Materialypomoc1,2,3Geologia2011

dr hab. H. Gacki
Materiały pomocnicze 1
Matematyka stosowana , I rok Geologii 2012/13
Własności wyznacznika
1. det A = det AT
2. Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) wyznacznika zmienia jego wartość na przeciwną.
3. Wyznacznik mający wiersz (kolumnę) złożon� z samych zer jest równy zero.
y
4. Wyznacznik nie ulegnie zmianie, jeżeli do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy kombinację liniową
innych wierszy (kolumn).
5. Jeżeli jakiś wiersz (kolumnę) macierzy pomnożymy przez liczbę to wartość wyznacznika zostanie
pomnożona przez tę liczbę.
6. Suma iloczynów dowolnego wiersza (kolumny) przez dopełnienia algebraiczne odpowiednich elemen-
tów innego wiersza (kolumny) równa się zero.
Podstawowe własności rachunku macierzowego
1. Niech macierz A ma wymiar m � n, a macierze B, C wymiar n � k. Wtedy
A(B + C) = AB + AC
2. Jeżeli macierze A, B mają wymiar m � n, a macierz C wymiar n � k to
(A + B)C = AC + BC
3. Macierz A ma wymiar m � n, macierz B ma wymiar n � k, a macierz C wymiar k � l to
(AB)C = A(BC)
4. Niech macierze A, B będą macierzami wymiaru
m � n, wtedy
T
(A + B)T = AT + BT oraz AT = A
5. Macierz A jest wymiaru m � n, a B macierzą n � k to zachodzi
(AB)T = BT AT
6. W przypadku gdy macierz A jest kwadratowa oraz liczba r " N mamy
T r
Ar = AT .
7. Dla każdej macierzy kwadratowej jest prawdziwe:
1
macierz (A + AT ) jest macierzą symetryczną.
2
1
macierz (A - AT ) jest macierzą antysymetryczną.
2
Każdą macierz kwadratową można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy syme-
trycznej i antysymetrycznej.
1
8. Niech macierze A, B tego samego stopnia będą odwracalne oraz niech ą " Z \ {0}, n " N.
Wtedy macierze A-1, AT , AB, ąA, An też są odwracalne i zachodzą równości:
-1 -1
det A-1 = det A , A-1 = A,
-1 T -1
AT = A-1 , AB = B-1A-1,
-1 -1 n
1
ąA = A-1 An = A-1 .
ą
9 Jeżeli macierz A ma wymiar m � n, macierz B ma wymiar n � r to rząd iloczynu macierzy nie
przekracza rzędu czynników tzn.

R(AB) min R(A), R(B) .
10 Pomnożenie dowolnej macierzy A o wymiarze m � n przez macierz kwadratową nieosobliwą B o
wymiarze n � n nie zmienia jej rzędu tzn.:
R(AB) = R(A).
Regresja dwuwymiarowa
�ł łł �ł łł
1 0 1.7
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
1 1 1.9
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
X = 1 2 Y = 2.6
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
1 3 2.9
�ł �ł �ł �ł
1 4 3.4
�ł łł
1 0
�ł śł

�ł śł
1 1
�ł śł
1 1 1 1 1 5 10
�ł śł
XT " X = " 1 2 =
�ł śł
0 1 2 3 4 10 30
�ł śł
1 3
�ł �ł
1 4

-1 3
-1
5 5
XT " X =
-1 1
5 10
�ł łł
1.7
�ł śł

�ł śł
1.9
�ł śł
1 1 1 1 1 12.5
�ł śł
XT " Y = " 2.6 =
�ł śł
0 1 2 3 4 29.4
�ł śł
2.9
�ł �ł
3.4
Ostatecznie otrzymujemy:

-1 3
-1 12.5 1.62
5 5
XT X " XT Y = " =
-1 1 29.4 0.44
5 10
Stąd zaobserwowana regresja liniowa ma postać
y = 0.44 x + 1.62.
Wartość wariancji resztowej jest równa:
T
Y Y - BT XT Y
2
Se (a0, B0) = ,
n - 2
2
u nas n = 5 oraz

