ANALIZA MATEMATYCZNA 1B Lista zadaÅ„ Semestr zimowy 2007/2008 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza 1.1 Zbadać, czy podane sformuÅ‚owania sÄ… zdaniami w logice. JeÅ›li sÄ…, to podać ich wartość logicznÄ…: a) Paryż jest stolicÄ… Francji ; b) Liczba 101000 + 1 jest podzielna przez 2 ; c) a2 + b2 = c2 ; d) Piotr nie jest moim bratem ; e) 25 32 ; f) " = b2 - 4ac . 1.2 Ocenić prawdziwość podanych niżej zdaÅ„ zÅ‚ożonych: a) nieprawda, że funkcja f(x) = x2 jest rosnÄ…ca na R ; b) (-1)44 = -1 lub 2008 jest liczbÄ… parzystÄ… ; c) funkcja g(x) = sin x jest okresowa, a funkcja f(x) = 3x jest nieparzysta ; d) jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest straszy od Piotra . 1.3 Zbadać, czy prawami logicznymi sÄ… funkcje zdaniowe: a) Ź (p (" q) =Ò! [(Źp) '" (Źq)] ; b) p =Ò! [(q '" Źq) =Ò! r] ; c) (p =Ò! q) =Ò! [(Źp) (" q] ; d) [p '" (Źq)] (" [(Źp) '" q] . 1.4 Zbiory okreÅ›lone za pomocÄ… formy zdaniowej zapisać w prostszej postaci:
a) x " R : x2 = 4 ; b) {k " {c&, f&, e&, `&} : w brydżu kolor k jest starszy od f&}; c) {x " R : (x < 3) (" (x 5)}; d) {n " N : n jest podzielne przez 5};
e) x " R : (x > 0) =Ò! x2 > 0 ; f) {(x, y, z) : x, y, z " N '" x < y < z '" xyz = 16}. 1.5 Podać przykÅ‚ady warunków, które speÅ‚niajÄ… tylko elementy zbiorów: a) [-1, 7] ; b) {As, Król, Dama, Walet};
e) Żelisław, Żytomir, Żywisław ; f) {-1, 1, -3, 3, -5, 5, -15, 15}. 1.6 Zbadać, czy są prawdziwe formy zdaniowe z kwantyfikatorami :
1 a) sin x = ; b) x2 + 4x + 3 > 0; 2 x"R x"R
c) x2 - y2 = 0; d) xy = 0. x"R y"R y"R x"R 1 1.7 Dla par zbiorów A, B ‚" R wyznaczyć A *" B, A )" B, A \ B, B \ A, Ac, Bc, AÅ‚%B, jeżeli: a) A = (0, 5), B = [0, 7]; b) A = (- ", 3), B = (-1, ");
1 2 c) A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}; d) A = : n " N , B = : n " N . n n Wskazać te pary A, B, dla których A ‚" B. 1.8 Okreslić relacjÄ™ zawierania miÄ™dzy zbiorami A, B, jeżeli: a) A *" B = A; b) A *" B ‚" A; c) A \ B = A; d) B ‚" A )" B. Lista druga 2.1 OkreÅ›lić i narysować dziedziny funkcji:
x x - 2 a) f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) = 16 - x2; x2 - 2x - 3 x2 + 4
x - 1 x - 4 d) f(x) = -(x + 3)4; e) f(x) = " ; f) f(x) = . x2 - 8x + 16 x - 1 2.2 Wyznaczyć zbiory wartości funkcji: " a) f(x) = x2 + 2x; b) f(x) = - x + 2; x2 1 c) f(x) = ; d) f(x) = 1 + . x2 + 1 x + 1 2.3 Wskazać przedziały, na których przedstawione na wykresach funkcje są rosnące, a na których malejące: y y y a) b) c) x -1 1 3 x 1 2 1 x -1 2 2 y y y d) e) f) x -2 2 x -1 1 3 x -1 1 2.4 Na podanych przedziałach uzasadnić monotoniczność funkcji: " a) f(x) = x2, (- ", 0] ; b) f(x) = x - 1, [1, "); 1 c) f(x) = , [0, ") ; d) f(x) = x + |x|, R. 1 + x2 2 2.5 Wyznaczyć współczynnik kierunkowy a oraz wyraz wolny b funkcji liniowych y = ax + b: a) y = 1; b) y - x = 0; c) y = -x + 4; d) y + 2x = 2; e) 3x + 4y - 2 = 0; f) x - 5y = 3. 