Tytuł prezentacji:
ZwiÄ…zki Fizyczne
( Równania konstytutywne )
Teoria Sprężystości i Plastyczności
Nazwa wydziału: IMiR
Nazwa katedry: KWMiK
Miejsce i data prezentacji: Kraków 26.11.2014r.
www.agh.edu.pl
Równania teorii sprężystości
3 Równania równowagi wewnętrznej (równania Naviera)
Gdzie: i,j = 1, 2, 3 oraz
i,k,r = 1, 2, 3
Równania teorii sprężystości
6 równań geometrycznych (równania Cauchy ego)
Równania teorii sprężystości
6 równań fizycznych (równania Hooke a)
Wprowadzając stałe:
gdzie: E - moduł Younga
- współczynnik Poissona
G- moduł Kirchhoffa
Równania teorii sprężystości
PodsumowujÄ…c:
W ten sposób otrzymujemy pełen komplet równań potrzebnych do opisu 15 niewiadomych!
Równania teorii sprężystości
Założenia do równań konstytutywnych:
- związki fizyczne są niezależne od czasu i warunków
zewnętrznych, czyli zależności dla każdej chwili i temperatury są
takie same;
- zależność Ã ( µ ) jest liniowa;
- ciaÅ‚a zachowujÄ… siÄ™ sprężyÅ›cie tzn. à i µ zanikajÄ… po usuniÄ™ciu
przyczyny.
Równania teorii sprężystości
Najogólniejszą postać związków fizycznych wiążących ze sobą
wartości tensorów naprężenia i odkształcenia, w przypadku
trójwymiarowym, w ciałach materialnych zarówno izotropowych
jak i anizotropowych liniowo sprężystych można przedstawić
następująco:
Wskaz
nikowo:
Równania teorii sprężystości
Tensor Cijkl o walencji 4 nazywamy tensorem
sprężystości ( sztywności ) stałych materiałowych.
Tensor ten dla ciał izotropowych jest tensorem
izotropowym zatem można go zapisać w następującej
postaci:
Równania teorii sprężystości
Wykorzystując równanie otrzymamy:
Zatem:
Równania teorii sprężystości
Po uporzÄ…dkowaniu:
Równanie to jest spełnione, gdy:
Równania teorii sprężystości
Dla dowolnej kombinacji wskaz
ników
warunek drugi nie zawsze będzie spełniony
zatem:
Równania teorii sprężystości
Zauważmy, że:
Równania teorii sprężystości
Stąd po podstawieniu tych warunków otrzymamy:
Wzór przedstawia skrócony zapis równań fizycznych
wiążących ze sobą wartości tensorów naprężenia i
odkształcenia w przypadku trójwymiarowym ( dla
dowolnych osi ), w ciałach materialnych
izotropowych, liniowo  sprężystych bez
uwzględnienia temperatury i czasu.
Równania teorii sprężystości
W uzyskanym równaniu fizycznym naprężenia zostały
wyrażone przez odkształcenia. Doprowadz
my do
zależności odwrotnej.
Równania teorii sprężystości
Po przekształceniach:
PrzyjmujÄ…c:
Równania teorii sprężystości
Równania teorii sprężystości
Po podstawieniu, uzyskamy zwiÄ…zki fizyczne:
Równania teorii sprężystości
Równania teorii sprężystości
Równania teorii sprężystości
Uzyskujemy:
Równania teorii sprężystości
Równania teorii sprężystości
Równania teorii sprężystości
Zakończenie
Dziękujemy za uwagę.
Bibliografia
[1] A. Siemieniec, S. Wolny, Wytrzymałość Materiałów, cz. III, Kraków, 1995.
[2] y
ródło pochodzące z Internetu:
http://www.ikb.poznan.pl/almamater/wyklady/teoria_sprezystosci_03-04/06.pdf