość prostopadłościanu. Jednostki objętości

. . . . . . . . . . . . . . .

186

Objętość graniastosłupa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

Odcinki w graniastosłupach

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195

Kąty w graniastosłupach

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

206

OSTROSŁUPY

Rodzaje ostrosłupów

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

Siatki ostrosłupów. Pole powierzchni

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

214

Objętość ostrosłupa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

218

Obliczanie długości odcinków w ostrosłupach

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

221

Kąty w ostrosłupach

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227

Przekroje graniastosłupów i ostrosłupów

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

234

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

239

STATYSTYKA

Czytanie danych statystycznych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

242

Co to jest średnia?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

252

Zbieranie i opracowywanie danych statystycznych

. . . . . . . . . . . . .

255

Zdarzenia losowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

Zadania uzupełniające

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

266

ODPOWIEDZI

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

269

SKOROWIDZ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

277

Od autorów

Podręcznik składa się z dziewięciu głównych rozdziałów, podzielonych na

krótkie jednostki tematyczne (1–3 lekcje). Każda jednostka tematyczna za-

wiera część teoretyczną i zadaniową. Część teoretyczna przekazuje najważ-

niejsze informacje dotyczące danego tematu i przeplatana jest ćwiczeniami,

stanowiącymi propozycję metodyczną wprowadzania nowego zagadnienia.

Część zadaniowa zawiera zadania o różnym stopniu trudności i zakończona

jest krótkim testem, opatrzonym tytułem Sprawdź, czy umiesz, który moż-

na wykorzystać jako podsumowanie lekcji. Na końcu każdego rozdziału

zamieszczony jest blok Zadania uzupełniające, pełniący rolę dodatko-

wego zbioru zadań. Łącznie w podręczniku znajduje się około 1000 zadań.

Do wielu z nich podajemy odpowiedzi lub wskazówki dotyczące sposobu

rozwiązania.

W towarzyszącym podręcznikowi Zeszycie ćwiczeń zamieściliśmy zadania,

których rozwiązanie w „normalnym” zeszycie byłoby niemożliwe lub wiąza-

łoby się ze zbyt dużą stratą czasu.

Podręcznik jest zgodny z programem Matematyka z plusem.

Pragniemy serdecznie podziękować za cenne uwagi i wskazówki recenzen-

tom książki: dr. L. Gulgowskiemu, mgr L. Koper, dr. Z. Krzemianowskiemu

oraz mgr. W. Wawrzyniakowi. Miło nam również wyrazić podziękowanie

za pomoc przy pracy nad podręcznikiem mgr. mgr. J. Kniter, M. Nowik,

J. Szostakiewicz i J. Trzeciakowi.

♦

Uwaga.

Dla wyróżnienia stopnia trudności zadań przyjęliśmy następujące

oznaczenia:

zadanie nieelementarne (niekoniecznie trudne)

∗ zadanie trudniejsze

∗

zadanie trudne

POTĘGI I PIERWIASTKI

POTĘGA O WYKŁADNIKU NATURALNYM

Pamiętasz zapewne, że iloczyn takich samych czynników można zapi-
sać w postaci potęgi.

ĆWICZENIE A. Każdy z podanych iloczynów przedstaw w postaci potęgi:

· 7 · 7 · 7

(−5)

· (−5) · (−5)

(−0,2)

· (−0,2)

1
3

· 1

1
3

· 1

1
3

· 1

1
3

· 1

1
3

W języku polskim słowo potęga jest równoznaczne z wielkością, siłą,
mocą. Nie bez powodu wielokrotne mnożenie przez siebie takiego sa-
mego czynnika zostało nazwane potęgowaniem.

Spróbuj sobie wyobrazić ogromny arkusz cieniutkiej bibułki o grubo-
ści 0,01 mm. Arkusz ten składamy na pół, potem jeszcze raz na pół
i jeszcze raz na pół itd.

Po pierwszym złożeniu bibułka składałaby się
z dwóch warstw i jej grubość wynosiłaby:

· 0,01 mm

Po drugim złożeniu grubość otrzymanej bi-
bułki byłaby 2 razy większa od poprzedniej
i wynosiłaby:

· 2 · 0,01 mm = 2

· 0,01 mm

Po trzecim złożeniu grubość bibułki byłaby
znowu 2 razy większa i wynosiłaby:

· 2 · 2 · 0,01 mm = 2

· 0,01 mm

ĆWICZENIE B. Oblicz, jaką grubość miałaby bibułka po dziesiątym złożeniu.

Potęgi i pierwiastki

Przypuśćmy, że moglibyśmy złożyć bibułkę 50 razy. Jak myślisz, z czym
można byłoby porównać grubość otrzymanej w ten sposób bibułki
— z długością ołówka, ze wzrostem człowieka, a może z odległością
z Gdańska do Warszawy?

Otóż okazuje się, że złożona bibułka miałaby grubość ponad 25 razy
większą niż odległość z Ziemi do Księżyca! Odpowiednie obliczenia
znajdziesz w jednym z następnych rozdziałów (str. 24).

Obliczając kolejne potęgi liczby 2, bardzo szybko otrzymujemy ogromne

liczby. Zauważ, że obliczając kolejne potęgi liczby

1
2

, otrzymujemy coraz

mniejsze liczby:

1
2

1
4

1
2

1
8

1
2

itd.

Jeżeli n jest liczbą naturalną, to dla n > 1

= a

· a · a ·

. . .

·a

n czynników

Przyjmujemy ponadto, że

= a

oraz

dla a

= 0,

= 1

Uwaga. Wartość potęgi 0

nie jest określona, tzn. zapis 0

nie oznacza

żadnej liczby.

PRZYKŁADY

= 3

· 3 · 3 · 3 = 81

(−2)

= −2

−1

1
2

−

3
2

−

3
2

−

3
2

−

= −3

3
8

(−1,3758)

= 1

ZADANIA

ZESZYT ĆWICZEŃ str. 5

Oblicz w pamięci:

a) 5

c) 0

e) (−3)

g) (−14,3)

i) 0,2

1
2

2
3

f) (−1)

h) (−3)

j) (−0,1)

Potęga o wykładniku naturalnym

Oblicz:

a) 1,6

c) (−0,2)

e) (−1,1)

g) 0,12

−1

1
4

2
5

1
3

f) −1,1

h) −0,03

j) −

−1

1
2

Ile różnych liczb przedstawiono poniżej?

(−5)

(−1)

(−5)

(−1)

Jaki znak: < , = czy > należy wpisać w miejsce

♦

a) (−0,3)

♦

e) (−6)

♦

(−6)

i) −2

♦

(−2)

b) 0

♦

−

5
6

f) (−5)

♦

(−5)

j) 0,1

♦

0,1

c) 8

♦

g) −9

♦

(−9)

k) 0,7

♦

0,7

−2

1
4

♦

1
4

1
3

♦

1
3

−

1
2

♦

−

1
2

Uporządkuj rosnąco liczby:

a) (−7)

(−7)

(−5)

−

2
9

−

2
9

−

2
9

b) −2

(−2)

(−3)

−3

2
3

3
2

2
3

Ustal, czy wynik działania jest liczbą dodatnią, czy ujemną.

