Pojęcia macierzy
Macierz jest to tablica pewnych liczb rzeczywistych:
a11 a12 a13 ..... a1n
a21 a22 a23 ..... a2n
a31
A = a32 a33 ..... a3n a mn m - to rzędy macierzy, n - to kolumny macierzy
ż
.... .... .... .... ....
am1 am2 am3 ..... amn
Pojęcia macierzy kwadratowej.
Jeżeli m = n to taką macierz nazywamy macierzą kwadratową.
Pojęcia przekątnej głównej macierzy.
1 2 2
A = 5 6ż 1, 5, 9 leżą na przekątnej głównej macierzy
4
7 8 9
Pojęcia macierzy jednostkowej.
1 0 0
A = 1 0ż macierz jednostkowa bo w każdym wierszu i każdej kolumnie leży tylko jedna jedynka
0
0 0 1
Pojęcia macierzy transponowanej.
a11 a12 a13 ..... a1n a11 a21 a31 ..... am1
a21 a22 a23 ..... a2n a12 a22 a32 ..... am2
a31 a13
A = a32 a33 ..... a3n AT = a23 a33 ..... am3
ż ż
.... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
am1 am2 am3 ..... amn a1n a2n a3n ..... amn
W macierzy transponowanej to co jest rzędami w macierzy podstawowej staje się kolumnami tzn. pierwszy rząd
staje się pierwszą kolumną, drugi wiersz staje się drugą kolumną itd.
Macierz transponowana powtórnie transponowana, daje w wyniku macierz pierwotną.
T
(AT ) = A
Działania na macierzach:
Dodawanie macierzy:
5 6 1 2 6 8
A = B = A + B =
ż ż ż
7 8 3 4 10 12
Dodajemy macierze które mają jednakowe wymiary.
A = [an] B = [bn]
m*n m*n
A + B = [an + bn]
m*n
3 1 2 2
ł ł
A = B =
ę5 2ś ę4 3ś
5 3
ł
A + B =
ę9 5ś
Odejmowanie macierzy:
5 6 1 2 4 4
A = B = A - B =
ż ż ż
7 8 3 4 4 4
Odejmujemy macierze które mają jednakowe wymiary.
Mnożenie macierzy:
1. Mnożenie stałej przez macierz: a * B = [a * Bn]m*n
2. Mnożenie macierzy przez macierz:
Mnożenie wykonujemy w ten sposób, że wiersze I macierzy mnożymy przez kolumny II macierzy.
5 6 1 2 5*1+ 6*3 5* 2 + 6*4
A =
ż B = ż C = A* B = ż
7 8 3 4 7*1+1*3 7 *2 +1* 4
1 2 3 3 1 0 c11 = 1* 3 + 2 * 2 + 3* 6 c12 = 1*1+ 2 * 0 + 3*1 c13 = 1* 0 + 2 * 5 + 3*1
A = 0 1ż B = 0 5ż C = A * B = = 4 * 3 + 0 * 2 +1* 6 c22 = 4 *1+ 0 * 0 +1*1 c23 = 4 * 0 + 0 * 5 +1*1ż =
4 2 c
21
2 1 2 6 1 1 c = 2 * 3 +1* 2 + 2 * 6 c32 = 2 *1+1* 0 + 2 *1 c33 = 2 * 0 +1* 5 + 2 *1
31
3 + 4 +18 1+ 0 + 3 0 +10 + 3 25 4 13
= + 0 + 6 4 + 0 +1 0 + 0 +1 = 5 1
12 ż 18 ż
6 + 2 +12 2 + 0 + 2 0 + 5 + 2 20 4 7
Ilość elementów w wierszu I macierzy musi być równa ilości elementów w pierwszej kolumnie II macierzy.
A = [ ] B = [ ]
3*3 3*2
1 2 3 3 1 1* 3 + 2 * 2 + 3* 4 1*1+ 2 * 0 + 3* 2 3 + 4 +12 1+ 0 + 6 19 7
A = 0 1ż B = 0ż A * B = * 3 + 0 * 2 +1* 4 4 *1+ 0 * 0 +1* 2ż = + 0 + 4 4 + 0 + 2ż = 6ż
4 2 4 12 16
2 1 2 4 2 2 * 3 +1* 2 + 2 * 4 2 *1+1* 0 + 2 * 2
6 + 2 + 8 2 + 0 + 4 16 6
Własności mnożenia:
1. Iloczyn macierzy na ogół nie jest przemienny:
A* B ą B A
2. C(A+B) = C*A + C*B (A+B)*C = A*C + B*C
Pojęcia wyznacznika macierzy.