1.62
B =
0.44
Wyznacz wartość liczbową wariancji resztowej dla naszych danych eksperymentalnych
Przykład 2- regresja wieloraka
�ł łł
�ł łł
x1 x2
0.9
�ł śł
�ł łł
1 2 1
�ł śł �ł śł
�0 �ł śł �ł śł
1.2
-1
�ł śł �ł śł
1 3 2
�ł
�ł śł �ł śł
XT X XT Y = �1 śł , X = Y = 1.8
�ł �ł
�ł śł �ł śł
1 4 2
�ł śł �ł śł
�2 2.5
�ł śł �ł �ł
�ł 1 5 3 �ł
2.8
1 6 3
�ł łł �ł łł
1 2 1 0.9
�ł łł
�ł śł �ł śł
�ł 1 3 2 śł 1 1 1 1 1 �ł śł
1.2
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
X = 1 4 2 XT = 2 3 4 5 6 Y = 1.8
�ł �ł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
1 5 3 1 2 2 3 3 2.5
�ł �ł �ł �ł
1 6 3 2.8
�ł łł
1.93 -0.67 -0.67
-1
�ł śł
XT X = -0.67 0.93 -1.67 �ł
�ł
-0.67 -1.67 3.33
�ł łł
0.9
�ł łł �ł łł
�ł śł
�ł śł
1 1 1 1 1 1.2 9.2
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
XT Y = 2 3 4 5 6 1.8 = 41.9
�ł �ł �ł �ł
�ł śł
�ł śł
1 2 2 3 3 2.5 22.8
�ł �ł
2.8
Ostatecznie otrzymujemy:
�ł łł
-0.21
-1
�ł śł
XT X XT Y = 0.49 �ł
�ł
0.033
Zaobserwowana regresja wieloraka ma postać:
Y = -0.21 + 0.49x1 + 0.033x2
Zaobserwowana wartość wariancji resztowej to
T
Y Y - BT XT Y 19.58 - 19.53
2
Se = = = 0.033,
n - k 5 - 3
Se = 0.18, gdzie k = 3 oraz n = 5.
Macierz przejścia - przykład o kolejkach linowych
Rysunek przedstawia schemat połączeń pięciu stacji kolejki linowej.
Elementy aij macierzy połączeń A są określone wzorem:
ńł
�ł
1 gdy stacje i oraz j mają
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
bezpośrednie połączenie,
aij =
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
ół
0 w przeciwnym przypadku.
3
Wypisać macierz A.
Uzasadnić, że element cij macierzy An jest równy liczbie różnych tras łączących stację i ze stacją j złożonych
z n odcinków.
Wyznaczyć najmniejszą liczbę n, dla której możliwe jest dotarcie z dowolnej stacji początkowej do dowolnej
stacji końcowej w n odcinkach.
�ł łł
0 1 1 1 1
�ł śł
�ł 1 0 1 0 0 śł
�ł śł
�ł śł
B = 1 1 0 1 0
�ł śł
�ł śł
0 0 1 0 0
�ł �ł
1 0 0 0 0
Rozważmy najpierw przypadek n = 2 wtedy element macierzy A2 z definicji mnożenia macierzy jest równy
a2 = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j + ai5a5j
ij
�ł łł �ł łł �ł łł
3 1 2 1 0 3 5 5 5 3 13 8 13 8 3
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł 1 2 1 2 1 śł �ł 4 2 5 2 1 śł �ł 8 9 8 9 4 śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
B2 = 1 1 3 1 1 , B3 = 5 4 3 4 1 , B4 = 8 8 13 8 5
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
