UNIWERSYTET ROLNICZY W KRAKOWIE
WYDZIAA INŻYNIERII PRODUKCJI I ENERGETYKI
KATEDRA ENERGETYKI I AUTOMATYZACJI PROCESÓW ROLNICZYCH
Małgorzata Trojanowska
ROZWIZYWANIE ELEKTRYCZNYCH
OBWODÓW JEDNOFAZOWYCH
PRDU SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO
Kraków 2013
Wprowadzenie
Analizę obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego można przeprowadzić posługując się od razu wielkościami
skutecznymi prądów i napięć. Ze względu na przesunięcia fazowe prądów i napięć sinusoidalnie zmiennych
prawa Kirchhoffa w odniesieniu do wartości skutecznych mają brzmienie:
I prawo Kirchhoffa w każdym węzle geometryczna suma wektorów wartości skutecznych prądów jest równa
zeru;
II prawo Kirchhoffa w każdym oczku geometryczna suma wektorów wartości skutecznych sił
elektromotorycznych zródeł i spadków napięć na elementach R, L, C oczka jest równa zeru.
W dodawaniu dwóch wektorów np. prądów I1 i I2 rozróżnia się następujące przypadki:
zgodność faz wektorów; wówczas moduł wektora wypadkowego jest równy sumie modułów wektorów
składowych: I = I1 + I2 (rys. 2a),
opozycję faz wektorów, polegającą na przesunięciu faz o kąt rad; wówczas moduł wektora wypadkowego
jest równy różnicy arytmetycznej wektorów składowych: I = I1 I2 (rys. 2b),
pð
ortogonalność faz polegająca na przesunięciu faz o kąt rad; wtedy moduł wektora wypadkowego
Ä…ð
2
2 2
I =ð I1 +ð I2 (rys. 2c).
a)
c)
b)
I2
d)
I
I
I2
I
I2
I
Ä… I2
I1
I1 I1
I1
Rys. 2. Przykłady dodawania wektorów prądów
pð
Jeżeli kąt przesunięcia między wektorami jest różny od 0, i , to przy dodawaniu wektorów możemy
Ä…ð
2
2 2
skorzystać z twierdzenia cosinusów (rys. 2d): I =ð I1 +ð I2 -ð 2I1I2 cosað .
Przy konstruowaniu wykresów wektorowych położenie jednego z wektorów można wybrać dowolnie, pozostałe
zaś wektory kreśli się względem tego wektora pod kątami równymi odpowiednim przesunięciom fazowym.
Moc czynna ma zawsze wartość dodatnią. Jest ona rozpraszana na rezystancji R obwodu. Moce bierne pobierane
przez cewki i kondensatory kompensujÄ… siÄ™ wzajemnie, przy czym zwykle moc biernÄ… indukcyjnÄ… przyjmuje siÄ™
za dodatnią, a pojemnościową za ujemną.
Zadania
Zadanie 2.1
Przebieg zmian napięcia zasilającego obwód przedstawiony na rysunku 2.1a opisany jest zależnością u = 282,8
sin(314t) V, a parametry obwodu sÄ… nastÄ™pujÄ…ce: R = 100©, C = 18,4źF.
Wyznaczyć: 1. wartość maksymalną napięcia Um; 2. wartość skuteczną napięcia U; 3. częstotliwość napięcia f;
4. fazÄ™ poczÄ…tkowÄ… napiÄ™cia È; 5. impedancjÄ™ obwodu Z; 6. współczynnik mocy (cosĆ) obwodu; 7. moc czynnÄ…
P, moc biernÄ… Q i moc pozornÄ… S obwodu.
Narysować wykres wektorowy prądu i napięć.
a)
I
b) c)
d) UR I
R P
R
UR
U
Ć
Ć Ć
XC QC U
UC C Z
S
UC
Rys. 2.1
RozwiÄ…zanie
Wartość chwilowa napięcia sinusoidalnie zmiennego określona jest funkcją:
u =ð Um sin(wðt +ðyð ) .
StÄ…d:
1. Um =282,8V.
Um 282,8
2.
U =ð =ð =ð 200V.
2 2
wð 314
3. É = 314 rad/s,
f =ð =ð =ð 50Hz.