a b
A =
oznaczamy: detA lub A
ż
c d
Wyznacznik = A = ad - bc
Jeżeli mamy macierz trzeciego stopnia:
a1 a2 a3
A = b2 b3ż
b1
c1 c2 c3
to wyznacznik takiej macierzy możemy wyznaczyć na trzy sposoby:
dopisujemy dwie
Pierwszy sposób:
kolumny
a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2
A = b2 b3ż A = b1 b2 b3 b1 b2 = a1 b2 c3 + a2 b3 c1+ a3 b1 c2 - a3 b2 c1- a1 b3 c2 - a2 b1 c3
b1
c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2
Drugi sposób:
a1 a2 a3
b1
A = b2 b3 A = a1 b2 c3 + b1 c2 a3 + c1 a2 b3 - a3 b2 a1- b3 c2 a1- c3 a2 b1
ż
c1 c2 c3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
3 2 1
dopisujemy dwa
A = 0 1 2
rzędy
6 5 6
3 2 1
= 3*1* 6 + 0 * 5 *1+ 6 * 2 * 2 -1*1* 6 - 2 * 5 * 3 - 6 * 2 * 0 = 0
0 1 2
Macierz której wyznacznik jest równy 0 ( zero ) nazywa się m a c i e r z ą o s o b l i w ą .
Trzeci sposób:
a1 a2 a3
A = b2 b3ż A = a1 b2 c3 + b1 c2 a3 + c1 a2 b3 - a3 b2 a1 - b3 c2 a1 - c3 a2 b1
b1
c1 c2 c3
3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1
A = 0 5 2 + 0 5 2 + 0 5 2 - 0 5 2 - 0 5 2 - 0 5 2
6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4
.
= 3 * 5 * 4 + 0 *1*1 + 2 * 2 * 6 - 1* 5 * 6 - 2 * 0 * 4 - 3 * 2 *1
Jeżeli mamy macierz czwartego stopnia to postępujemy w sposób opisany poniżej:
1 2 3 0
6 0 2 1
A = = Wzór: akl(-1)k+l det A
3 4 5 6
2 0 1 2
Poszukujemy wiersza lub kolumny o największej ilości zer (tutaj druga kolumna).
6 2 1 1 3 0 1 3 0 1 3 0
2(-1)1+2 3 5 6 + 0(-1)2+2 3 5 6 + 4(-1)3+2 6 2 1 + 0(-1)4+2 6 2 1 =
2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 5 6
Temat: Macierze odwrotne.
A-1A = A A-1 = I
Macierz odwrotna istnieje tylko wtedy jeżeli wyznacznik macierzy jest różny od zera.
det A ą 0
Obliczanie macierzy odwrotnej: I sposób.
Pierwszy krok: trzeba policzyć wyznacznik detA z macierzy.
1 5 6
ł
ę2
A = 3 1ś
ę ś
ę ś
0 1 1
1 5 6 1 5
det A = 2 3 1 2 3 = [(131) = 3 + (51 0) = 0 + (6 2 1) = 12 - (6 3 0) = 0 - (111) = 1- (5 2 1) = 10]= 4
0 1 1 0 1
det A ą 0
więc macierz odwrotna istnieje
Drugi krok: buduje się macierz dopełnień AD
3 2 2 3
(-1)1+1 1 1 (-1)1+2 0 1 (-1)1+3 0 1 ł
ę ś
1 1
ę ś
2 - 2 2
ł
ę 5 6 6 5
ę
AD = (-1)2+1 1 1 (-1)2+2 1 1 (-1)2+3 1 1 ś = AD = 1 1 -1ś
ę ś
ę ś
0 0
ę ś
ę ś
-13 11 - 7
ę
6 6
(-1)3+1 5 1 (-1)3+2 1 1 (-1)3+3 1 5 ś
ę ś
3 2 2 3
ę ś
T
Trzeci krok: transponujemy macierz (AD)
2 - 2 2 2 1 -13
ł ł
T