−

−18

· (−27)

(−2,5)

− (−11)

· (−5)

−13

· (−12)

Oto fragment zeszytu pewnego ucznia. Które obliczenia uczeń ten
wykonał błędnie?

Wiedząc, że 2

= 1024, oblicz:

(−2)

−2

−

1
2

−0,5

(−0,5)

Potęgi i pierwiastki

Każdą liczb

ę naturalną

złożoną mo

żna przedst

wić w post

aci iloczynu

potęg liczb

pierwszych.

2178

1089

363

121

2178 = 2

· 3

· 11

a) Korzystając z podanych rozkładów liczb

360, 3087, 5746, 41503 na czynniki pierwsze,
zapisz każdą z tych liczb w postaci iloczynu
potęg liczb pierwszych.

360

180

3087

1029

343

5746

2873

221

41503

5929

847

121

b) Przedstaw każdą z liczb: 648, 2800, 10125, 1936 w postaci iloczynu
potęg liczb pierwszych.

Iloczyn potęg kolejnych

Liczba

Szyfr

liczb pierwszych

2940

· 3

· 5

· 7

2 − 1 − 1 − 2

200

· 3

· 5

3 − 0 − 2

· 3

· 5

· 7

0 − 0 − 0 − 1

10.

a) Zaszyfruj (w sposób,

który przedstawia tabela) licz-
by: 10, 45, 16, 121 oraz twój
numer z dziennika lekcyjnego.

b) Rozszyfruj liczby:

0 − 1 − 0 − 1 − 2

0 − 0 − 0 − 2 − 1

5 − 2 − 0 − 1

0 − 0 − 0 − 0 − 0 − 0 − 1 − 1

11.

a) Dla jakich liczb naturalnych n liczba 3

jest większa od 100, a dla

jakich większa od 1000?

b) Dla jakich liczb naturalnych m liczba m

jest większa od 100, a dla

jakich większa od 1000?

∗

12.

a) Wykaż, że prawdziwe są następujące równości:

+ 2

= 2

(−3)

+ (−3)

= −3

b) Zapisz w postaci jednej potęgi:

+ 2

· (3

+ 3

)

∗

13.

a) Ile siódemek należy dodać, aby otrzymać liczbę 7

b) Ile siódemek należy dodać, aby otrzymać liczbę 7

c) Ile siódemek należy dodać, aby otrzymać 7

OSTROSŁUPY

RODZAJE OSTROSŁUPÓW

Wiele budowli ma kształt graniasto-
słupów. Władcy starożytnego Egiptu
uznali jednak, że bryłą, która naj-
lepiej przedstawi ich potęgę, będzie
ostrosłup. Taki kształt mają grobow-
ce faraonów — piramidy.

Na rysunku przedstawiono różne modele ﬁgur przestrzennych. Figury
zaznaczone na zielono to przykłady ostrosłupów.

Podstawą ostrosłupa może być dowolny wielokąt, a ścianami bocz-
nymi są trójkąty o wspólnym wierzchołku.

210

Ostrosłupy

Jeżeli podstawą ostrosłupa jest trójkąt,
to ostrosłup nazywamy trójkątnym,
jeśli czworokąt, to czworokątnym, jeśli
pięciokąt, to pięciokątnym itd.

Ostrosłup trójkątny nazywamy też
czworościanem.

Wspólny wierzchołek ścian bocznych
nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.

Na każdym z poniższych rysunków zaznaczony jest odcinek, łączący
wierzchołek ostrosłupa W z płaszczyzną podstawy i prostopadły do
tej płaszczyzny. Taki odcinek nazywamy wysokością ostrosłupa. Wy-
sokością ostrosłupa nazywamy także długość tego odcinka.

Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy (na rysunku ozna-
czony literą S) nazywamy spodkiem wysokości. Zauważ, że spodek
wysokości nie zawsze leży na podstawie ostrosłupa.

Jeśli podstawą ostrosłupa jest wielokąt foremny i krawędzie boczne
mają równe długości, to taki ostrosłup nazywamy prawidłowym.

ĆWICZENIE A. Wskaż na modelach ostrosłu-

pów prawidłowych, gdzie leży spodek wysoko-
ści każdego z tych ostrosłupów.

W ostrosłupie prawidłowym:

• ściany boczne są przystającymi trójką-
tami równoramiennymi,

• spodek wysokości jest środkiem okręgu
opisanego na podstawie ostrosłupa.

Rodzaje ostrosłupów

211

Ostrosłup, którego wszystkie ściany
są trójkątami równobocznymi, nazy-
wamy czworościanem foremnym.

Zauważ, że z płaskiego rysunku, bez do-
datkowych informacji, nie można odczy-
tać, czy jest to ostrosłup prawidłowy.

Rysunki przedstawiają, w jaki sposób można narysować ostrosłup.

1 Zaczynamy od naszkicowania podstawy.

2 Rysujemy wysokość.

3 Dorysowujemy krawędzie boczne.

ĆWICZENIE B. Spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego jest środkiem okrę-
gu opisanego na podstawie ostrosłupa. Podaj jak najprostszy sposób wyzna-
czania spodka wysokości w ostrosłupie prawidłowym:

a) czworokątnym,

b) sześciokątnym,

c) trójkątnym.

Rysując ostrosłup prawidłowy, warto zaznaczyć spodek wysokości.

Ostrosłup prawidłowy czwo-
rokątny. Spodek wysokości
leży na przecięciu przekąt-
nych podstawy.

Ostrosłup prawidłowy sześ-
ciokątny. Spodek wysokości
leży na przecięciu dłuższych
przekątnych podstawy.

Ostrosłup prawidłowy trój-
kątny (czworościan). Spodek
wysokości leży na przecięciu
wysokości podstawy.

212

Ostrosłupy

ZADANIA

ZESZYT ĆWICZEŃ str. 52

Ile krawędzi i ile ścian mają narysowane ostrosłupy?

Podaj, ile krawędzi i ile ścian ma ostrosłup:

a) pięciokątny,

b) dwunastokątny,

c) stukątny,

d) n-kątny.

a) Ile krawędzi ma ostrosłup o 9 wierzchołkach podstawy?

b) Ile ścian ma ostrosłup o 20 krawędziach?

c) Ile wierzchołków podstawy ma ostrosłup o 30 ścianach bocznych?

Oblicz sumę długości krawędzi każdego z narysowanych ostrosłupów.

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego
o krawędzi podstawy długości 5,5 cm.