2Pð 2Pð
4. È = 0 rad.
5. Elementy R i C są ze sobą połączone szeregowo, gdyż płynie przez nie ten sam prąd I. Zatem impedancja
obwodu
1 1
Z =ð R2 +ð XC 2 =ð R2 +ð ( )2 =ð 1002 +ð ( )2 =ð 1002 +ð1732 ð 200Wð,
2PðfC 2Pð ×ð50 ×ð18,4 ×ð10-ð6
czego ilustracją jest trójkąt impedancji (rys. 2.1b).
6. Współczynnik mocy cosĆ można wyznaczyć z trójkąta impedancji (rys. 2.1b), trójkąta mocy (rys. 2.1c) lub z
trójkąta napięć (rys. 2.1d)). Tu wyznaczymy z trójkąta impedancji:
R 100
cosfð =ð =ð =ð 0,5.
Z 200
U 200
7.
I =ð =ð =ð 1A,
Z 200
XC 173
P = UIcosĆ = 200"1"0,5 = 100W,
Q =ð -ðUI sinfð =ð -ðUI =ð -ð200 ×ð1×ð =ð -ð173var,
Z 200
S = UI = 200·1 =200V·A
lub na podstawie trójkÄ…ta mocy (rys. 2.1c): S =ð P2 +ð Q2 =ð 1002 +ð (-ð173)2 =ð 200V ×ð A.
8. Wykres wektorowy prądu i napięć rysujemy w odpowiedniej skali (przyjmując 1A = a cm, 1V = b cm),
zaczynając od wektora prądu I, który jest wielkością elektryczną wspólną dla obwodu (rys. 2.1.d). W fazie z
pð
prądem rysujemy wektor napięcia UR (UR = RI), a wektor napięcia UC (UC = XCI) opózniony o kąt rad w
2
stosunku do prądu. Następnie, aby otrzymać wektor napięcia U dodajemy wektory UR i UC. Wynika to z II prawa
Kirchhoffa, zgodnie z którym możemy dla obwodu (rys. 2.1.a) napisać równania:
rð rð rð
U -ðUR -ðUC =ð 0 ,
rð rð rð
U =ð UR +ðUC .
Zadanie 2.2
Pð
Wartość skuteczna prądu wynosi 5A, faza początkowa prądu rad, a częstotliwość prądu 50Hz.
3
Wyznaczyć: 1. pulsację prądu, 2. wartość maksymalną prądu, 3. okres przebiegu, 4. zapisać przebieg zmian
prÄ…du w funkcji czasu.
Pð
Odp.: 1. 314 rad/s, 2. 7,07A, 3. 0,02s, 4. .
i =ð 7,07sin(314 +ð )
3
Zadanie 2.3
Jaką indukcyjność lub pojemność należy połączyć szeregowo z żarówką o danych znamionowych: Un=24V,
Pn=15W, aby nie uległa ona uszkodzeniu po przyłączeniu do sieci o napięciu 230V?
RozwiÄ…zanie
Żarówkę charakteryzuje rezystancja (indukcyjność i pojemność żarówki są do pominięcia), którą można
wyznaczyć z zależności:
Un 2 242
R =ð =ð =ð 38,4Wð.
Pn 15
Prąd znamionowy żarówki wyliczamy ze wzoru:
Pn 15
In =ð =ð =ð 0,625A.
Un cosfð 24×ð1
Aby żarówka nie uległa przepaleniu prąd w obwodzie nie może przekraczać wartości znamionowej żarówki.
Zatem przy wzroście napięcia do wartości 230V musimy zwiększyć impedancję obwodu do wartości:
U 230
Z =ð =ð =ð 368Wð.
In 0,625
Jeżeli żarówkę połączymy szeregowo z elementem indukcyjnym L, to impedancję Z określa zależność:
2
.
Z =ð R2 +ð XL
StÄ…d:
2
X =ð Z -ð R2 =ð 3682 -ð 38,42 =ð 366Wð,
L
X 366
L
L =ð =ð =ð 1,17H.
2Pðf 2Pð ×ð 50
Jeżeli żarówkę połączymy szeregowo z elementem pojemnościowym C, to jego pojemność powinna wynosić:
1 1
C =ð =ð =ð 8,7mðF.