ę ę ś
AD = 1 1 -1ś (AD) = 2 1 11
ę ś ę- ś
ę ś ę ś
2 -1 - 7
-13 11 - 7
T
1
Krok czwarty: wyznaczenie macierzy odwrotnej: A-1 = (AD)
det A
2 1 -13
ł
ę ś
4 4 4
2 1 -13
ł
ę ś
T
1 1 1 1
ę ś
ę- 2 1 11 ś
det A = 4 = A-1 = (AD) = 2 1 11 =
ę- ś
det A 4 det A 4 4 4 4
ę ś
ę ś
2 -1 - 7
2 -1 - 7
ę ś
ę ś
4 4 4
Sprawdzenie poprawności obliczeń:
Jeżeli macierz odwrotną przemnożymy przez daną macierz, otrzymamy macierz pierwotną:
A-1 A = I (pierwotna)
2 1 -13
ł
ę ś
4 4 4 1 5 6
ł
ę ś
ę2
A-1 = ę- 2 1 11 ś A = 3 1ś
ę ś
4 4 4
ę ś
ę ś
2 -1 - 7
0 1 1
ę ś
ę ś
4 4 4
2 1 -13
ł
ę ś
4 4 4
1 5 6 1 0 0
ł ł
ę ś
ę2 ę0
ę- 2 1 11 ś
A-1 A = * 3 1ś winno być = 1 0ś
ę ś ę ś
4 4 4
ę ś
ę ś ę ś
2 -1 - 7
ę ś 0 1 1 0 0 1
ę ś
4 4 4
Sprawdzamy:
2 1 -13 2 1 -13 2 1 -13 2 1 -13
ł
1 + 2 + 0 5 + 3 + 1 6 + 1 + 1ł
ę ś ę ś
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 5 6
ł
ę ś ę ś
- 2 1 11 - 2 1 11 - 2 1 11
ę2
ę- 2 1 11 ś ę ś
A-1 A = * 3 1ś = 1 + 2 + 0 5 + 3 + 1 6 + 1 + 1 =
ę ś
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
ę ś ę ś
ę ś
2 -1 - 7
ę ś 0 1 1 1 + 2 + 0 5 + 3 + 1 6 + 1 + 1ś
ę2 -1 - 7 2 -1 - 7 2 -1 - 7
ę ś ę4 4 4 4 4 4 4 4 4 ś
4 4 4
2 + 2 10 + 3 -13 12+1-13 4 0 0
ł ł
ę ś ę4 4 4ś 1 0 0ł
4 4 4
ę ę0 4 0ś ę0
ę- 2 + 2 -10 + 3 +11 -12+1+11ś ę ś
ś
= = = 1 0ś
ę ś
4 4 4 4 4 4
ę ś ę ś
2 - 2 10 - 3 - 7 12-1- 7
0 ś
ę ś ę0 0 4ś ę 0 1
ę ś ę4 4 4ś
4 4 4
Sprawdzenie wypadło prawidłowo.
Obliczanie macierzy odwrotnej: II sposób. (przekształcenia elementarne)
1 5 6 1 0 0
ł ł
ę2 ę0
A = 3 1ś 1 0ś
ę ś ę ś
ę ś ę ś
0 1 1 0 0 1
A I
Przekształcenie 1
Pierwszy i trzeci wiersz przepisujemy bez zmian bo jest jedynka i zero
Aby zamiast elementu a 21 = 2 otrzymać 0 należy wiersz w1 pomnożyć przez (-2) i dodać wiersz 1.
1 5 6 1 0 0
ł ł
ę2
A = 3 1śę0 1 0ś
ę śę ś
ę śę ś
0 1 10 0 1
1 5 6 1 0 0
ł ł
ę2
= 3 1śę0 1 0ś w2 = (-2)w1 + w2 ok.!
ę śę ś
ę śę ś
0 1 10 0 1
1 5 6 1 0 0
ł ł
ę0
= - 7 - 11śę- 2 1 0ś
ę śę ś
ę ś
0 1 1 śę 0 0 1
Przekształcenie 2
Aby zamiast elementu a 22 = -7 otrzymać 1 należy wiersz 2 podzielić przez -7
1 5 6 1 0 0
ł ł
w2
ę0
A = - 7 - 11śę- 2 1 0ś w2 = ok.!
ę śę ś
- 7
ę ś
0 1 1 śę 0 0 1
ł ł
1 5 6 1 0 0
ę śę ś
11 2 1
= 1
ę0 7 śę7 - 0ś
ę0 1 1 śę0 07 1ś
Przekształcenie 3
Aby zamiast elementu a 12 = 5 otrzymać 0 należy wiersz 2 pomnożyć przez (-5) i dodać do wiersza 1.
ł ł
1 5 6 1 0 0
w1 = (- 5)w2 + w1
ę śę ś
11 2 1
= 1 ok.!