2.6 Podać wzory funkcji liniowych, których wykresy przedstawiono poniżej: y y y y a) b) c) d) 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x x 2.7 W podanych przedziałach uprościć wyrażenia: a) x + |2 - x| + 3|1 - x|, gdzie x " (1, 2); b) |2x| - |x + 1| + 2|x - 2|, gdzie x " (2, ");
|x - 1| |1 c) - |2 - 3x|, gdzie x " (- ", -1); d) - x| - 1 - 2|x - 2|, gdzie x " (0, 1). |x + 1| 2.8 Korzystając z interpretacji geometrycznej |x - a| zaznaczyć na osi liczbowej R rozwiązania nierówności: 1 a) |3x - 1| 2; b) |2 - x| < 1; 2 c) |5 - 4x| > 3; d) |2 - 3x| 4. 2.9 Sprowadzić do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) funkcje kwadratowe i naszkicować ich wykresy: 1 a) f(x) = -x2 + x; b) f(x) = 2x2 + 1; c) f(x) = x2 + x + ; 4 3 9 d) f(x) = x2 + 2x - 3; e) f(x) = -2x2 - 2x + ; f) f(x) = -x2 - 3x - . 2 4 2.10 Wyznaczyć współczynniki oraz określić stopień funkcji wielomianowych: a) W (x) = (x + 1)3 - x(x - 1)2; b) W (x) = x4 + 4x3 - x2(x + 2); c) W (x) = (x + 2)3 - (x - 2)2; d) W (x) = (x + 1)2 - (2x + 3)3 - 2x. 2.11 Do funkcji wielomianowych: a) W (x) = 0.5x4 - 0.5x3 - 2x2 + 2x; b) W (x) = x4 + 2x3 - x2 - 2x; c) W (x) = x4 - 2x3 - x2 + 2x; d) W (x) = 0.5x4 + 0.5x3 - 2x2 - 2x. wskazać odpowiadające im wykresy 3 y y A) B) 10 10 5 5 x x O -2 -1 1 2 -2 -1 O 1 2 y y C) D) 10 10 5 5 x x -2 -1 -2 -1 O 1 2 O 1 2 * 2.12 Naszkicować przykład wykresu funkcji wielomianowej, dla której podano jej pierwiastki, ich krotności oraz znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej x: a) x1 = -2 (2 krotny), x2 = 0, x3 = 2, a4 > 0; b) x1 = -2, x2 = 1 (3 krotny), x3 = 2, a5 < 0; c) x1 = -2 (4 krotny), x2 = 0 (2 krotny), x3 = 2 (2 krotny), a8 > 0; d) x1 = -2 (3 krotny), x2 = 0 (3 krotny), x3 = 2 (2 krotny), a8 > 0. 2.13 Do funkcji wymiernych: 3x 2 a) w1(x) = ; b) w2(x) = ; x4 + 2 2x2 + x - 3 4x2 - 1 1 c) w3(x) = ; d) w4(x) = 2x + 1 x3 + 1 wskazać odpowiadające im wykresy y y A) B) 3 x x - 1 2 y y C) D) 1 x - x 2 4 2.14 Rozwiązać równania wymierne: 4x - 6 3 2 1 9x 3 a) = 0; b) + = ; c) = + 2; 2x2 - x + 4 4x - 6 2x - 3 5 3x - 1 3x + 1 3 2 21 2x - 1 3 x - 4 2 x - 21 d) + = ; e) = + 1; f) - = . x + 1 x - 2 x2 - x - 2 x x + 1 x - 5 x - 3 x2 + x - 6 2.15 Rozwiązać nierówności wymierne: x2 - 3x (x + 1)(x + 2) 3 2 a) < 0; b) 0; c) 2 + > ; x + 3 (x + 3)(x + 4) x + 1 x x2 + 5x x2 - 3x + 2 -x2 + 2x + 4 d) > x; e) > 0; f) 1. x - 3 x2 + 3x + 2 x - 2 Lista trzecia 3.1 Określić funkcje złożone f ć% f, f ć% g, g ć% f, g ć% g, jeżeli " 1 a) f(x) = , g(x) = x2; b) f(x) = x, g(x) = x4; x " 1 1 c) f(x) = , g(x) = ; d) f(x) = |x|, g(x) = x + 1. x + 1 x + 2 Wyznaczyć dziedziny tych funkcji złożonych. 3.2 Uzasadnić, że złożenie funkcji: a) rosnących jest funkcją rosnącą; b) rosnącej i malejącej jest funkcją malejącą; c) malejących jest funkcją rosnącą. 3.3 Znalezć funkcje f i g takie, że h = f ć% g, jeżeli: |x| + 1 x2 + 2x + 1 a) h(x) = ; b) h(x) = ; |x| - 1 x2 + 2x - 1