Z drutu o długości 60 cm zbudowano szkielet ostrosłupa prawidło-
wego. Jaką długość ma krawędź boczna, jeśli podstawa jest:

a) kwadratem o boku długości 3 cm,

b) sześciokątem o boku długości 4 cm,

c) trójkątem o boku długości 1 dm,

d) stukątem o boku długości 0,2 mm?

Rodzaje ostrosłupów

213

Które zdania są prawdziwe? W każdym ostrosłupie:

a) wszystkie krawędzie mają wspólny punkt,

b) liczba wszystkich krawędzi jest parzysta,

c) liczba wszystkich ścian jest nieparzysta,

d) wszystkie ściany boczne są trójkątami,

e) z każdego wierzchołka wychodzą 3 krawędzie,

f) krawędzi jest tyle, ile wszystkich ścian,

g) krawędzi bocznych jest tyle, ile ścian bocznych,

h) spodek wysokości leży na podstawie ostrosłupa.

Narysuj:

a) ostrosłup prawidłowy czworokątny,

b) ostrosłup prawidłowy sześciokątny,

c) ostrosłup prawidłowy trójkątny.

SPRAWDŹ, CZY UMIESZ

Ostrosłupem jest bryła przedstawiona na rysunku:

Ostrosłup o 30 krawędziach ma:

30 ścian bocznych

20 ścian bocznych

piętnastokąt w podstawie

20 krawędzi bocznych

Na zbudowanie szkieletu ostrosłupa prawidłowego czworokątnego,
którego wszystkie krawędzie mają równe długości, zużyto 120 cm
drutu. Jedna krawędź tego szkieletu ma długość:

12 cm

15 cm

20 cm

30 cm

ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE 1–5 str. 239

ODPOWIEDZI

str. 12 –15:

a) (−7)

, 5

, (−5)

, (−7)

, b) −3

, (−3)

, −2

, (−2)

, c) (−

2
9

)

, (

2
9

)

, (−

2
9

)

, (−

2
9

)

d) (

2
3

)

, (

2
3

)

, (

3
2

)

, (

3
2

)

Błędne obliczenia: a, b, d, e, f, g, i.

10.

b) 2541, 539, 2016, 323.

12.

b) 2

, 3

14.

1, 6, 9, 1, 7.

15.

a) 64, b)

c) 3,

d) 10, e) 4, f) 0,008,

g) 3

1
2

h) 0,007, i) 12

1
2

, j) −15,2, k) 55, l) 175, m) 4, n) 22, o) −1

16.

Suma cyfr wynosi 907.

17.

Na wysokość 7,68 cm; po siódmym odbiciu.

18.

11111111110 osób.

str. 17 –18:

a) 9, b) 5, c) 32.

a) 11, b) 9, c) 11, d) 9, e) 5, f) 5.

a) 1 km,

b) tak, linia miałaby 1000 km.

11.

a) −2, b) 1, c) −7, d) −

, e) −0,00001, f) −0,2.

str. 20:

a) 64

, 16

, 4

, 8

, b) 9

, 81

, 3

, 27

, c) 4

, 4

, 2

2048

200

, 2

500

, 4

300

, 3

400

str. 22 –23:

a) 10000000, b) 32, c) 1024, d) 81, e) 8, f) 0,0625, g) 27, h) 100000000,

i) −512000000000, j) 1, k) 2

1
4

, l) 625.

a) 1

2
3

, b) −56, c)

729

, d) 53

1
3

, e) 10

1
2

, f) −1

7
8

str. 25 –26:

a) 3

, b) 2

, c) 2

, d) 5

, e) (

1
3

)

, f) 0,5

, g) 0,1

, h) 10

a = e, b = c,

d = f , g = h.

a) 2

269

b) 2

298

a) Wsk. 44

< (4

)

= 4

)

= 4

256

b) wsk. 32

= 2

> 64

= 2

< 4

= 2

a) 5 zer,

b) 4 zera,

c) 10 zer,

d) 6 zer.

a) 512,

b) 3,

c) 32,

d) 36,

e) 20,

1
2

g) −1,

h) 215

15
16

i) 0.

b) Około 17000 kg.

10.

Z prędkością około 32 km/s; prędkość ta jest około 106 razy większa

od prędkości dźwięku.

11.

Około 1000 chmur.

str. 28 –30:

Wszystkie oprócz c i h.

, b) 18, c) 15

13
16

, d)

1
7

, e)

, f) 9.

str. 32 –33:

a) 465 m = 4,65

· 10

mm, 465 mm = 4,65

· 10

−1

b) 326 kg = 3,26

· 10

326 g = 3,26

· 10

−1

kg, c) 13 km = 1,3

· 10

cm, 13 cm = 1,3

· 10

−4

km, d) 2400 kg = 2,4

· 10

mg,

2400 mg = 2,4

· 10

−3

kg.

Około 29 lat.

str. 36 –38:

a) 8, b) 8, c) 30, d) 1

1
9

, e) 4, f) 4, g) 5, h) 38, i) 1

4
5

, j) −

11
36

, k) 2,

l) 13.

a) 90, b) 99 %.

10.

Około 3,7 cm.

str. 39 –40:

Liczby wymierne: b, c, e, g, h.

a) a = 18, b) b = 22, c) c = 12, d) d = 2,

e) e = 1, f) f = −27.

√

3, b) 3

√

3, c)

√

270

Odpowiedzi

str. 42 –45:

a) 18, b) 24, c) 22, d) 36, e) 66, f) 6, g) 9, h) 12, i) 15.

a) 7

√

b) 6

√

d) 10

√

10,

e) 34

√

f) 5

√

g) 8

√

h) 11,

i) 3,

j) 8.

10.

♠ = 8,

♥ =

4
3

♦ =

3
8

♣ = 25.

12.

f) 14

√

16.

Wsk. Iloczyn liczby i jej odwrotności jest równy 1.

17.

a) x =

√

b) x =

√

c) x =

√

d) x =

√

18.

a) x = 2a,

b) x = a

√

c) x =

a
3

d) x =

√

2a, e) x = a

√

2, f) x =

√

2, g) x =

a
8

, h) x =

√

19.

a) 3, b) 64

4
5

, c) 1, d) −

2
3

e) 21

1
3

, f) −1

5
6

, g) 0, h) 2, i) 1000

1
3

str. 46 –49:

a) 4, 12, 62,

b) 1111

(2)

, 11000

(2)

, 11110

(2)

, 1100100

(2)

a) 19, 13, 97,

b) 22

(3)

, 221

(3)

, 1200

(3)

a) 1, b) −

, c) 11, d) 0,85, e) 38,3.

a) 5

, b) (

1
3

)

, c) 10

d) 3

, e) (−

1
2

)

, f) 6

c), d).

10.

, 16

, 32

, 64

, 4

11.

a) 3, b) 9, c) 4, d) 3,

e) 3,

f) 1.

13.

b) 0,0081,

c) 125000,

d) 216,

e) 0,0001,

f) 0,0016.

