Przykład 7.1. Skręcanie pręta  zadanie statycznie wyznaczalne
Sporządzić wykresy momentu skręcającego i kąta skręcenia dla pręta o schemacie statycznym
przedstawionym na rysunku 1.
Rysunek 1. Pręt skręcany
Niewiadomy moment MA obliczymy z warunku równowagi::
n
(1)
= 0 ; M - ml - m 2l + ml = 0
"Mix A
i=1
M = 2ml
A
Momenty skrÄ™cajÄ…ce w przekrojach Ä… -Ä… , ² - ² , . . . obliczymy korzystajÄ…c z definicji tych
wielkości. Moment skręcający w przekroju poprzecznym pręta równy jest liczbowo
algebraicznej sumie momentów względem osi pręta od wszystkich sił występujących po
jednej stronie tego przekroju. Za dodatni przyjmuje się taki moment, który działa na przekrój
obracając go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Otrzymujemy
Ä… -Ä… ; 0 d" x < l , M (x) = M = 2ml ,
S A
² - ² ; 0 < x < l , MS(x) = M - M = 2ml - ml = ml ,
A
Å‚ -Å‚ ; 0 d" x d" l , M (x) = M - M - 2mx = ml - 2mx ,
S A (2)
´ -´ ; 0 d" x < l , MS(x) = M - M - 2ml = -ml ,
A
µ - µ ; 0 < x d" l , MS(x) = M - M - 2ml + M = 0 .
A
Przyjęto tu zmienną x mierzoną od końca poprzedniego przedziału do początku następnego.
Tak, wiÄ™c przekrój x = l - 0 przedziaÅ‚u Ä…-Ä… jest przekrojem x = 0+ przedziaÅ‚u ² - ² . W
przekrojach obciążonych momentem skupionym mamy nieciągłość funkcji MS(x), dlatego
przedziały zmiennej x zawierają ostre nierówności. Widzimy, że M (x) są funkcjami stałymi
S
lub liniowymi.
Kąt skręcenia pręta obliczymy ze wzoru:
x
MS(x)dx
Õ(x) = Õ(0)+ (3)
+"
0
GJ0
W poszczególnych przekrojach otrzymuje się:
x
2ml 2ml 2ml2
Ä… -Ä… : Õ(x) = Õ(0)+ dx = x ; Õ(l) = ,
+"
0
GJ0 GJ0 GJ0
2ml2 x ml 2ml2 ml 3ml2
(4)
² - ² : Õ(x) = + dx = + x ; Õ(l) = ,
+"
GJ0 0 GJ0 GJ0 GJ0 GJ0
3ml2 x (ml - 2mx)dx = 3ml2 ml m
Å‚ - Å‚ : Õ(x) = + + x - x2 ;
+"
GJ0 0 GJ0 GJ0 GJ0 GJ0
l 13ml2 3ml2
ÕëÅ‚ öÅ‚ = = Õmax , Õ(l) = ,
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4GJ0 GJ0
íÅ‚ Å‚Å‚
3ml2 x ml 3ml2 ml 2ml2
´ -´ : Õ(x) = - dx = - x ; Õ(l) = ,
+"
GJ0 0 GJ0 GJ0 GJ0 GJ0
2ml2 2ml2
µ -µ : Õ(x) = + 0 = .
GJ0 GJ0
Zauważmy, że maksymalny kąt skręcenia występuje w przedziale ł -ł , gdzie występuje
obciążenie momentem ciągłym, w przekroju x=l/2, w którym M = 0 . Z zależności:
S
dÕ(x) MS(x)
= (5)
dx GJ0
wynika, że gdy MS(x0) = 0 , to Õ(x0) = Õekstr. .
Zauważmy, że w przekrojach obciążonych skupionymi momentami występują skoki
momentów skrÄ™cajÄ…cych, zaÅ› funkcja Õ(x) jest w tych punktach nierózniczkowalna.
13ml2
Mamy: maks M = 2ml , maksÕ = .
s
4GJ0
Zakładając, że mamy do czynienia z przekrojem kołowym, dla którego wskaz
nik na skręcanie
3
Ä„d
wynosi WS = obliczymy:
16
maksMS 32 ml
Ämax = = (6)
3
WS Ä„ d
2
Kryteria wytrzymałości i sztywności pozwalają na określenie jednej z dwóch wielkości m lub
d, gdy dane są G, ks (materiał) i długość l pręta:
32 ml 13ml2 32 104 ml2
(7)
d" kS , = d" Õdop .
3 4 4
Ä„ d 4G Ä„d Ä„ Gd
3