x + 1 c) h(x) = ; d) h(x) = x4 + 2x2 - 2. x Czy funkcje f i g są wyznaczone jednoznacznie? 3.4 Korzystając z wykresu funkcji f przedstawionego na rysunku y y A) B) 2 y=f(x) 2 y=f(x) x x -2 2 2 4 naszkicować wykresy funkcji: a) f(x) + 1; b) f(-x) - 1; c) f(x + 1); d) -f(x) + 1; e) -f(x - 1); f) f(1 - x) - 1. 3.5
Wykres funkcji f(x) = x2 + x + 1 (x - 1)(x - 3) przedstawiono na rysunku 5 y y= x2+x+1 (x-1)(x-3) ( ) 10 5 -1 1 2 3 x -5 Podać wzory funkcji, które otrzymano z funkcji f przez skalowanie, a ich wykresy przedstawiono na rysunkach: y y a) b) 10 20 5 10 -1 -1 1 2 3 x 1 2 3 x -5 -10 y y c) d) 5 10 2.5 5 -1 -1 1 2 3 x 1 2 3 4 5 6 x -2.5 -5 3.6 1 Przekształcając wykresy funkcji y = x2, y = , y = |x| naszkicować funkcje: x 1 a) y = x2 - 2, y = - x2, y = (x + 3)2, y = x2 - 4x + 7; 2 1 2 1 3 b) y = - , y = , y = , y = ; x x x + 3 x - 1 1 c) y = |x - 2|, y = |x|, y = 1 - |x|, y = |x + 4| - 2. 3 3.7 Podany jest wykres funkcji y = f(x) y 4 2 y=f(x) 3 x 1 Naszkicować wykresy funkcji: a) y = f(x + 1); b) y = f(x) - 2; c) y = f(x - 1) + 3; 1 d) y = f(x); e) y = f(3x); f) y = -f(x); 2 g) y = f (-x); h) y = |f(x)|; i) y = f(|x|). 6 Lista czwarta 4.1 Kąty wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 10ć%; b) 24ć%; c) 45ć%; d) 135ć%; e) 350ć%; f) 1080ć%. 4.2 Kąty wyrażone w radianach zapisać w stopniach: Ą 7Ą a) 1; b) ; c) ; 24 12 4Ą 35 21Ą d) ; e) Ą; f) . 3 36 12 4.3 Na płaszczyznie narysować w położeniu standardowym kąty: Ą Ą a) ; b) 120ć%; c) - ; 8 5 7Ą 7Ą d) -270ć%; e) ; f) - . 4 3 4.4
Ą Korzystając ze wzorów redukcyjnych zapisać w postaci funkcji trygonometrycznych kąta ą " 0, wyrażenia: 2
3Ą 5Ą a) sin - ą ; b) cos + ą ; 2 2 Ą c) tg (Ą - ą); d) ctg + ą . 2 4.5 Zapisać w postaci funkcji trygonometrycznych kąta z pierwszej ćwiartki wyrażenia:
19 5Ä„ 21 13Ä„ a) cos - Ä„ + cos ; b) cos - Ä„ - sin - ; 6 6 4 4
7 5 13 17 c) tg - Ą - ctg - Ą ; d) ctg Ą + ctg - Ą . 3 3 6 6 4.7 Uzasadnić tożsamości trygonometryczne: 1 + tg ą 1 2 a) = tg ą; b) sin4 ą+cos4 ą = 1- sin2 2ą; c) tg ą + ctg ą = ; 1 + ctg ą 2 sin 2ą ą 1 - cos ą 1 d) tg = ; e) sin4 ą-cos4 ą = sin2 ą-cos2 ą; f) - cos ą = sin ą tg ą. 2 sin ą cos ą Dla jakich kątów ą są one prawdziwe? 4.8 Wyprowadzić wzory: 7 ą ą 2 tg2 1 - tg2 2 2 a) sin ą = ; b) cos ą = ; ą ą tg2 + 1 1 + tg2 2 2 ą ą 2 tg 1 - tg2 2 2 c) tg ą = ; d) ctg ą = . ą ą 1 - tg2 2 tg 2 2 4.9 Korzystając z wykresu funkcji y = sin x naszkicować w przedziale [-Ą, Ą] wykresy funkcji:
x Ä„ a) y = sin 2x; b) y = sin ; c) y = sin x + ; 3 4
Ą 1 d) y = sin 2 x - ; e) y = 1 + sin x; f) y = sin x - 1. 6 2 4.10 Naszkicować wykresy funkcji:
Ä„ 1
a) y = cos 2 x - ; b) y = sin x - sin x ;
4 2
Ą c) y = 1 + ctg x + ; d) y = tg x + | tg x|; 4 e) y = sin x + cos x; f) y = |tg x| ctg x. 4.11 Rozwiązać równania trygonometryczne: x a) sin x = - sin 2x; b) cos 4x = sin ; 2
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„ c) cos - 2x = cos x + ; d) sin - 2x = cos x + ; 4 3 6 3 Ä„ Ä„ e) tg x - = tg - x ; f) ctg 2x = tg 2x; 4 6
Ą Ą Ą g) ctg 2x + = ctg x; h) tg 2x + = ctg 3x + . 3 4 6 4.12 Rozwiązać równania trygonometryczne: a) sin2 x + cos x sin x = 0; b) sin x - 2 = cos 2x; c) tg2 x - 2 tg x + 1 = 0; " 1 d) tg x + tg 2x = tg 3x; e) sin x = 0; f) cos = 1. x 4.13 Rozwiązać nierówności trygonometryczne: x Ą " Ą a) 2 sin - x 3; b) 2 cos - < -1; 3 2 6
x Ä„ Ä„ 3 a) cos x sin , x " - , ; b) cos x + sin x ; 2 2 2 2
1 Ä„ Ä„ c) ctg x - < 0; d) tg x tg 2x 1, x " - , . ctg x 2 2 8 Lista piÄ…ta 5.1 Zbadać, czy od pewnego miejsca sÄ… monotoniczne ciÄ…gi: 1 4n a) an = ; b) an = ; n2 - 6n + 10 2n + 3n n! 5 · 7 · . . . · (3 + 2n) c) an = ; d) an = ; 10n 4 · 7 · . . . · (1 + 3n) " 4n n e) an = ; f) an = 2n + 1. n + 3 5.2 Uzasadnić, że podane ciÄ…gi sÄ… ograniczone: " " 1 1 1 a) an = n + 8 - n + 3; b) an = + + . . . + . 41 + 1 42 + 2 4n + n 5.3 a) W ciÄ…gu arytmetycznym dane sÄ… a5 = 12 oraz a12 = -9. Wyznaczyć pierwszy wyraz oraz różnicÄ™ ciÄ…gu. b) Pierwszy wyraz ciÄ…gu arytmetycznego jest równy a1 = 1000, a różnica jest równa r = -13. Obliczyć sumÄ™ wszystkich dodatnich wyrazów ciÄ…gu. c) Suma wszystkich wyrazów ciÄ…gu geometrycznego wynosi 2, a suma kwadratów tych wyrazów wynosi 3. Znalezć sumÄ™ wartoÅ›ci bezwzlÄ™dnych wyrazów tego ciÄ…gu. d) W ciÄ…gu geometrycznym siódmym wyrazem jest 13, a piÄ™tnastym 26. Obliczyć sumÄ™ a3 + a4 + a5 + . . . + a10. an-1 + an+1 e) Pokazać, że w każdym ciÄ…gu arytmetycznym (an) zachodzi zależność an = , gdzie n > 1. 2
f) Czy dla każdego ciągu geometrycznego (bn) prawdziwa jest równość. bn = bn-1bn+1, gdzie n > 1? 5.4 Korzystając z definicji uzasadnić równości: " 2n + 1 2 n + 1 3 - n a) lim = 0; b) lim " = 2; c) lim = -1; n " n " n " n2 n + 1 n + 4
" 1 d) lim = 0; e) lim n4 - 1 = "; f) lim n - n = - ". n " n " n " 2n + 5 5.5 Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:
n2 + 1 n! + 1 n3 + 2n2 + 1 4 a) lim n4 + 16 - n ; b) lim ; c) lim ; n " n " n " - 3n3 (2n + 1)(n + 1)! n " 3
1 + 3 + . . . + (2n - 1) 8n+1 + 3 d) lim n2 + 4n + 1 - n2 + 2n ; e) lim ; f) lim . n " n " n " 2 + 4 + . . . + 2n 2n + 1 * 5.6 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znalezć granice: " 2n sin n n a) lim 2n + 5n; b) lim ; n " n " 3n + 1