2PðfX 2Pð ×ð50×ð366
C
Zadanie 2.4
Wyznaczyć wskazania woltomierzy dołączonych do obwodu pokazanego na rysunku 2.2a.
Dane: U = 230V, f = 50 Hz, R = 40©, L = 127,3 mH, C = 318,3źF.
Jak zmienią się wskazania woltomierzy, gdy częstotliwość napięcia zasilającego zmniejszy się dwukrotnie?
UV2
b)
a)
V2
V2
UC
UR UL
I
XL XC
R
R XL Xc
X
V1
UV1
cC
U
U
V1
c)
UL UC
d)
UL
UV1
UV2
I
UC UR
I
Rys. 2.2
RozwiÄ…zanie
Rozwiązywanie zadania zaczynamy od zastrzałkowania prądu i napięć (rys. 2.2b).
Ponieważ elementy R, L, C są ze sobą połączone szeregowo impedancja obwodu wynosi:
1
Z =ð R2 +ð (XL -ð XC )2 =ð R2 +ð (2PðfL -ð )2 ;
2PðfC
1
Z =ð 402 +ð (2Pð ×ð50×ð127,3×ð10-ð3 -ð ×ð318,3×ð10-ð6)2 =ð 402 +ð (40 -ð10)2 =ð 50Wð;
2Pð ×ð50
wartość skuteczna prądu
U 230
I =ð =ð ð 4,6A.
Z 50
Woltomierz V1 wskazuje wartość skuteczną napięcia UV1, które jest sumą geometryczną napięć UL i UC (rys.
2.2b):
rð rð rð
UV1 =ð UL +ðUC.
Aby wyznaczyć wskazanie woltomierza V1 rysujemy odpowiedni wykres wektorowy, zaczynając od wektora
prądu I. Ponieważ nie jest podana faza początkowa prądu przyjmujemy, że jest ona równa 0 rad. Wektor
pð
napięcia UC (UC = XCI) rysujemy jako opózniony o kąt rad w stosunku do wektora prądu, a wektor napięcia
2
pð
UL (UL = XLI) jako wyprzedzający wektor I o kąt rad (rys. 2.2c). Ponieważ wektory UL i UC są przesunięte
2
względem siebie o kąt , wartość skuteczna napięcia wskazywana przez woltomierz V1 (rys. 2.2.c) wynosi:
UV1 = UL UC = XLI XCI = 40"4,6 10"4,6 = 138V.
Woltomierz V2 wskazuje wartość skuteczną napięcia UV2, które jest sumą geometryczną wektorów napięć UR i
UL (rys. 2.2b):
rð rð rð
UV 2 =ð UR +ðUL.
Stosowny wykres wektorowy przedstawia rys. 2.2d, na którym wektor napięcia UR (UR = RI) jest narysowany w
pð
fazie z prądem I, a wektor UL wyprzedza prąd o kąt rad. Ponieważ wektory napięć UR i UL są przesunięte
2
pð
względem siebie o kąt wartość skuteczna napięcia wskazywana przez woltomierz V2 (rys. 2.2d) wynosi:
2
2 2
.
UV 2 =ð UR +ðUL =ð (RI)2 +ð (XLI)2 =ð (40×ð4,6)2 +ð (40×ð4,6)2 ð 260V
Wartości reaktancji zależą od wartości częstotliwości napięcia zasilającego. Jeżeli częstotliwość napięcia
zasilającego zmaleje dwukrotnie, to reaktancja indukcyjna też dwukrotnie zmaleje, natomiast reaktancja
pojemnościowa dwukrotnie wzrośnie.
Stąd impedancja obwodu przy częstotliwości napięcia zasilającego f = 25 Hz wyniesie:
Z =ð R2 +ð (XL -ð XC )2 =ð 402 +ð (20 -ð 20)2 =ð 40Wð.
Z obliczeń wynika, że przy zadanych wartościach parametrów obwodu R, L, i C oraz przy częstotliwości
napięcia zasilającego równej 25Hz, reaktancja indukcyjna i pojemnościowa obwodu są sobie równe. W
obwodzie zachodzi zatem rezonans napięć.