ę0 7 śę7 - 0ś
ę0 1 1 śę0 07 1ś
13 3 5
1 0 - ł
0ł
ę śę- ś
7 7 7
ę śę ś
11 2 1
ę śę ś
= 0 1 - 0
7 7 7
ę śę ś
0 1 1 0 0 1
ę śę ś
ę śę ś
Przekształcenie 4
Aby zamiast elementu a 32 = 1 otrzymać 0 należy w2 pomnożyć przez (-1) i dodać do wiersza 3.
13 3 5
1 0 - ł
0ł
ę śę- ś
7 7 7
ę śę ś
11 2 1
ę śę ś
= 0 1 - 0 ok.!
7 7 7
ę śę ś
w3 = (-1)w2 + w3
0 1 1 0 0 1
ę śę ś
ę śę ś
13 3 5
1 0 - ł
0ł
ę śę- ś
7 7 7
ę śę ś
11 2 1
ę śę ś
= 0 1 - 0
7 7 7
ę śę ś
4 2 1
ę0 0 - śę
1ś
ę śę- ś
7 7 7
Przekształcenie 5
Aby zamiast elementu a 33 = -4/7 otrzymać 1 należy w3 pomnożyć przez (-7/4)
13 3 5
1 0 - ł
0ł
ę śę- ś
7 7 7
ę śę ś
11 2 1
ę śę ś
= 0 1 - 0 ok.!
7 7 7
ę śę ś
7
ć w3
4 2 1
ę0 0 - śę
1ś w3 = -
4
ę śę- ś
Ł ł
7 7 7
13 3 5
1 0 - ł ł
0
ę śę- ś
7 7 7
ę śę ś
11 2 1
ę śę ś
= 0 1 - 0
7 7 7
ę śę ś
0 0 1 1 1 7
ę śę ś
- -
ę śę
2 4 4ś
Przekształcenie 6
Aby zamiast elementu a 13 = -1/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (1/3) i dodać do w1
13 3 5
1 0 - ł ł
0 13
ę śę- ś
w1 = w3 + w1
7 7 7
ę śę ś
7
11 2 1
ę śę ś
= 0 1 - 0 ok.!
7 7 7
ę śę ś
0 0 1 1 1 7
ę śę ś
- -
ę śę
2 4 4ś
1 1 13
ł
-
ś
łę
1 0 0 2 4 4
ś
ę 11 2 1
śę
= 1
ę0 7 śę7 - 0 ś
ę0 0 1 śę1 7 7 ś
ę 1 ś
ę2 - - ś
4 4
Przekształcenie 7
Aby zamiast elementu a 23 = 11/7 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (-11/7) i dodać do w2
1 1 13
ł
-
ś
łę
1 0 0 2 4 4
ś
ę śę
11 2 1 11
ć w3
= 1
ę0 7 śę7 - 0 ś w2 = - + w2 ok.!
ę0 0 1 śę1 7 7 ś Ł 7 ł
ę 1 ś
ę2 - - ś
4 4
1 1 13
ł
-
1 0 0
łę 2 4 4 ś
ę0 ę 1 1 11 ś
ś
= 1 0ś
ę śę-
2 4 4
ę śę 1 1 7 ś
0 0 1ę ś
- -
ę ś
2 4 4
Temat2 : Układy równań liniowych
Rozwiązanie I metodą.
3x1 5x2 6x3 = 8
2x1 - x2 4x3 = 10
x1 2x2 3x3 = 12
A x = B
3 5 6 x1 8
ł ł ł
ę2 ęx ś ę10ś
A = - 1 4ś x = B =
2
ę ś ę ś ę ś
ę ś ę
3
1 2 3 ę ś 12ś
x
Jeżeli det A ą 0 x = A-1B
A = Macierz wspólczynników
B = macierz wyników
Ax = B
ó
A Ax = A-1B Wzory Krammera
x = A-1B
Rozwiązanie II metodą.
WXi
Xi = gdzie W = wyznacznik macierzy współczynników
W
3 5 6 3 5
ł
ę2
W = -1 4ś 2 -1 = 3(-1)3 + 541+ 622 - 6(-1)1- 342- 523 = -9 + 20 + 24 + 6 - 24 - 30 = -13
ę ś
ę ś
1 2 3 1 2
WXi = w miejsce Xi ma kolumnę wyrazów wolnych ???????