2n + (-1)n 1 1 1 c) lim ; d) lim " + " + . . . + " . 3 3 3 n " n " 3n + 2 n3 + 1 n3 + 2 n3 + n 5.7 Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice: 15n n 5n + 2 3n a) lim ; d) lim ; n " n " 5n + 1 3n + 1 3n-2 5-2n 1 n + 4 c) lim 1 + ; d) lim . n " n " n n + 3 9 5.8 Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:
1 - (n + 1)! a) lim n4 - 3n3 - 2n2 - 1 ; b) lim ; n " n " n! + 2 1 1 1 + + . . . + n2 + 1 2 2n c) lim ; d) lim . n " n " n 1 + 3 + . . . + (2n - 1) Lista szósta 6.1 Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji uzasadnić równości:
sin2 x a) lim = 0; b) lim sgn(cos x) = -1; c) lim x2 - 9 = 0; Ä„ + x0 x x x-3- 2 1 - 2x3 1 x - 3 d) lim = -2; e) lim = "; f) lim = - ". x " x 1 x3 + 1 x 2+ x - 2 |x2 + 2x - 3| 6.2 Uzasadnić, że podane granice funkcji nie istniejÄ…: " x2 x a) lim ; b) lim ; c) lim sin x; x " x3 - 3 4 x2 - x2 x sgn x 1 1 d) lim ; e) lim ; f) lim cos . x0 xÄ„ sgn (x + 1) sin x x0- x2 6.3 KorzystajÄ…c z twierdzeÅ„ o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice: " " " 3 x3 - 1 x - 4 1 + x - 1 - x a) lim ; b) lim " ; c) lim ; x1 - 1 x 2x x64 - 8 x0 x4 " x6 - 1 x - 2 - 2 x2 - 5x + 4 d) lim ; e) lim ; f) lim . x " - 5) x1 - x2 x x(x x6 - 6 1 6.4 Zbadać, obliczajÄ…c granice jednostronne, czy istniejÄ… granice funkcji: x2 - 4 a) lim x sgn x; b) lim ; x0 x2 - 2| |x |x - 1|3 sin x c) lim ; d) lim . x1 - x2 |x| x0 x3 6.5 Narysować wykresy funkcji speÅ‚niajÄ…cych wszystkie podane warunki: a) lim u(x) = ", lim u(x) = 1, u(2) = 0, lim u(x) = -1; x- " x " x0- b) lim v(x) = e, lim v(x) = 0, funkcja v jest parzysta; x " x2 c) lim f(x) = 0, lim f(x) = 3, lim f(x) = - "; x- " x1 x " d) lim g(x) = ", lim g(x) = - ", lim g(x) = 1, lim g(x) = 5; x- " x " x0- x0+ e) lim h(x) = -4, lim h(x) = ", lim h(x) = 4; x- " x-1 x " f) lim p(x) = ", lim p(x) = 0, funkcja p jest okresowa i ma okres T = 3; x1 x2 Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów speÅ‚niajÄ…ce poszczególne warunki. 10 6.6 KorzystajÄ…c z granic podstawowych wyrażeÅ„ nieoznaczonych obliczyć granice funkcji: x sin sin2 3x cos 5x 2 a) lim ; b) lim ; c) lim ; x Ä„ x0 x cos 3x x0 x2 2 sin 3 1 tg sin x3 sin x7 tg 3x x d) lim ; e) lim ; f) lim ; 2 x " x0 sin x4 sin x6 x0- x3 tg x " " 3 6 tg x cos 3x - cos 7x 1 + x - 1 - x g) lim ; h) lim ; i) lim . Ä„ - x0 x0 tg 5x x2 x x 2 Lista siódma 7.1 Znalezć asymptoty pionowe i ukoÅ›ne funkcji: x3 + x2 x - 3 sin x a) f(x) = ; b) f(x) = " ; c) f(x) = ; x2 - 4 x - Ä„ x2 - 9 " 1 + x2 x3 1 - x2 d) f(x) = ; e) f(x) = ; f) f(x) = . x (x + 1)2 x + 1 7.2 Dobrać parametry a, b " R tak, aby