14.

b) 4,

c) 352,

d) 576,

e) 192,

f) 32,

g) 12,

h) 1152,

i) 0,0125,

j) −15,

k) 0,2,

l) −12.

15.

Największa: 2

, najmniejsza: 2

16.

a) 36, b) −1, c) 0,0004, d) −1, e) 8, f) −10

g) −

1
2

17.

· 22 ≈ 6 mld królików.

19.

a) 7, b)

1
7

, c) 7.

20.

, b)

1
7

, c) 5, d) 128,

e) 36, f) 4, g)

125

, h) 3.

21.

a) 30, b) −6, c) −9

3
7

, d) 64.

24.

3,3

· 10

−5

mm.

26.

a) 10,

b) 5, c) 0, d) 2, e) 2, f) −4.

27.

a) 33, b) 5 lub −5.

29.

b, a, d, c, e.

31.

√

32.

√

100

√

33.

a) 5

√

7, b) 3

√

10, c) 9, d) 1

1
8

34.

a) 42,

b) 28, c)

√

6, d) 6

√

10, e) 60, f) 18

√

14, g) 6

3
4

, h) 2

√

3, i) 4, j) 84, k)

1
3

, l) 2.

35.

a) 3

√

b) 8

√

c) 5

√

3, d) 5

√

e) 6

√

f) 3

√

g) 10

√

h) 2

√

11, i) 4

√

10.

36.

a) 5,

b) 1,

c) 5, d) 14, e) 8, f) 1, g)

, h) 3.

37.

a) a = 6, b) b = 2

√

2, c) c =

√

, d) d =

3
4

str. 52 –55:

Około 45,12 cm.

12.

Około 785 m.

14.

530 obrotów.

15.

400 obrotów.

17.

a) O 4π

≈ 12,56, b) o 20π ≈ 62,8.

str. 57 –59:

a) Koło,

b) koło.

a) Środkowy,

b) lewy.

a) 64π cm

1
4

π m

0,0036π mm

1
9

π km

b) 8π cm,

4
3

π m, π mm, 2

√

2π dm, 2

√

3π km.

12.

Część

podlana.

13.

a) 48π ,

b) 15π ,

c) 64π ,

d) 35π .

14.

20π

≈ 62,8 m

15.

A 36 − 2π ,

B 24 − 4π , C 15 − 2,5π , D 36 − 6,5π , E 4,5π , F 9π − 9, G 9π − 18, H 9π − 12.

str. 62 –64:

4 + 8,5π , 4π , 9 + 4,5π , 16, 2 + 3π .

4 − π [cm

], 4 − π [cm

], 8 − 2π [cm

2π − 4 [cm

a) 8,

√

Propozycja Bogdana. Powierzchnia dostępna dla kozy

wg propozycji Bogdana 12π m

, wg propozycji Andrzeja 10π m

str. 65 –66:

15.

Stosunek pola koła do pola kwadratu wynosi

16.

♣: 8 + π, ♥: 6 + π,

♦: 16 − 4π, ♠: 14 − π.

19.

3
5

, b)

√

20.

9
4

π −

9
2

21.

2
3

π .

str. 69 –71:

10π x.

9n − 12.

10.

a) −a + 1, b) −x, c) 2x − y, d) −2a − 1.

12.

a) 4a + b,

b) −5x − y + 4z,

c) 16x − 28,

d) 2x − 3y,

e) x + y + 11z,

f) −4x

− 2xy − 6xz,

g) 2x

− 33x

h) −6

√

2a + 4b.

13.

1
2

−

3
2

a + 3, b)

1
2

− a + 4, c)

1
2

−

3
2

a + 9.

14.

a) −16,24, b) 0,76.

15.

a) Około 6 m,

b) o 2π .

18.

2y.

20.

a) Dla 7n + 1 reszta 1, dla 7n + 7 reszta 0, dla

7n + 30 reszta 2, dla 7n + 3 reszta 3, dla 7n + 9 reszta 2, dla 7n + 71 reszta 1, b) 5.

Odpowiedzi

271

str. 73 –75:

Wsk. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem; 8n

− 30n

+ 22.

a) 4,

b) 3 + 3

√

2 + 2

√

3 +

√

− 3x − 2

√

d) x

+ 3

√

2x + 4,

e) 10x

− 10x

− 2

√

5x + 2

√

f) a

√

6 − a −

√

a) a

− b

b) x

+ x

+ 1,

c) x

− 1,

d) x

− 1.

100

− 1.

1
2

ax +

1
2

ay +

1
2

by, b) ax +

1
2

bx + cx + ay + by + cy, c) 2ax + 2bx + ay + by.

10.

a) 2x

− 4,

b) k

− 10kn − 2n

c) 8y

− 13y − 6,

d) 5a

− 2a

− 4a − 4,

e) 4x

+ 4x

+ 6,

f) p

− 12pr ,

g) 22a

+ 11ab − 10b

h) −4c

+ 7cd + 2d

12.

a) 4x

− 60x

+ 200x,

b) dla x = 2 objętość

wynosi 192, dla x = 4 objętość wynosi 96,

c) dla x = 5 objętość wynosi 0. Odcinając kwadraty

o boku 5, nie otrzymamy pudełka.

13.

a) Tak, b) nie, c) nie, d) tak.

17.

a) 1, b) 0, 1, 4.

str. 78 –80:

a) x

+ 6xy,

b) −4x,

c) 2b

+ 18,

d) −6x + 3,

e) 2a

+ 8,

f) 12b,

g) 9m

+ 80mm − 9n

, h) 11x

+ 22, i) −y

+ 6y

− 1, j) 0,04k

+ 3k

a) 0,5x

− xy + 0,5y

b) 0,5x

+ xy − 0,5y

, c)

1
2

+ 2ab.

2
3

8 i 12.

a) Tak, b) tak, c) nie, d) nie,

e) tak, f) nie.

10.

− 4a

+ 6a

− 4a + 1

12.

a) 3, b) 7, c)

1
3

a, 3b, d) xy, e)

1
2

x, f)

1
2

, 1.

14.

a) −7, b) 49, c) 21, d) −1.

15.

a) 3xy, b) 2b

, c) 4ab, d) 14x, e) 2, f)

1
2

str. 82 –83:

a) 1,

b) −11,

c) 1,

d) −6,

e) π

− 4,

f) 2.

√

7 + 1

b) 4 − 2

√

c) −2

√

2 − 2

√

3 −

√

6 − 4,

d) 5 + 2

√

e) 7 + 3

√

65 + 27

√

12.

a) −x

+ 12xy − 14y

b) −7s

− 8st + 37t

, c) 0,6z + 0,13, d) 2a

− 25, e) −40x, f) 7k

+ 3l

13.

a) π (a

− 2ar + 2r

(2x + 1), c) π xy.

str. 86 –88:

a) x = −

1
2

, b) x = 1, c) x = −2, d) x = −

2
3

, e) x = −

8
9

, f) x = −1, g) x = 2,8,

h) x = 3,5, i) x = 3, j) x = −1, k) x = 3

1
3

, l) x = 0,07.

a) Równanie sprzeczne, b) równanie

tożsamościowe.

a) x = −1, b) x = 1, c) x = 10.

a) x = 7, b) r = 3,5.

