Testowanie hipotez dotyczÄ…cych wariancji i odchylenia standardowego
2
BÄ™dziemy testować hipotezÄ™, że wariancja ma Å›ciÅ›le okreÅ›lonÄ… wartość à . Test opieramy na
0
funkcji testowej Ç2. Próba zostaÅ‚a wylosowana z populacji generalnej N(µ,Ã) o nieznanej
wartoÅ›ci oczekiwanej µ i nieznanym odchyleniu standardowym Ã. Weryfikujemy hipotezÄ™
zerową H0 wobec jednej z trzech hipotez alternatywnych Ha. Funkcją testową będzie
n
2
= 2
n (x - x)
"
i n
nS 1
2
2 i =1
Ç = = = (x - x)
"
i
2 2 2
i =1
à à n Ã
0 0 0
o (n-1) stopniach swobody.
20
20
15
15
10
10
Ä…/2
Ä…
Ä…/2
1- Ä…
5 1- Ä…
5
0 0
0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14
2 2 2
Ç Ç Ç
1 2 1
H0: Ã2=Ã02; Ha: Ã2`"Ã02 H0: Ã2=Ã02; Ha: Ã2>Ã02
dwustronny obszar krytyczny jednostronny obszar krytyczny
(odrzuć H0 na korzyść Ha) (odrzuć H0 na korzyść Ha)
2 2 2
(0, Ç ), ( Ç ,") ( Ç ,")
1 2 1
20
15
10
Ä…
1-Ä…
5
0
0 2 4 6 8 1 0 1 2 14
2
Ç
1
H0: Ã2=Ã02; Ha: Ã2<Ã02
jednostronny obszar krytyczny
(odrzuć H0 na korzyść Ha)
2
(0, Ç )
1
Test zgodnoÅ›ci Ç2 Pearsona
Ç
Ç
Ç
Służy do testowania hipotez dotyczących dystrybuanty, gęstości prawdopodobieństwa
lub funkcji prawdopodobieństwa (dla cechy skokowej). Testem zgodności nazywamy test do
weryfikacji hipotezy dotyczącej zgodności pomiędzy rozkładem zbioru wartości w próbie i
postulowanym rozkładem teoretycznym. Na podstawie np. wykonanych histogramów
wysuwamy hipotezę zerową, że np. dystrybuantą badanej cechy jest jakaś konkretna funkcja.
Hipotezą alternatywną będzie zaprzeczenie hipotezy zerowej. Hipotezę zerową możemy
odrzucić na przyjętym poziomie istotności ą lub też stwierdzić, że badana próbka nie jest
sprzeczna z hipotezą zerową na tym poziomie istotności. Procedura weryfikowania hipotezy
zerowej jest następująca:
a) Dzielimy wyniki doświadczalne na k klas (ke"5) o liczebności w każdej klasie
ni co najmniej 6;
b) Obliczamy teoretyczne prawdopodobieństwo pi , że x należy do tej klasy;
c) Obliczamy liczebność teoretycznÄ… nÅ"pi w danej klasie;
Numer klasy Granice klas Liczebności Prawdopodobieństwo Liczebności
doświadczalne ni teoretyczne pi hipotetyczne
1 g0 g1 n1 p1
nÅ"p1
2 g1 g2 n2 p2
nÅ"p2
k gk-1 gk nk pk
nÅ"pk
n = n n Å" p = n
" "
i i
2
d) Obliczamy wartość Ç , tzw. chi-kwadrat doÅ›wiadczalnego
d
2
k
(ni - n Å" pi )
2
Ç =
d "
n Å" pi
i=1
Statystyka ta ma rozkÅ‚ad Ç2 o (k-1) stopniach swobody.
e) Z tablic rozkładu chi-kwadrat, dla wybranego poziomu istotności ą,
2
odczytujemy wartość Ç .
Ä…
2 2 2 2
f) Gdy Ç < Ç , to hipotezy zerowej nie odrzucamy. Gdy natomiast Ç > Ç , to
d Ä… d Ä…
wnioskujemy, że pobrana próbka przeczy hipotezie zerowej na poziomie
2
istotnoÅ›ci Ä…. Obszarem krytycznym jest zatem jednostronny obszar ( Ç ,").
Ä…