podane funkcje byÅ‚y ciÄ…gÅ‚e we wskazanych punktach: Å„Å‚ Ä„ Ä„ ôÅ‚ ôÅ‚ òÅ‚ sin x dla |x| , x1 = - , x2+ax+b dla |x| < 2, x1 = -2, 2 2 a) f(x) = b) f(x) = " ôÅ‚ ôÅ‚ Ä„ Ä„ x x2 - 4 dla |x| 2, x2 = 2; ół ax + b dla |x| < , x2 = ; 2 2 Å„Å‚ Å„Å‚ Ä„ Ä„ ôÅ‚ ôÅ‚ òÅ‚ a sin x + b cos x dla |x| > , x1 = - , òÅ‚ bx dla x < Ä„, 4 4 c) f(x) = d) f(x) = sin x ôÅ‚ ół dla x Ä„, x0 = Ä„. ôÅ‚ Ä„ Ä„ ół ax 1 + tg x dla |x| , x2 = ; 4 4 7.3 OkreÅ›lić rodzaje nieciÄ…gÅ‚oÅ›ci podanych funkcji we wskazanych punktach: Å„Å‚ Å„Å‚ x2-1 |x| + x òÅ‚ òÅ‚ " dla x " (0, 1) *" (1, "), dla x = 0,
a) f(x) = x-1 b) f(x) = x2 ół ół 0 dla x = 0, x0 = 0; 3 dla x = 1, x0 = 1; Å„Å‚ 1 òÅ‚ 1 - cos dla x = 0,
c) f(x) = sgn x(x - 1) , x0 = 1; d) f(x) = x ół 0 dla x = 0, x0 = 0. 7.4 Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:
5Ä„ a) x3 + 6x - 2 = 0, (0, 1); b) x sin x = 7, 2Ä„, ; 2
sin x Ą 1 c) 1 = + x, 0, ; d) x100 + x - 1 = 0, , 1 . 2 2 2 Wyznaczyć rozwiązanie równania a) z dokładnością 0.125. Lista ósma 8.1 Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji: 11 " 1 a) f(x) = , gdzie x = -1; b) f(x) = x, gdzie x > 0;
x + 1 Ą c) f(x) = tg x, gdzie x = + kĄ dla k " Z; e) f(x) = x2 - 3x, gdzie x " R.
2 8.2 Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji: x2 + 1 sin x a) y = ; b) y = ; x3 + x x4 + 4
" " 4 c) y = 1 + x tg x; d) y = sin6 x + cos6 x;
1 3 e) y = sin + 3; f) y = cos ctg (x2). x4 8.3 Zbadać, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x0 = 0: " " 5 3 a) f(x) = 3 - x; b) f(x) = tg x;
c) f(x) = | sin x|; d) f(x) = |x| + |x|. 8.4 Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy we wskazanych punktach istnieją pochodne funkcji:
x2 a) f(x) = - x , x0 = 1; b) f(x) = sin x · sgn (x), x0 = 0;
Ą ctg3 x5 c) f(x) = x , x0 = ; d) f(x) = , x0 = 0. 2 8.5 Obliczyć f2 , f2 2 , f2 2 2 funkcji: 2 a) f(x) = x3 - ; b) f(x) = x sin x; x c) f(x) = 4x7 - 5x3 + 2x; d) f(x) = sin3 x + cos3 x. Lista dziewiąta 9.1 Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: " " " 2x a) f(x) = x, (4, f(4)); b) f(x) = , 2, f 2 ; 1 + x2 sin x e) f(x) = , (0, f(0)); d) f(x) = x4 - x + 2, (-1, f(-1)) . 1 + x 9.2 a) Basen ma kształt odwróconego ostrosłupa ściętego prawidłowego. Dno basenu jest kwadratem o boku 4 m, a jego górna powierzchnia kwadratem o boku 16 m. Głębokość basenu wynosi 2 m. Do basenu wlewa się woda z prędkością 1 m3/min. Z jaką prędkością będzie się podnosił poziom wody w basenie w chwili, gdy będzie on napełniony do połowy głębokości? b) Gumowy balon ma kształt kuli o objętości V0 = 40 m3. Do balonu wtłacza się powietrze z prędkością p = 1 m3/s. Obliczyć, z jaką prędkością powiększać się będzie średnica balonu po 24 s. Założyć, że ciśnienie powietrza w balonie jest stałe. c) Drabina składa się z dwóch ramion o długości l = 2.5 m. Podstawy ramion są przysuwane do siebie z prędkością v = 5 cm/s. Obliczyć, z jaką prędkością będzie podnosił się wierzchołek drabiny w chwili, gdy podstawy ramion będą oddalone o d = 3 m. 9.3 Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń: " 1 3 " a) 7.999; b) ; 3.98 2 c) tg 44ć%55 ; d) sin2 59ć%. 