Pole kwadratu

jest większe o 64 cm

od pola prostokąta.

a) x = 2

b) równanie sprzeczne,

c) x = −

1
2

d) x =

7
8

, e) x = 0, f) x = −9,5.

r = 1,75.

5 cm.

a) x ≥ 1

1
4

, b) x > −

, c) x < 6,

d) x ≤

1
3

, e) x < 3, f) x > −

5
9

, g) x < 0, h) x ≥ 4,1.

11.

a > 3,5.

12.

a) x =

1
2

, b) x = −

3
4

c) x = 6

1
2

, d) x = 4 lub x = −4, e) x = 1

1
6

, f) x = 9.

13.

a) x = 3, b) x = −2, c) x = −

1
2

, d) x =

3
5

e) x = −6,

f) x = 4.

14.

15.

a) x = 0 lub x = 2,

b) x = 0 lub x = 3,

c) x = 0 lub x = −5,

d) x = 0 lub x = 2.

16.

a) x = 0 lub x = −1, b) x = 0 lub x = 3.

str. 89 –91:

26.

a) 78,

b) 0,1,

c) −9.

28.

a) 6002,

b) 990000,

c) 88.

30.

a) x = 0,

b) x =

c) równanie tożsamościowe,

d) x = −14,

e) x = 4,1.

31.

a) x > 1,3,

b) x ≤ 2,

c) x >

, d) x ≥ 0,03.

32.

a) 0 < x < 3, b) x > 5.

34.

a) x = −1, b) x = 5, c) x =

1
7

, d) x =

1
5

e) x = 4.

str. 97 –98:

a) x = 1, y = 1, b) x = 2, y = 5, c) x = 2, y = 1.

a) x = 4, y = 3, b) x = 2,

y =

2
5

, c) x = −6, y = 0, d) a = 3, b = 3, e) u =

40
19

, v =

10
19

, f) r = 4, s = 12.

a) x = 4,5, y = −0,5,

b) x = 3, y = −4, c) m = 2, n = 3, d) a = 0,5, b = 0, e) x =

2
3

, y =

1
3

, f) x =

1
2

, y = −2.

a) p = 8,

r = 10, b) m = 15, n = 50.

2 i 8,5.

a) x = 22, y = 10, b) a = 12, b = 6.

a) x = 4,5,

y = 1, b) x = 3, y =

2
3

, c) x = 4, y = 2, d) x = 8, y = −2, e) x = 6, y = 4, f) x = 0, y =

272

Odpowiedzi

str. 100 –102:

a) x = 2, y =

3
5

, b) x = 1, y = 1, c) x = 59, y = −25, d) x = 0, y = 5, e) x = 2,

y = 3,

f) x = 12, y = 4.

a) x = 9, y = −7,

b) x = 3, y = −5,

c) u = −2, v = 4,

d) s = −2,

t = 0, e) x = 3, y = 4, f) x = −1, y = −2.

a) x = 2, y = −1, b) p = 3, r = −3, c) x = 2, y = −2,

d) v

= 1

1
3

, v

= −

2
3

, e) x = 0,2, y = 2,3, f) x = 12, y = 5.

a) x = −0,5, y = 0,5, b) x = 4, y = 6,

c) x = 10, y = −7.

Kostka waży 0,2 kg, a kulka 0,1 kg.

a) u = 15, v = 10, b) u = 4, v = 3.

a = 3, b = 6, x = 15, y = 5, c = 25, d = 10.

10.

a) x = 4, y = −2,

b) x = 2,5, y = 1,

c) x = 3,

y = −2, d) x = 6, y = 3, e) x =

3
4

, y = −2, f) x = 10

1
2

, y = −26.

11.

a) x = 90, y = 130, b) x = 270,

y = 240,

c) x = 5, y = 25,

d) x = 220, y = 200.

12.

p = 30, r = 40.

13.

Dla a = 2 i b = 1.

14.

a) x = 0, y = −2,

b) x = 0,5, y = −1,5,

c) x = 1, y = −4,

d) x = 10, y = 1.

15.

0,25 i 0,75.

16.

12 i 11.

17.

a) x = 2, y = 0 lub x = −2, y = 4, b) x = 0, y = 3 lub x = 0, y = −3, c) x = 2, y = 8

lub x = −2, y = 8, d) x = 4, y = 16, e) x = 3, y = 3, f) x = 0, y = −10 lub x = 5, y = −5.

str. 105 –106:

a) Sprzeczny, b) oznaczony, c) nieoznaczony.

a) Układ nieoznaczony,

b) x = 4, y = 1, c) układ sprzeczny, d) x = 0, y = 2.

str. 108 –111:

2 i 5.

85.

Liczby: 12, 24, 36 i 48.

Gumka kosztowała

0,60 zł, a spinka 0,40 zł.

1 m

wody zimnej kosztuje 2 zł, a wody ciepłej 6 zł.

Pokoi

dwuosobowych jest 17, a trzyosobowych 12.

Ania waży 31,5 kg, a Bogdan 38,5 kg.

a) Bilet

nomalny 8 zł, a ulgowy 5 zł, b) bilety normalne kupiło 180 osób, a ulgowe 240.

10.

Kwas solny

15 l, kwas azotowy 5 l.

11.

Nie można.

12.

Tak; układ jest sprzeczny.

13.

24 cukierki.

14.

66 dziewcząt i 84 chłopców.

15.

Dziadek ma 400 znaczków, a Jacek 100.

16.

Bartek ma

10 lat, a jego ojciec 35 lat.

17.

Basia ma 11 lat, a Agnieszka 6 lat.

18.

W 1854 roku, 76 lat.

19.

Przebiegł 36,8 km i przeszedł 13,2 km.

20.

2 mile/godz.

21.

Nowak: 44 km/h, Kowalski:

66 km/h.

22.

◦

, 70

◦

, 90

◦

23.

◦

, 55

◦

, 55

◦

24.

24 i 9.

25.

6 cm.

26.

x = 6,5, y = 11,5.

str. 112 –114:

Marynarka 216 zł, spodnie 190 zł.

Król Eryk miał 2000 rycerzy, a Ro-

deryk 1000.

320 tys. zł.

250 zł.

Za lustro 2400 zł, za stolik 1650 zł.

5 kg

solanki dziesięcioprocentowej i 10 kg solanki czteroprocentowej.

100 g.

200 t brązu

dzwonowego i 400 t brązu medalierskiego.

W wiadrze 10 kg, w beczce 35 kg.

10.