8 5 6 8 5
ł
ę10
W = -1 4ś 10 -1 = 8(-1)3 + 54.12 + 6.10.2 - 6(-1)12 - 842- 5.10.3 = -24 + 240+120+ 72 - 64 -150 = 184
ę ś
ę ś
12 2 3 12 2
WX1 184
X1 = =
W -13
Rozwiązanie III metodą.
x1 2x2 -3x3 = 8
2x1 3x2 x3 = 12
x1 4x2 - 3x3 = 10
1 2 - 3 8
ł
ę2 3 1 ś 12
ę ś
ę ś
1 4 - 310
macierz wektor
współczyn prawo
ników stronny
przekształcamy lewą stronę do macierzy jednostkowej:
1 2 - 3 8
ł
ę
ę2 3 1 12ś w2 = (-2)w1+ w2 =
ś
ę1 4 - 310
ś
1 2 - 3 8
ł
ę
ę0 -1 7 - 4ś w2 = (-1)w2 =
ś
ę1 4 - 3 10 w3 = (-1)w1+ w3
ś
1 2 - 3 8
ł
ę
=
ę0 1 - 7 4ś
ś
ę0 2 0 2 w3 = (-2)w2 + w3
ś
1 2 - 3 8 w1 = (-2)w2 + w1
ł
ę
ś
=
ę0 1 - 7 4
ś
ę0 0 14 - 6 w3 = w3
ś
14
ł
1 0 11 0 w1 = (-11)w3 + w1
ę0 1 - 7 4 ś
ś
w2 = 7w3 + w2 =
ę
ę0 0 1 - 3ś
ś
7
33 33
ł
x1 =
1 0 0
ś
7 7
ę
ś
ę0 1 0 13ś = x2 = 1
3
ę0 0 1 - ś
x3 =
7
ś
7
Matematyka ćwiczenia.
Przykład: Oblicz wskaznik macierzy IV stopnia
3 2 1 4
ł
ę0 3 1 1ś
ę ś
A = =
ę ś
5 0 2 1
ę ś
1 2 3 0
Wszystkie kolumny i rzędy mają taką sama ilość zer. Możemy więc wybrać dowolny element od którego
rozpoczniemy obliczenia. Rozpoczniemy od zera z 3 rządu , 2 kolumny. Rząd 3, kolumna 2 zostają więc
wyeliminowany z obliczeń.
3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4
ł ł ł
ę0 3 1 1ś ę0 3 1 1ś ę0 3 1 1ś
ę ś ę ś ę ś
A = = = =
ę ś ę ś ę ś
5 0 2 1 5 0 2 1 5 0 2 1
ę ś ę ś ę ś
1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0
0 1 1 3 1 4 3 1 4
5 2 1 5 2 1 0 1 1
2(-1)1+2 1 3 0 + 3(-1)2+2 1 3 0 + 2(-1)4+2 5 2 1 =
0 1 1 3 1 4 3 1 4
5 2 1 5 2 1 0 1 1
W = 14 W = 44 W = -18
(- 2)14 + 3 44 + 2 (-18) = - 28 +132 - 36 = -68
Przykład: Obliczyć macierz odwrotna metodą dopełnień.
1 2 1
ł
ę
A = 0 3 2ś
ę ś
ę ś
-1 4 2
1) Obliczamy wskaznik macierzy:
1 2 1
ł
ę
A = 0 3 2ś =
ę ś
ę ś
-1 4 2
1 2 1ł
ę ś
ę0 3 2ś
W = 6 - 4 + 3 - 8 =
= 9 -12 = -3
2) Obliczamy macierz dopełnień.