1 1 0 1 0 1 1 3 1 1 5 4 3 4 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 1 1 1 1 3 1 2 1 0 3 5 5 5 3
4
Definicja 1. Układem m równań liniowych o n niewiadomych x1, x2, ..., xn, gdzie m, n " N, nazy-
wamy układ postaci:
ńł
�ł a11x1 +a12x2+ � � � +a1nxn = b1
�ł
�ł
�ł
�ł
a21x1 +a22x2+ � � � +a2nxn = b2
(1)
.
�ł .
�ł .
� � � � � � � � � � � �
�ł
�ł
ół
am1x1 +am2x2+ � � � +amnxn = bm,
gdzie aij " R, bi " R dla 1 i m oraz 1 j n.
Macierzą główną układu (1) nazywamy macierz:
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł
a21 a22 . . . a2n śł
�ł śł
�ł śł
A =
�ł . śł
.
.
�ł . . . . . . . . . �ł
am1 am2 . . . amn
Macierzą uzupełnioną układu (1) nazywamy macierz:
�ł łł
a11 a12 . . . a1n b1
�ł
a21 a22 . . . a2n b2 śł
�ł śł
�ł śł
B =
. . . .
�ł . śł
. . . . .
.
�ł . . . . �ł
am1 am2 . . . amn bm
Macierz niewiadomych, oraz macierz wyrazów wolnych to:
�ł łł �ł łł
x1 b1
�ł śł �ł śł
x2 b2
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
X = , b = ,
. .
�ł śł �ł śł
. .
�ł . �ł �ł . �ł
xn bm
Układ równań możemy zapisać w postaci macierzowej:
AX = b.
Rozwi� ag
azaniem układu równań liniowych nazywamy ci�
(x1, x2, . . . , xn)
liczb rzeczywistych spełniaj� ten układ.
acych
Jeżeli układ nie posiada rozwi� to nazywamy go układem sprzecznym.
azania
Jeżeli układ posiada jedno rozwi� to nazywamy go układem oznaczonym.
azanie
Jeżeli układ posiada nieskończenie wiele rozwi� to nazywamy go układem nieoznaczonym.
azań
Definicja 2. Układ n-równań liniowych o n- niewiadomych nazywamy układem Cramera, jeżeli
macierz układu jest macierz� nieosobliw� tzn. det A = 0.
a a
Twierdzenie 1. Układ Cramera AX = b ma dokładnie jedno rozwi�
azanie
�ł łł
det A1
�ł
det A2 śł
�ł śł
1
�ł śł
X = ,
.
�ł śł
.
det A
�ł . �ł
det An
gdzie n oznacza stopień macierzy A, natomiast Aj dla 1 j n oznacza macierz A, w której j-t�
a
kolumn� zastąpiono kolumną wyrazów wolnych b.
e
5
�ł łł
a11 a12 . . . b1 . . . a1n
�ł
a21 a22 . . . b2 . . . a2n śł
�ł śł
�ł śł
. . . . .
.
�ł śł
. . . . . .
.
Aj = �ł . . . . . śł
�ł śł
.
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . bn . ann
.
1 - sza 2 - ga . . . j - ta . . . n - ta
Uwaga 1. Wzory Cramera można zapisać w postaci równoważnej :
(2) X = A-1b.
Rozwiaż układ postaci:
�
ńł
�ł 4x1 -x2 +2x3 = 1
�ł
2x1 +x2 = 1
�ł
ół
-2x1 +x3 = 2,
�ł łł �ł łł
4 -1 2 1 -1 2
�ł śł �ł śł
det A = det 2 1 0 = 10 det A1 = det 1 1 0 = -2
�ł �ł �ł �ł
-2 0 1 2 0 1
�ł łł �ł łł
4 1 2 4 -1 1
�ł śł �ł śł
det A2 = det 2 1 0 = 14 det A3 = det 2 1 1 = 16
�ł �ł �ł �ł
-2 2 1 -2 0 2