Prąd płynący w obwodzie będzie miał natężenie:
230
I =ð =ð 5,75A,
40
a wskazania woltomierzy, wyznaczone w analogiczny sposób jak powyżej, będą wynosiły:
UV1 = UL UC = XLI XCI = 20"5,75 - 20"5,75 = 0V,
2 2
.
UV 2 =ð UR +ðUL =ð (RI)2 +ð (XLI )2 =ð (40×ð5,75)2 +ð (20×ð5,75)2 ð 257,1V
Zadanie 2.5
Jak zmieni się moc czynna układu, którego schemat przedstawia rysunku 2.3 gdy:
1. napięcie U wzrośnie dwukrotnie,
2. częstotliwość f wzrośnie dwukrotnie, przy U = 200V,
3. pojemność kondensatora C zmniejszy się dwukrotnie, przy U = 200V i f = 50Hz.
Dane: U = 200V, f = 50Hz, R = 8Wð, XL = 12Wð, XC = 6Wð.
R XL XC
U
Rys. 2.3
Odp.: 1. moc czynna wzrośnie z 3200W do 12800W, 2. zmaleje do ok. 634W, 3. wzrośnie do 5000W.
Zadanie 2.6
W obwodzie z rysunku 2.4 wyznaczyć wartość skuteczną napięcia zasilającego U i wskazanie woltomierza V2
(UV2).
Dane: R = 8Wð, XL = 12Wð, XC = 18Wð, wskazanie woltomierza V1 UV1 = 72V.
Ile wyniesie wskazanie woltomierza V1 (UV1), gdy częstotliwość napięcia zasilającego wzrośnie dwukrotnie,
przy nie zmienionej wartości skutecznej tego napięcia?
V1
XC XL
R
U
V2
Rys. 2.4
Odp.: U = 50V, UV2 = 50V, UV1 = 74,4V.
Zadanie 2.7
W obwodzie z rysunku 2.5 wyznaczyć moc bierną układu i jej rodzaj (indukcyjna czy pojemnościowa) oraz
wskazania woltomierzy V1 (UV1) i V2 (UV2).
Dane: R = 24Wð, XL1 = 15Wð, XL2 = 3Wð, XC = 8Wð, U = 260V.
R
U XL2
V1 V2
XC
XL1
Rys. 2.5
Odp.: Q = 1000var, indukcyjna, UV1 = 250V, UV2 = 70V.
Zadanie 2.8
Dla obwodu z rysunku 2.6 wyznaczyć wartości oporów R0 i X0.
Dane: U = 100V, R = 3Wð, X = 4Wð, I = 10A, współczynnik mocy obwodu cosjð = 0,8.
I
X
R
RO
U
XO
Rys. 2.6
Odp.: R0 = 5Wð, X0 = 2Wð.
Zadanie 2.9
Wyznaczyć wskazanie woltomierza V2 (UV2) dołączonego do obwodu z rysunku 2.7.
Dane: R1 = 10©, R2 = 6©, XC = 24©, wskazanie woltomierza V1 UV1 = 200V, moc wydzielana na rezystancji R2
PR2 = 0,6kW.
V1
XL
R1 R2
XC
U V2
Rys. 2.7
Odp.: UV2 =134,2V.
Zadanie 2.10
Obliczyć natężenia prÄ…dów, wartość admitancji Y oraz współczynnik mocy (cosjð) ukÅ‚adu , którego schemat
przedstawia rysunku 2.8a.
Dane: U = 120V, f = 50Hz, R = 40 ©, L = 95,6mH.
c)
b)
a)
I IL
IR U
G
IR
Ć Ć
BL
U L UL
R UR
Y
I
IL
Rys. 2.8
Elementy R i L są ze sobą połączone równolegle, gdyż spadki napięć na tych elementach są sobie równe (wynika
rð rð
to z II prawa Kirchhoffa: UR -ðUL =ð 0 , stÄ…d UR = UL) i równe wartoÅ›ci skutecznej napiÄ™cia zasilajÄ…cego U.
Zatem korzystając z prawa Ohma można wyznaczyć natężenia prądów IR i IL:
UR U 120
IR =ð =ð =ð =ð 3A,
R R 40
UL U 120 120
IL =ð =ð =ð =ð =ð 4A.