Krok 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1
ł ł ł
ę
A= 0 3 2ś A= ę 0 3 2ś A= ę 0 3 2ś
ę ś ę ś ę ś
ę ś
-1 4 2 ę 4 2 ę 4 2
-1 ś -1 ś
0 0
(-1)1+1 3 2 (-1)1+2 -1 2 (-1)1+3 -1 3 ł
ę ś
4 2 2 4
ę ś
AD = ę ś
ę ś
ę ś
ę ś
Krok 2)
1 2 1 1 2 1 1 2 1
ł ł ł
ę
A= 0 3 2ś A= ę 0 3 2ś A= ę 0 3 2ś
ę ś ę ś ę ś
ę ś
-1 4 2 ę 4 2 ę 4 2
-1 ś -1 ś
0 0
(-1)1+1 3 2 (-1)1+2 -1 2 (-1)1+3 -1 3 ł
ę ś
4 2 2 4
ę ś
ę 1 1
AD = (-1)2+1 2 1 (-1)2+2 -1 1 (-1)2+3 -1 2 ś
ę ś
4 2 2 4
ę ś
ę ś
ę ś
ę ś
Krok 3)
1 2 1 1 2 1 1 2 1
ł ł ł
ę
A= 0 3 2ś A= ę 0 3 2ś A= ę 0 3 2ś
ę ś ę ś ę ś
ę ś
-1 4 2 ę 4 2 ę 4 2
-1 ś -1 ś
0 0
(-1)1+1 3 2 (-1)1+2 -1 2 (-1)1+3 -1 3 ł
ę ś
4 2 2 4
ę ś
ę 1 1
AD = (-1)2+1 2 1 (-1)2+2 -1 1 (-1)2+3 -1 2 ś
ę ś
4 2 2 4
ę ś
ę
2 2
(-1)3+1 3 1 (-1)3+2 1 1 (-1)3+3 1 3 ś
ę ś
2 0 2 0
ę ś
Krok 4) Obliczamy wskazniki w macierzy dopełnień:
3 2 0 2 0 3 ł
1+1 1+2 1+3
(-1) (-1) (-1)
ę ś
4 2 -1 2 -1 4
ę ś
ęW = 6 - 8 = W = 0 + 2 = W = 0 + 3 = ś
ę ś
W = 3
ęW = -2 W = 2 ś
ę ś
ę ś
2 1 1 1 1 2
ę 2+1 2+2 2+3 ś
(-1) (-1) (-1)
ę ś
4 2 -1 2 -1 4
ę ś
AD =
ę ś
W = 4 - 4 = W = 2 + 1 = W = 4 + 2 =
ę ś
W = 6
ęW = 0 W = 3 ś
ę ś
ę ś
2 1 1 1 1 2
3+1 3+2 3+3
ę ś
(-1) (-1) (-1)
ę ś
3 2 0 2 0 3
ę ś
ęW = 4 - 3 = W = 2 - 0 = W = 3 - 0 = ś
ęW = 1 ś
W = 2 W = 3
ę ś
ę ś
Krok 5) Obliczamy elementy macierzy dopełnień według wzoru: Aij = (-1)n W
(-1)2(- 2) (-1)3 2 (-1)4 3ł 1(- 2) (-1)2 1 3 - 2 - 2 3
ł ł
ę śę
ę
AD = (-1)30 (-1)4 3 (-1)5 6 (-1)0 1 3 (-1)6ś = 0 3 - 6ś
ę śę
ś ę ś
ę
ę ś ę ś
(-1)4 1 (-1)5 2 (-1)6 3ś 11 (-1)2 1 3 1 - 2 3
3) Transponujemy macierz dopełnień:
T
ć
- 2 - 2 3 ł - 2 0 1 ł
T
ę
. (AD) = 0 3 - 6ś = 2 3 - 2ś
ę
ę 1 - 2 3 ś ę-3 - 6 3 ś
ś ę ś
Łę ł
4) Obliczamy macierz odwrotną:
AT
A-1 =
W
- 2 1 2 1
ł ł
0 0 -
ę
- 3 - 3ś ę 3 3ś
- 2 0 1
ł
ę ę ś
2 2
ę
ę- 2 3 - 2ś ę ś
ś
AT = 2 3 - 2ś W = -3 A-1 = = -1
ę- ś
- 3 - 3 - 3 3 3
ę ś ę ś
ę ś
3 - 6 3
3 - 6 3 -1 2 -1
ę ś ę ś
ę ś
- 3 - 3 - 3ś ę
5) Dokonujemy sprawdzenia poprawności obliczeń.
Wykorzystujemy zależność:
Macierz pomnożona przez macierz odwrotną daje w wyniku macierz jednostkową.
A-1 A = I
2 1
ł
0 -
ę
3 3ś
1 2 1
ł
ę ś
2 2
ę
ę ś
A-1 = -1 A = 0 3 2ś
ę ś
3 3
ę ś
ę ś
-1 2 -1
ę ś -1 4 2
ę ś
2 1 2 1 2 1 ł
ć ć ć
2 1
ł
1 + 0 0 + - (-1) 2 + 0 3 + - 4 1 + 0 2 + - 2ś
0 -
ę
ę
3 3 3 3 3 3
Ł ł Ł ł Ł ł
3 3ś
1 2 1
ł
ę ś
ę ś
2 2 2 2 2 2 2 2
ę
ę ś
ę ś
-1 0 3 2ś = 1 + (-1) 0 + (-1) 2 + (-1)3 + 4 1 + (-1)2 + 2 =
ę ś
ę ś
3 3 3 3 3 3 3 3
ę ś
ę ś
ś
-1 2 -1 (-1)1 + 2 0 + (-1)(-1) (-1)2 + 2 3 + (-1)4 (-1)1 + 2 2 + (-1)2
ę ś -1 4 2 ę
ę ś
ę ś
ę ś
2 1 4 4 2 2
ł
+ - -
ę ś
3 3 3 3 3 3
1 0 0
ł
ę ś
2 2 4 8 2 4
ę0
ę ś
= - - 3 + - 2 + = 1 0ś
ę ś
3 3 3 3 3 3
ę ś
ę ś
-1 + 1 - 2 + 6 - 4 -1 + 4 - 2
ę ś 0 0 1
ę ś
Mnożenie A-1 A = I sprawdziło się. Obliczenie macierzy pierwotnej zostało przeprowadzone poprawnie.