-2 14 16
Stąd rozwiązniem jest ciąg liczb: , , .
10 10 10
Rozwiaż ten sam układ równań tym razem korzystając z własności rachunku macierzowego :
�
ńł
�ł 4x1 -x2 +2x3 = 1
�ł
2x1 +x2 = 1
�ł
ół
-2x1 +x3 = 2,
Macierz układu ma postać:
�ł łł
4 -1 2
�ł śł
A = 2 1 0 .
�ł �ł
-2 0 1
�ł łł
4 -1 2
�ł śł
det A = det 2 1 0 = 10 = 0.
�ł �ł
-2 0 1
Wyznaczamy macierz odwrotn� do macierzy A
a
�ł�ł łł�ł-1 �ł łł
4 -1 2 1 1 -2
1
�ł�ł śł�ł �ł śł
�ł�ł 2 1 0 = -2 8 4 .
�łłł �ł �ł
10
-2 0 1 2 2 6
St� rozwi�
ad azaniem jest
�ł łł �ł łł �ł łł
1 1 -2 1 -1
5
1
�ł śł �ł śł �ł śł
7
�ł -2 8 4 " �ł �ł �ł �ł ,
�ł 1 =
5
10
8
2 2 6 2
5
Zatem ci� liczb:
ag

-2 14 16
, , .
10 10 10
6
Twierdzenie Kroneckera - Capelliego 1. Warunkiem koniecznym i wystarczaj� na to, by układ
acym
(1) miał rozwi� jest aby
azanie,
(3) R(A) = R(B)
Rozwiazać układ równań
�
ńł
�ł 2x +3y +4z -w = 1
�ł
x -y +2w = 0
�ł
ół
4x +y +4z +3w = 1,
Sprawdzamy czy R(A) = R(B) ?
�ł łł �ł łł
2 3 4 -1 2 3 4 -1 1
�ł śł �ł śł
A = 1 -1 0 2 , B = 1 -1 0 2 0 �ł
�ł �ł �ł
4 1 4 3 4 1 4 3 1
�ł łł �ł łł
2 3 4 2 3 -1
�ł śł �ł śł
det 1 -1 0 = det 1 -1 2 = 0
�ł �ł �ł �ł
4 1 4 4 1 3
�ł łł �ł łł
2 4 -1 3 4 -1
�ł śł �ł śł
det 1 0 2 = det -1 0 2 = 0,
�ł �ł �ł �ł
4 4 3 1 4 3
ale

2 3
det = 0 st� R(A) = 2(podobnieR(B) = 2).
ad
1 -1
Teraz wybieramy dowolny minor stopnia 2 w macierzy A różny od zera. Przykładowo :

2 3
det = -5 = 0.

1 -1
Odrzucamy ostatnie równanie, gdyż minor ten nie zawiera współczynników tego równania.
Otrzymujemy układ równoważny

2x +3y +4z -w = 1
x -y +2w = 0
Układ ten jest układem Cramera z dwoma parametrami

2x +3y = 1 - 4z + w
x -y = -2w
Stosujemy wzory Cramera traktuj� niewiadome wyst� ace po prawej stronie jak parametry.
ac epuj�
Otrzymamy w ten sposób rozwiazanie postaci:
�

1 4 1 4
- z - w; - z + w; z; w
5 5 5 5
gdzie, z, w " R.
7
Ile rozwiązań w zależności od parametru m posiada układ równań:
ńł
�ł (m + 1)x1 +x2 +x3 = 1
�ł
x1 +(m + 1)x2 +x3 = m + 1
�ł
ół
mx1 +m(m + 2)x2 = 0,
Rozważmy dwa przypadki:
�ł łł �ł łł
(m + 1) 1 1 (m + 1) 1 1
�ł śł �ł śł
det 1 (m + 1) 1 = 0, det 1 (m + 1) 1 = 0
�ł �ł �ł �ł
m m(m + 2) 0 m m(m + 2) 0
Wyznaczamy wyznacznik
�ł łł
(m + 1) 1 1
�ł śł
det �ł 1 (m + 1) 1 �ł
m m(m + 2) 0
= (m + 1)(m + 1) � 0 + m + m(m + 2) -
- (m + 1)m - (m + 1)m(m + 2) =
= -m3 - 3m2 = -m2(m + 3)
Zatem dla m = 0, -3 układ jest cramerowski czyli dla m " R\{0, -3} układ posiada jedno rozwiązanie.

Rozważmy teraz przypadek m=0 Układ przyjmuje postać:

x1 +x2 +x3 = 1
x1 +x2 +x3 = 1.
Oznacza to, że posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Rozważmy przypadek m=-3 Układ przyjmuje
postać:
ńł
�ł -2x1 +x2 +x3 = 1
�ł
x1 -2x2 +x3 = -2
�ł
ół
-3x1 +3x2 = 0.
Układ ten jest równoważny układowi:

-x1 +x3 = 1
-x1 +x3 = -2.
Zatem dla m = -3 układ ten jest układem sprzecznym.
8

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
CHEMIA materiały dodatkowe
Analiza samobójstw w materiale sekcyjnym Zakładu Medycyny Sądowej AMB w latach 1990 2003
1 Materiały tymczasowe
Materiały pomocnicze Krzysztof Żywicki
MaterialyWyklad6,7Geologia
materials
notatek pl dr in Jaros aw Chmiel, Nauka o materia ?h, Przemiany podczas odpuszczania
Nauka o materiałach 2 VI
12 Wykonywanie sterylizacji instrumentów, materiałów
exams materials?emstr tb05
material
materialy?
us intelligence exploitation of enemy material 2006
WDIS Materialy 4
Ćwiczenie laboratoryjne nr 6 materiały

więcej podobnych podstron