1
3

str. 115 –120:

a) x = 0, y = −1,

b) x = 1,2, y = −0,8,

c) x = −1, y = −2,

d) x = 3,

y = 3,

e) x = 3, y = 2,

f) x = −3, y = −

1
3

g) x =

1
2

, y = 1,

h) x = 1, y = 1, z = 2.

a) x = 20,

y = 7, b) x = 70, y = 20.

a) x = 1, y = 2, b) x = 3, y = 1, c) x = 2, y = 4, d) x = −3,25, y = −1,8,

e) x = −

1
3

, y = −

2
3

f) x = −2, y = 3,

g) x = 0,25, y = 0,

h) x = 4, y = 0.

10.

α = 30

◦

, β = 75

◦

11.

a) x = 3, y = −2,

b) x = 1, y = −

1
3

c) x = −7, y = 15,5,

d) x = 10, y = 11,

e) x =

5
9

, y = −

2
3

f) x =

1
3

, y = −1, g) x = −13, y = −10, h) x = −2, y = 3, i) x = −2, y = −3.

12.

a) u = 10, v = 200,

b) s = 280, t = 400,

c) x = 100, y = 160.

13.

x = 8, y = 3.

14.

x = 3, y = 1.

15.

a) x = 3,5,

y = −0,5,

b) x = 2, y = 0,

c) x = 8, y = 2,

d) x = 2

1
4

, y =

3
4

17.

a) Dla a = 15,

b) dla b = −3.

19.

14 i 16.

20.

375
625

21.

9 i 3 lub 3 i 1.

22.

475.

23.

9 osób.

24.

Bimbomu 4 zł,

Bombimu 3 zł.

25.

30 kg pstrągów i 500 kg karpi.

26.

6 owiec.

27.

Kości 0,25 kg, mięso

0,75 kg.

28.

10 lat.

29.

7,5 km, 45 minut.

30.

3 cm i 7 cm.

31.

23 bażanty i 12 królików.

Odpowiedzi

273

32.

Oślica 5 miar, muł 7 miar.

33.

Żył 33 lata, panował 12 lat.

34.

11 km, 200 słupów.

35.

Achilles 10,1 m/s, żółw 0,1 m/s.

36.

40,5 km/h (11

1
4

m/s) i 34,5 km/h (9

m/s).

37.

6, 10.

38.

3,9 km, 3,2 km, 2,4 km.

39.

Średnia ocen wynosi 3,52.

40.

Alina więcej o 7,5 kg.

41.

250 biletów na wcześniejszy i 150 biletów na późniejszy.

42.

2200 zł.

43.

Na konto

złotówkowe 6000 zł, na dolarowe 3000 zł (750 $).

str. 125 –129:

a) 8P,

1
8

12.

Około 224 m.

14.

8
9

, 1

2
3

, 1

8
9

b) 1, 2,

√

c) 0,3

√

3, 1,3, 1,4.

str. 131 –132:

a) Tak, b) nie.

str. 134 –137:

Tak.

√

62 cm

36 cm.

√

15 cm.

9,6 cm.

10.

Około 3 s.

11.

a) 28 + 6

√

5, b) 43 +

√

39, c) 24.

12.

44 cm.

13.

√

33 cm.

14.

Może.

17.

12 warstw.

18.

19.

32 cm.

20.

O około 3 cm.

21.

48 cm

22.

9,1 m.

23.

√

24.

x = 3, y = 2

√

41, z = 4

√

11.

25.

√

78 m

≈ 17,7 m.

26.

2,5 m.

str. 139 –140:

d) 5.

√

53,

b) 3

√

c) 7.

P = (4, 2

√

5),

R = (4, −2

√

5).

A, B, C.

a) 4

√

26, b) 6 + 2

√

58, c) 10 + 4

√

10.

a) Nie, b) nie, c) tak.

str. 143 –144:

12(2 +

√

2).

Pole =

√

, obwód =

√

10.

√

2 + 1) cm.

11.

6(2 +

√

3) cm.

12.

6π − 9

√

13.

2(1 +

√

3).

str. 147 –149:

a) 6 + 2

√

b) 2 + 2

√

c) 3 +

√

x =

√

y = 3

√

z = 4.

a) 12 + 4

√

2 + 4

√

b) 9 + 3

√

3 + 3

√

c) 5 + 5

√

3 + 5

√

8 + 8

√

2 + 8

√

cm.

a) 15 m, b) około 462 m.

2(5 +

√

3) cm.

10.

15 + 3

√

11.

10(2 +

√

2) cm.

12.

30 cm.

str. 150 –152:

160 i 20.

15,6.

√

3 cm lub 10

√

5 cm.

a) Nie, b) tak.

Tak.

11.

√

10.

12.

100

√

2 cm

13.

180 cm

15.

25 cm

16.

Około 4,8 m.

17.

x = 3

√

y =

√

21.

18.

P = 60, h

= 12, h

= h

= 9

19.

AC.

20.

Tak.

21.

Tak.

22.

Nie.

23.

Tak.

24.

Nie.

25.

√

26.

√

cm.

27.

a) O 2

√

b) o

√

28.

√

41 cm.

29.

a) 4π ,

b) 8.

30.

a) x =

√

, y =

√

b) x = 6

√

2, y = 12,

c) x = 12, y = 12

√

31.

a) 2(2 +

√

2),

b) 3(3 +

√

3), c) 4(1 +

√

3), d) 5(3 +

√

3).

32.

1500 m n.p.m.

33.

4(5 +

√

3) cm

34.

20 dm.

35.

15 − 5

√

str. 155 –156:

a) Nie,

b) tak.

1
2

Wszystkie.

b) 60

◦

, 65

◦

, 55

◦

a) 20

◦

, 70

◦

, 90

◦

b) 55

◦

, 55

◦

, 70

◦

c) 50

◦

, 60

◦

, 70

◦

W trójkącie ABD: 50

◦

, 50

◦

, 80

◦

w trójkącie ADC: 40

◦

, 40

◦

, 100

◦

11.

Wsk. Środek okręgu leży na prostej równoległej do boku

AB, odległej od tego boku o 2 cm.

str. 158 –159:

6 cm

a) 22

◦

b) 62

◦

c) 24

◦

d) 65

◦

e) 52

◦

, 30

◦

, 120

◦

274

Odpowiedzi

str. 163 –164:

Miary kątów trójkąta ABC: 40

◦

, 60

◦

, 80

◦

α = 130

◦

β = 110

◦

γ = 120

◦

140

◦

a) 100

◦

, 120

◦

, 140

◦

, b) 50

◦

, 60

◦

, 70

◦

a) 36,75, b) 84.

a) 1, b) 2.

68.

10.

24 cm.

str. 168 –169:

b) n osi symetrii, c) kwadrat i sześciokąt, d) nie.

◦

, 72

◦

, 72

◦

; miara

kąta wewnętrznego wynosi 144

◦

180

◦

— α.

a) 120

◦

b) 135

◦

c) 160

◦

d) 176,4

◦

10.

a) 12, b) nie.