Przeprowadzimy to samo obliczenie wykorzystując metodę przekształceń elementarnych.
1 2 1 1 0 0
ł ł
ę
A = 0 3 2śę0 1 0ś
ę śę ś
ę śę ś
-1 4 20 0 1
Polega ona na tym, że do macierzy dopisujemy jej postać jednostkową a następnie obie macierze poddajemy
kolejnym przekształceniom ich elementów tak, aby postać macierzy sprowadzić do postaci macierzy
jednostkowej. Po takich przekształceniach dopisana na początku macierz jednostkowa będzie miała postać
poszukiwanej macierzy pierwotnej.
Przekształcenie 1
Pierwszy i drugi wiersz przepisujemy bez zmian bo jest jedynka i zero
1 2 1 1 0 0
ł ł
ę
A = 0 3 2śę0 1 0ś
ę śę ś
ę-1 4 20 0 1
śę ś
Aby zamiast elementu a 31 = -1 otrzymać 0 należy do wiersz 3 dodać wiersz 1.
1 2 1 1 0 0
ł ł
ę
= 0 3 2śę0 1 0ś
ok.!
ę śę ś
ę śę ś
-1 4 20 0 1 w3 = w1+ w3
1 2 1 1 0 0
ł ł
ę0
= 3 2śę0 1 0ś
ę śę ś
ę śę ś
0 6 31 0 1
Przekształcenie 2
Aby zamiast elementu a 22 = 3 otrzymać 1 należy wiersz 2 podzielić przez 3
1 2 1 1 0 0
ł ł
w2
ę0
A = 3 2śę0 1 0ś w2 = ok.!
ę śę ś
3
ę śę ś
0 6 31 0 1
ł ł
1 2 1 1 0 0
ę śę ś
2 1
= 1 0 0ś
ę0 3śę 3
ę0 6 3śę1 0 1ś
Przekształcenie 3
Aby zamiast elementu a 12 = 2 otrzymać 1 należy wiersz 2 pomnożyć przez (-2) i dodać do wiersza 1.
ł ł
1 2 1 1 0 0
w1 = (- 2)w2 + w1
ę śę ś
2 1
= 1 0 0ś ok.!
ę0 3śę 3
ę0 6 3śę1 0 1ś
1 2
1 0 - ł1 - 0ł
ę ś
3śę 3
ę śę ś
ę0 2 śę0 1 0ś
= 1
ę 3 3 ś
śę
0 6 3 1 0 1
ę śę ś
ę śę ś
Przekształcenie 4
Aby zamiast elementu a 31 = -1 otrzymać 0 należy pomnożyć przez (-6) i dodać do wiersza 3.
1 2
1 0 - ł1 - 0ł
ę ś
3śę 3
ę śę ś
2 1
ę śę ś
= 0 1 0 0 ok.!
3 3
ę śę ś
w3 = (-6)w2 + w3
0 6 3 1 0 1
ę śę ś
ę śę ś
1 2
1 0 - ł1 - 0ł
ę ś
3śę 3
ę śę ś
2 1
ę śę ś
= 0 1 0 0
3 3
ę śę ś
0 0 -1 1 - 2 1
ę śę ś
ę śę ś
Przekształcenie 5
Aby zamiast elementu a 33 = -1 otrzymać 1 należy w3 pomnożyć przez (-1)
1 2
1 0 - ł1 - 0ł
ę ś
3śę 3
ę śę ś
ę0 2 śę0 1 0ś
= 1 ok.!
ę 3 3 ś
śę
w3 = (-1)w3
0 0 -1 1 - 2 1
ę śę ś
ę śę ś
1 2
1 0 - ł ł
1 - 0
ę ś
3śę 3
ę śę ś
2 1
ę śę ś
= 0 1 0 0
ę 3 śę 3 ś
0 0 1 -1 2 -1
ę śę ś
ę śę ś
Przekształcenie 6
Aby zamiast elementu a 13 = -1/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (1/3) i dodać do w1
1 2
1 0 - ł ł
1
ć w3
1 - 0
ę ś
w1 = + w1
3śę 3
3
ę śę ś Ł ł
2 1
ę śę ś
= 0 1 0 0 ok.!