X 2PðfL 2Pð ×ð50×ð95,6×ð10-ð3 30
L
W celu wyznaczenia prądu I piszemy dla węzła (rys. 2.8a) równanie zgodnie z I prawem Kirchhoffa:
rð rð rð
I -ð IR -ð IL =ð 0,
rð rð rð
I =ð IR +ð IL.
Stąd wynika, że wektor prądu I otrzymamy po dodaniu wektorów IR i IL:
Rysujemy wykres wektorowy napięcia i prądów (rys. 2.8c). Zaczynamy go od narysowania wektora napięcia U,
który jest wielkością elektryczną wspólną dla obwodu. Ponieważ nie jest podana faza początkowa napięcia
przyjmujemy, że jest ona równa 0 rad. Następnie rysujemy w fazie z napięciem prąd IR oraz prąd IL opózniony w
pð
stosunku do napięcia o kąt rad. Zatem wartość skuteczna prądu
2
2 2
I =ð IR +ð IL =ð 32 +ð 42 =ð 5A.
Admitancję obwodu wyliczamy z prawa Ohma, po jego przekształceniu:
I 5
Y =ð =ð ð 0,042S.
U 120
Admitancję obwodu możemy wyliczyć również na podstawie trójkąta admitancji (rys. 2.8b):
1 1 1 1
2
Y =ð G2 +ð BL =ð ( )2 +ð ( )2 =ð ( )2 +ð ( )2 ð 0,042S.
R X 40 30
L
Współczynnik mocy cosĆ możemy wyznaczyć na podstawie wykresu wektorowego z trójkąta prądów (rys. 2.8
c) lub z trójkąta admitancji (rys. 2.8 b):
IR 3 G 0,025
.
cosfð =ð =ð =ð 0,6lub cosfð =ð =ð =ð 0,6
I 5 Y 0,042
Zadanie 2.11
Wyznaczyć wskazania amperomierzy włączonych w obwód z rysunku 2.9a. Jaki jest charakter obwodu
(indukcyjny czy pojemnościowy)?
Dane: U = 240V, IR = 3A, IL = 8A, IC = 4A.
Jak zmienią się wskazania amperomierzy i charakter obwodu, gdy częstotliwość napięcia zasilającego wzrośnie
dwukrotnie?
b)
a)
I1 w1 I2 w2
A1 A2
IL IR IC
XL UL R UR
U XL R XC U XC UC
c)
d)
IC
IC
I2
IR U=UR=UC=UL
U=UR=UC=UL
Ć
IR I1
IL IC
Rys. 2.9
RozwiÄ…zanie
Rozwiązywanie zadania zaczynamy od zastrzałkowania prądów i napięć (rys. 2.9b). Amperomierz A2 wskazuje
natężenie prądu I2. W celu wyznaczenia prądu I2 piszemy dla węzła w2 (rys. 2.9b) równania zgodnie z I prawem
Kirchhoffa:
rð rð rð
I2 -ð IR -ð IC =ð 0 ,
rð rð rð
I2 =ð IR +ð IC .
Aby obliczyć wartość skuteczną prądu I1 rysujemy odpowiedni wykres wektorowy (rys. 2.9c). Ponieważ
elementy R, L, C są ze sobą połączone równolegle (UR = UL = UC.= U), rysowanie wykresu zaczynamy od
wektora napięcia U, przyjmując jego fazę początkową równą 0. Następnie w fazie z napięciem kreślimy wektor
pð
prądu IR i wektor prądu IC wyprzedzający wektor napięcia o kąt . Po dodaniu tych wektorów otrzymujemy
2
wektor prądu I2, którego wartość skuteczną wyznaczamy z zależności:
2 2
.
I2 =ð IR +ð IC =ð 32 +ð 42 =ð 5A
Amperomierz A1 wskazuje natężenie prądu I1. W celu wyznaczenia prądu I1 piszemy dla węzła w1 (rys. 2.9b)
równania zgodnie z I prawem Kirchhoffa:
rð rð rð
I1 -ð IL -ð I2 =ð 0 .