11.

Nie.

12.

α i 180

◦

− α.

str. 171 –172:

√

2 − 1) cm.

√

, b) 10

√

3π cm.

√

3π

cm,

√

3π

cm, c) 4 razy.

10 cm i 5

√

3 cm.

a) 45

◦

, b)

√

, c) 50

√

str. 173 –175:

W czworokącie: 80

◦

, 85

◦

, 100

◦

, 95

◦

; w sześciokącie: 105

◦

, 137

◦

, 118

◦

105

◦

, 137

◦

, 118

◦

, 130

◦

, 130

◦

10.

◦

11.

◦

, 70

◦

, 90

◦

, 145

◦

12.

◦

15.

20 cm,

20 cm

22.

a) n − 2, b) 180

◦

(n − 2), c)

180

◦

(n−2)

23.

◦

24.

√

2 cm.

25.

√

3 cm

26.

a) 6

√

3 cm, b) 2 cm.

28.

√

2 cm, 50 cm, 25

√

2 cm, 25 cm, 12,5

√

2 cm.

29.

Koło opisane

na trójkącie ma pole dwa razy większe.

30.

75.

str. 179 –181:

d) 3n krawędzi, n + 2 ścian, 2n wierzchołków.

64, 45, 72.

a, c, d,

e, g.

a) 40 cm, b) 10 cm, c) 64 cm.

a, c.

12.

a, c.

str. 183 –185:

a) 164 cm

b) 1944 cm

a) 32

√

3 + 144,

b) 190,

c) 48

√

3 + 144.

a) 344 cm

b) 32(15 +

√

3) cm

c) 992 cm

d) 488 cm

9,6 l.

10.

Krawędź boczna ma długość 6

√

str. 188 –190:

O 1,5 cm.

Nie.

Pirania ma objętość 1200 cm

10.

Poziom wody

podniósł się o

2
3

cm.

11.

1000 l.

12.

27 razy.

str. 192 –194:

c) 108.

a) 35, b)

125

√

, c) 120.

Około 281 mm

; nie wystarczy.

2250 zł.

Krawędź podstawy: 2 cm, krawędź boczna: 10 cm.

1
3

cm.

10.

8 cm.

11.

a) 36 + 3

√

b) 24,

c) 456.

12.

a) 336,

b) 128

√

c) 288

√

13.

500 cm

14.

√

5 cm.

str. 196 –198:

a) 10

√

2 cm,

b) 14 cm i 7

√

3 cm.

√

a) 2

√

43,

√

106,

c) 8

√

a) 10

√

3 cm,

b) a

√

d) 2p

a) 5

√

2 cm,

√

+ b

+ c

√

6, b)

√

11, c) 3

√

3, d)

√

2 + n

√

41 cm i 2

√

34 cm.

10.

√

61 cm i 4

√

13 cm.

str. 203 –205:

a) 50

◦

, b) 20

◦

a) x =

√

, b) y = 6

√

2, c) t = 10

√

a) 64 cm

b) 64

√

3 cm

, c)

√

Długość przekątnej: 4

√

3 cm, wysokość graniastosłupa: 2

√

3 cm.

√

3 cm

√

10.

◦

11.

√

12.

√

7; nie.

Odpowiedzi

275

str. 206 –208:

a) Nie, b) nie, c) tak.

192.

108.

6 puszek.

Graniastosłup

o podstawie kwadratu.

Tak.

54 + 9

√

14600.

10.

8000 cm

, 8 l,

11.

0,18 l.

12.

120 m

13.

Nie.

16.

128

√

3 cm

17.

√

3 cm

, 24

√

3 cm

18.

O 2,4 cm.

20.

296 cm

21.

a) Jedną,

b) jedną,

c) dwie.

22.

512

√

2 cm

23.

72000

√

3 cm

24.

125

√

2 cm

25.

a = 5

√

2, b =

√

26.

√

30, 2

√

33, 2

√

34, 2

√

35.

27.

√

5 cm.

29.

a) 16

√

3, b) 156

√

30.

192

√

31.

72 cm

32.

245.

str. 212 –213:

d) 2n krawędzi, n + 1 ścian.

a) 32, b) 30, c) 20 +

√

34.

33 cm.

a) 12 cm, b) 6 cm, c) 1 dm, d) 5,8 mm.

b, d, g.

str. 216 –217:

a) 32(2 +

√

21),

b) 180 + 25

√

c) 36

√

5 + 24

√

a) 144 cm

b) 336 cm

√

3 cm

8 ścian, 50

√

3 cm

str. 219 –220:

a) 12,

√

c) 6

√

a) 96 cm

b) 23

1
3

c) 32 cm

426

2
3

a) 3 cm, b) 12 cm

, c) 12 m.

√

18 cm.

Około 3433 km; nie można.

Nie.

5
6

10.

a) 12, b) 4.

str. 224 –226:

x = 2

√

7, y = 4

√

5, z =

√

78.

√

Około 218,6 m.

√

35 cm.

√

x = 2

√

22, y = 2

√

26, z = 2

√

13.

√

a) 2

√

b) 24

√

93.

5 cm i 13 cm.

10.

√

119,

√

13,

c) 4

√

11.

√

15 cm

12.

√

13.

W pierwszym ostrosłupie:

√

41,

√

41, 5, w drugim ostrosłupie wszystkie mają długość

√

33.

str. 231 –233:

x = 6

√

2, y = 8

√

2, z = 4

√

x = 8, y = 4

√

3, z = 2

√

a) x = 6,

y = 3

√

6, z =

√

b) x = 3

√

5, y =

√

, z = 20

√

Balon X jest na wysokości około 61,2 m,

a balon Y na wysokości 50 m.

√

3 i 12.

4000

√

10.

7,5.

11.

72 cm

12.

a) 2

√

2 cm,

b) 2 cm, c)

√

cm, d)

√

cm.

str. 236 –238:

a) 96 cm

b) 48

√

3 cm

c) 9

√

91 cm

a) 9

√

b) 2

√

82,

c) 8

√

a) 48,

b) 24

√

c) 32.

a) 64 cm

b) 64

√

2 cm

c) 32

√

3 cm

d) 48

√

3 cm

25 cm

√

3 cm

lub 12

√

102 cm

a) 20

√

2 cm

, b) 2

√

51 cm

16; jest kwadratem.

str. 239 –241:

b, c, d, e.

12(3 +

√

91) cm

2 +

√

10.

14 ścian, 8(21 + 2

√

3) cm

11.

360 cm

12.

Pola powierzchni takie same, objętość drugiej bryły jest dwa razy większa.

13.

12.

14.

√

cm.

15.

Drugi.

16.

√

17.

a) 8 cm, 10 cm, 10 cm, 2

√

34 cm,

b) 108 cm

19.

384.

20.

144.

21.

Krawędź boczna — 4 cm, wysokość — 2 cm.

22.

3 cm.