3 3
ę śę ś
0 0 1 -1 2 -1
ę śę ś
ę śę ś
2 1
ł
0 -
łę
1 0 0 3 3ś
ś
ę śę
2 1
= 1 0 0
ę0 3śę 3 ś
ę0 0 1 śę 2 -1ś
ś
ę-1
ę ś
Przekształcenie 7
Aby zamiast elementu a 23 = 2/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (-2/3) i dodać do w2
2 1
ł
0 -
łę
1 0 0 3 3ś
ś
ę śę
2 1 2
ć w3
= 1 0 0 w2 = - + w2 ok.!
ę0 3śę 3 ś 3
ę0 0 1 śę 2 -1ś Ł ł
ś
ę-1
ę ś
2 1
ł
0 -
3ś
1 0 0
łę 3
ś
2
ę0 ę 2
ś
= 1 0ś -1
ę śę 3
3
ę śę 2 -1ś
0 0 1ę-1 ś
ę ś
Przykład: Rozwiązać układ równań.
6x1 2x2 - x3 = 4
x1 x3 = 2 .
2x1 5x2 = 8
Tworzymy macierz współczynników i macierz wartości:
6 2 -1 4
ł ł
ę1 ę2ś
A = 0 -1ś W =
ę ś ę ś
ę ę
2 5 0 ś 8ś
Obliczamy metodą przekształceń elementarnych.
6 2 -1 4ł
ę
ę1 0 -1 2ś
ś
ę2 5 0 8
ś
2 1 4
ł
6 2 -1 4ł: 6
ę1 -
6 6 6ś
ę
ę1 0 -1 2ś ę1 0 -1 2ś w2 = (-1)w1+ w2
ę
ś
ś
ę2 5 0 8
ę2 5 0 8 ś
ś
ę
ś
2 1 4
ł
ę1 - ś
6 6 6
ę
ś
ę0 1 5 8 ś
- -
ę
3 6 6
ś
ę2 5 0 8 ś w3 = (-2)w1+ w3
ę
ś
1 1 2
ł
ę1 - ś
3 6 3
ę
ś
ę0 1 5 4 ś
- - w2 = (-3)w2
ę
3 6 3
ś
ę
13 1 20
ś
ę0 3 3 3 ś
1 1
1 - 2 ć 1 w2
ł
ę
w1 = - + w1
3 6
ś
3
ę Ł ł
3
5
ę
0 1 - 4ś
2
ę 20ś
ę0 13 1 3 ś
ś
ę
3 3
ę1 0 -1 2 ł
ś
ę
5
ę
0 1 - 4ś
2 ś
20
ę
13
ć w2
w3 = - + w3
ę0 13 1 3 ś
3
Ł ł
ę
3 3
ę1 0 -1 2 ł
ę
5
ę
0 1 - 4ś
ś
2
ę
2
ć w3
ś
w3 = -
ę0 0 - 21 24
21ł
Ł
ę
2
ł
ę1 0 -1 2 ś
ę0 5 ś w2 ć 5
1 - 4 = - w3 + w2
ę
2 2
16ś Ł ł
ę0 0 1 -
ś
7
ę
ł
ę
ś
2
ę1 0 -1 12 ś w1 = w3 + w1
ę0
1 0 ś
ę 7
ś
ę0 0 1 16ś
-
ę
ś
7
2 2
ł
- x1 = -
ę
ś
7
ę1 0 0 7 ś
12 12
ę0
ś
x2 =
1 0
ę
7 7
ś
ę0 0 1 16ś
16
- x3 = -
ę
ś
7 7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
matematyka macierze02 01 11 e notatka analiza matematyczna II kolokwium Imacierze i wyznaczniki notatki z wykladuAnaliza matematyczna II Kolokwium II (e notatka)MATEMATYKA macierzeRothbard Notatka o ekonomii matematycznejMatematyjka Dzialania na macierzachMatematyka Macierze02 01 11V e notatka analiza matematyczna I kolokwium II02 01 11 e notatka analiza matematyczna I egzaminAnaliza Matematyczna 2 Zadanianotatki zagadnieniazachowania macierzynskie klaczy i ich nieprawidlowosciwięcej podobnych podstron