Po podstawieniu zależności na prąd I2 otrzymamy:
rð rð rð rð
I1 -ð IL -ð IR -ð IC =ð 0 ,
rð rð rð rð
I1 =ð IL +ð IR +ð IC .
W celu wyznaczenia wartości skutecznej prądu I1 uzupełniamy wykres wektorowy, rysując wektor prądu IL
pð
opózniający się w stosunku do wektora napięcia U o kąt (rys. 2.9d). Następnie dodajemy wektory, najlepiej
2
w kolejności: IL do IC, następnie ich sumę geometryczną do wektora IR. Otrzymany w ten sposób prąd I1 ma
wartość skuteczną:
.
I1 =ð IR2 +ð (IL -ð IC )2 =ð 32 +ð (8 -ð 4)2 =ð 5A
Charakter obwodu jest indukcyjny, gdyż napięcie zasilające U wyprzedza w fazie prąd pobierany przez
odbiornik (rys. 2.9d).
Jeżeli częstotliwość napięcia zasilającego zwiększymy dwukrotnie, to dwukrotnie wzrośnie wartość reaktancji
indukcyjnej XL i dwukrotnie zmniejszy się wartość reaktancji pojemnościowej XC. W następstwie tego
dwukrotnie zmniejszy się natężenie prądu IL, a dwukrotnie wzrośnie natężenie prądu IC. Zatem wartości
skuteczne prądów płynących w obwodzie będą wynosiły:
IR = 3A, IL = 4A, IC = 8A,
2 2
,
I2 =ð IR +ð IC =ð 32 +ð 82 ð 8,5A I1 =ð IR2 +ð (IL -ð IC)2 =ð 32 +ð (4 -ð 8)2 =ð 5A.
Po dwukrotnym zwiększeniu częstotliwości napięcia zasilającego charakter obwodu zmieni się na
pojemnościowy.
Zadanie 2.12
Wyznaczyć wartości skuteczne prądów I, I1, I2, I3, moc czynną P i moc bierną układu z rysunku 2.10.
Dane: IR1 = 1A, IL1 = 1A, IR2 = 3A, IL2 = 2A, IC = 6A, U = 200V.
I I1 I2 I3
IR1 IL1 IR2 IL2 IC
U
Rys. 2.10
Odp.: I = 5A, I1 = 4,24A, I2 = 5A, I3 = 4A, P = 800W, Q = 600var.
Zadanie 2.13
Wyznaczyć wartość rezystancji R w obwodzie z rysunku 2.11.
Dane: R1 = 16Wð, XL = 8Wð, moc czynna ukÅ‚adu P = 600W, moc pozorna S = 1000VA.
R
U
R1
XL
Rys. 2.11
Odp.: R = 1,6Wð.
Zadanie 2.14
W obwodzie z rysunku 2.12 obliczyć natężenia prÄ…dów I3, I4 oraz cosfð obwodu.
Dane: I1 = 20A, I2 = 10A, I5 = 6A.
Jak zmieniÄ… siÄ™ natężenia prÄ…dów w poszczególnych gaÅ‚Ä™ziach oraz cosfð obwodu, gdy czÄ™stotliwość napiÄ™cia
zasilającego wzrośnie dwukrotnie przy nie zmienionej wartości skutecznej napięcia zasilającego?
I1 I3
I2 I5
I4
U
R1 L R2
Rys. 2.12
Odp.: I3 = 13,4A, I4 =12A, cosfð = 0,8,
' ' ' ' '
I1 =ð 17,1A, I2 =ð 10A, I3 =ð 8,5A, I4 =ð 6A, I5 =ð 6A, cosfð = 0,94.
Zadanie 2.15
W obwodzie z rysunku 2.13 dane: U = 200V, f = 50Hz, I1 = 5A, moc czynna układu P = 600W. Po zamknięciu
wyłącznika W przez kondensator płynie prąd I2 = 3A.
Wyznaczyć pojemność kondensatora C oraz prąd I po zamknięciu wyłącznika W.
W
I
I1
I2
R
U
C
L
Rys. 2.13
Odp : C = 47,8mðF, I = 3,16A
Zadanie 2.17
Wyznaczyć wartość pojemności kondensatora, który należy podłączyć równolegle do zródła (rys. 2.14), w celu
kompensacji mocy biernej tj. poprawy współczynnika mocy do wartości cosĆopt = 0,96.