24.

100

√

14 cm

25.

Trójkątem równoramiennym; obwód = 10(1 +

√

3) cm, pole = 25

√

2 cm

26.

375

√

27.

√

28.

20 + 8

√

str. 245 –251:

b) 185 osób,

153
185

d) 113 osób.

d) 16 %; około 10654

wypadków, e) kierowcy spowodowali o około 22640 wypadków więcej.

276

Odpowiedzi

str. 253 –255:

a) 25,

b) 18,5,

c) co najmniej 19, co najwyżej 24.

Dziewczęta —

około 56,3 kg, chłopcy — około 65,1 kg, wszyscy uczniowie — około 59,4 kg.

a) 3,59, b) 3,5.

164 cm.

700 zł.

O 30 zł.

str. 263 –265:

2
3

, b) mniejszą od 4.

a) Wyciągnięcie treﬂa, c) wyciągnięcie ﬁgury,

d) wyciągnięcie karty koloru czerwonego.

Pierwszą szkatułkę.

1
3

, b)

, c)

3
4

10.

6 napisów,

1
6

11.

2
3

12.

1
4

, b)

1
2

, c) 0.

13.

, b)

53
66

str. 266 –267:

1500 zł.

Trzy.

10.

1
6

5
6

11.

1
2

12.

a) 25 losów,

b) 53 losy lub więcej.

SKOROWIDZ

Archimedes 20, 189

centylion 18

czworościan 210

— foremny 211

decylion 18

diagramy 243

Diofantos 79, 132

długość łuku 60

— okręgu 50

dwusieczna kąta 161

googol 18

graniastosłup 177

— pochyły 178
— prawidłowy 178
— prosty 178

hektolitr 187

iloczyn sumy przez różnicę 81

— potęg o tych samych podstawach 16

iloraz potęg o tych samych podsta-

wach 16

jednomian 67

jednostki objętości 187

konstrukcja

— okręgu opisanego na trójkącie 154
— okręgu wpisanego w trójkąt 162
— ośmiokąta foremnego 167
— stycznej do okręgu 158, 159
— sześciokąta foremnego 166

krawędź graniastosłupa 177

— ostrosłupa 210

kwadrat różnicy 77

— sumy 76, 77

kwadratura koła 58, 187

kwadrylion 18

kwintylion 18

liczba π 51

liczba podpierwiastkowa 34, 35

liczby niewymierne 35

— rzeczywiste 35
— wymierne 35

ludolﬁna 51

łuk okręgu 61

mediana 253

metoda podstawiania 96

— przeciwnych współczynników 99

mililitr 187

miriada 20

nonilion 18

notacja naukowa 31

— wykładnicza 30

objętość graniastosłupa 191

— ostrosłupa 219
— prostopadłościanu 186
— sześcianu 186

obwód koła 50

okrąg opisany na wielokącie 153

— styczny do prostej 157
— wpisany w wielokąt 161

oktylion 18

ostrosłup 209

— prawidłowy 210

ośmiościan foremny 226

pierwiastek

— kwadratowy 34
— drugiego stopnia 35
— sześcienny 35
— trzeciego stopnia 35
— z iloczynu 41
— z ilorazu 41

Pitagoras 36, 123

podstawa potęgi 12

— graniastosłupa 177
— ostrosłupa 209

podwojenie sześcianu 187

pole koła 56

— trójkąta równobocznego 142
— wycinka koła 62

pole powierzchni całkowitej graniasto-

słupa 182

— ostrosłupa 214

potęga 11

potęgowanie iloczynu 21

— ilorazu 21
— potęgi 19

prawdopodobieństwo 261

proporcja 87

prosta styczna do okręgu 157

prostopadłościan 176

przekątna graniastosłupa 195

— kwadratu 141

przekrój graniastosłupa 235

— ostrosłupa 235

redukcja wyrazów podobnych 68

reszta z dzielenia 71

rozkład liczby na czynniki pierwsze 14

roztwór p-procentowy 113

rozwiązanie układu równań 93

rozwinięcia dziesiętne liczb niewymier-

nych 36

— wymiernych 36

równanie sprzeczne 86

— tożsamościowe 86

różnica kwadratów 81

sekstylion 18

septylion 18

siatka graniastosłupa 182

— ostrosłupa 214

spodek wysokości 210

stella octangula 217

styczna do okręgu 157

suma algebraiczna 68

symetralna odcinka 154

system dwójkowy 46

— dziesiątkowy 46
— trójkowy 46

sześcian 176

ściana boczna graniastosłupa 177

— ostrosłupa 210

średnia arytmetyczna 252

tabelka łodygowo–listkowa 244

trójka pitagorejska 132

trylion 18

trysekcja kąta 187

twierdzenia

— o czworokącie opisanym na

okręgu 174

— o czworokącie wpisanym w okrąg 173
— o kącie wpisanym opartym na śred-

nicy 155

— o odcinkach łączących punkt prze-

cięcia stycznych z punktami styczno-
ści 164

— o okręgu opisanym na trójkącie 154
— o okręgu wpisanym w trójkąt 162
— o punkcie przecięcia wysokości w trój-

kącie równobocznym 171

— o trójkach pitagorejskich 132
— Pitagorasa 122

układ równań 92

— nieoznaczony 104
— oznaczony 104
— sprzeczny 104

usuwanie niewymierności z mianow-

nika 45, 82

wielokąt

— foremny 165
— opisany na okręgu 161
— wpisany w okrąg 153

wierzchołek graniastosłupa 177

— ostrosłupa 210

włączanie czynnika pod znak pier-

wiastka 42

wycinek koła 62

wykładnik potęgi 12

wyłączanie czynnika przed znak pier-

wiastka 42

wyłączanie wspólnego czynnika przed

nawias 68

wyrazy podobne 68

— sumy algebraicznej 68

wyrażenie algebraiczne 67

wysokość graniastosłupa 190

— ostrosłupa 210
— trójkąta równobocznego 142

wzory skróconego mnożenia 77, 81

— interpretacja geometryczna 76, 78, 82

MG2 oklad 23.01.07

ISBN 978-83-87788-40-7

Niniejsza darmowa publikacja zawiera jedynie fragment

pełnej wersji całej publikacji.

Aby przeczytać ten tytuł w pełnej wersji

kliknij tutaj

Niniejsza publikacja może być kopiowana, oraz dowolnie

rozprowadzana tylko i wyłącznie w formie dostarczonej przez

NetPress Digital Sp. z o.o., operatora

sklepu na którym można

nabyć niniejszy tytuł w pełnej wersji

. Zabronione są

jakiekolwiek zmiany w zawartości publikacji bez pisemnej

zgody

NetPress oraz wydawcy niniejszej publikacji. Zabrania się jej

od-sprzedaży, zgodnie z

regulaminem serwisu

Pełna wersja niniejszej publikacji jest do nabycia w sklepie

internetowym

Nexto.pl