Dane: moc czynna obwodu P = 240W, L = 63,7 mH, wartość skuteczna prądu przed podłączeniem kondensatora
I = 4A (rys. 2.14a). Jak zmieni się natężenie tego prądu po przeprowadzeniu kompensacji mocy biernej (rys.
2.14b)?
c)
I1 I
b)
a)
I
IC
IC
R UR
U=URL=UC
R
U
UC
C URL
U
Ć
I1
L
L
UL
IC
I Ä…
Rys. 2.14
RozwiÄ…zanie
Moc czynna pobierana ze zródła jest równa mocy wydzielanej na rezystancji R według zależności:
P = RI2.
Możemy wyznaczyć wartość rezystancji odbiornika:
P 240
R =ð =ð =ð 15Wð
2
I 16
i kolejne parametry obwodu:
XL = 2?fL = 20©,
2
,
Z =ð R2 +ð XL =ð 25Wð
R
,
cosjð =ð =ð 0,6
Z
U = ZI = 100V.
Pojemność kondensatora do kompensacji mocy biernej wyznaczamy z zależności:
P(tgjð -ð tgjðopt)
240(1,33-ð 0,29)
C =ð =ð =ð 0,0000796F,
2
2PðfU 2Pð ×ð50×ð1002
C = 79,6źF.
W celu wyznaczenia natężenia prądu pobieranego ze zródła po kompensacji narysujmy wykres wektorowy
prądów i napięć (rys. 2.14c).
Rysowanie wykresu zaczynamy od wektora U, przyjmując jego fazę początkowa równą 0 rad. Napięcie to jest
równe napięciu na odbiorniku stanowiącym szeregowe połączenie R i L. Prąd I płynący przez tę gałąz opóznia
się za napięciem o kąt Ć, wynikający z charakteru impedancji Z. Napięciu U równy jest również spadek napięcia
Pð
na kondensatorze. Prąd płynący przez kondensator IC wyprzedza napięcie o kąt rad. Zatem prąd I pobierany
2
ze zródła po kompensacji jest sumą geometryczna wektorów I i IC, którego natężenie możemy wyznaczyć
korzystając np. z twierdzenia cosinusów:
' 2 2
I =ð I +ð IC -ð 2I ×ð IC cosað =ð 42 +ð 2,52 -ð 2×ð 4×ð 2,5×ðcos36,87o =ð 2,5A ,
gdzie:
UC U 100
.
IC =ð =ð =ð =ð 2,5A
XC XC 40
Zadanie 2.18
W ukÅ‚adzie jak na rysunku 2.15 pracuje odbiornik o danych: R = 8©, XL = 6© zasilany ze zródÅ‚a o napiÄ™ciu U =
240V.
Obliczyć: 1. moc czynną P i cosĆ odbiornika; 2. reaktancję XC kondensatora taką, aby po włączeniu
kondensatora równolegle do zródła współczynnik mocy całego układu cosĆopt =0,8; 3. moc bierną pobieraną
prze układ oraz prąd dopływający ze zródła przy otwartym i zamkniętym wyłączniku W.
I1 I
IC
XC
U
R XL
W
Rys. 2.15
Odp.: 1. P = 7,2kW, cosĆ = 0,6, 2. XC = 13,7©, 3. W otwarty: Q = 9,6kvar, I1 = 50A, W zamkniÄ™ty: Q = 5,4kvar,
I1 = 37,5A.
Zadanie 2.19.
Jak się zmieni wskazanie amperomierza (rys. 2.16) po otwarciu wyłącznika W.
Dane: R = XL = XC.
A
W
U R XL XC
Rys. 2.16
Odp.: Zmniejszy siÄ™ "2 razy.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SKRYPT ELEKTROTECHNIKA ZADANIA PRDZMIENNY3 FAZOWY 14Elektrostatyka zadania 2skrypt kombinatoryka (zadania przyklady)Elektromagnetyzm zadaniaMaszyny Elektryczne Zadanie 5 Transformator 1 fazowywięcej podobnych podstron