12 9.4 Metodą Newtona wyznaczyć przybliżone rozwiązania równań: a) x3 + 5x = 3; b) x3 = 3x - 1; " c) cos x = x; d) 2 sin x = x + 1. 9.5 Korzystając z metody Newtona obliczyć przybliżone wartości pierwiastków: " " " 3 7 a) 10; b) 2; c) 5. Lista dziesiąta 10.1 Połączyć podane wzory funkcji z ich wykresami. Odpowiedz uzasadnić: a) y = 2x; b) y = -2x; c) y = 2-x; d) y = -2-x; e) y = 2x + 2; f) y = 2x - 2; g) y = 2x+1; h) y = 2x-1; i) y = 2|x|. y y y A) B) C) 1 1 1 x x x 1 1 1 y y y D) E) F) 1 1 1 1 x x x 1 1 y y y G) H) I) 1 1 1 x x x 1 1 1 13 10.2 Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:
2 1 2sin x a) y = x3 + ex; b) y = ; 2 x2 3cos x x c) y = (2x + x)3; d) y = ee ; 1 - " x2 e) y = e ; f) y = 4x + 9x. 10.3 RozwiÄ…zać równania wykÅ‚adnicze: 2x-3 " x " 1 3 a) = 8; b) 2 · 42x - 3 · 4x = 1; c) 5 - 25 = 0; 2 2x x+5 8-3x 1 2-x 3-x x d) 9x + 3x+1 = 4; e) 5 = 5 · 5 ; f) + 31-x = 0. 3x - 4 10.4 RozwiÄ…zać nierównoÅ›ci wykÅ‚adnicze: x+1 2 2 2 2 x a) 34x-2 < 92-x; b) 0.25 < 0.0625; c) 2x -1 - 3x > 3x -1 - 2x +2; 1 x2 + 2x - " 3 1 1 1 2 2x d) - 2-x ; i) < ; j) " 2 < 2. 2 ex - 1 e2x + 1 2 Lista jedenasta 11.1 Podać przedziaÅ‚y lub zbiory, na których funkcje o podanych wykresach sÄ… różnowartoÅ›ciowe: y y y a) b) c) 4 y=f(x) y=f(x) y=f(k) 1 1 4.2 x x 1 1 -1 1 2 3 k y y y d) e) f) y=f(x) 1 x x 1 -1 y=f(x) y=f(x) x 2.5 4 11.2 Uzasadnić, że podane funkcje sÄ… różnowartoÅ›ciowe na wskazanych zbiorach: 1 a) f(x) = , R \ {0}; b) f(x) = x4, [0, "); x
" " 1 c) f(x) = x - 3, [0, "); d) f(x) = x - x, , " . 4 11.3 Połączyć wykresy funkcji (oznaczenia od a) f)) z wykresami funkcji do nich odwrotnych (oznaczenia od 1) 6.) 14 y y y a) b) c) x x x y y y d) e) f) x x x y y y 1) 2) 3) x x x y y y 4) 5) 6) x x x 11.4 Znalezć funkcje odwrotne do funkcji: " a) f(x) = 1 - 3-x; b) f(x) = x5 + 3; " 3 c) f(x) = x6 sgn x; d) f(x) = 3 - x + 2. 11.5 Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć: 2 2 a) f-1 (e + 1), gdzie f(x) = x + ln x; b) f-1 (1), gdzie f(x) = cos x - 3x; 2 2 " " " 3 5 7 c) f-1 (3), gdzie f(x) = x + x + x; d) f-1 (4), gdzie f(x) = x3 + 3x. 11.6 Obliczyć wartości wyrażeń:
1 1 a) tg arc cos ; b) ctg arc sin ; 2 3
3 8 c) sin arc sin + arc sin ; d) sin (arc tg 1 + arc tg 2). 5 17 11.7 Znalezć funkcje odwrotne do funkcji:
Ä„ 3Ä„ a) f(x) = sin x, x " , ; b) f(x) = cos x, x " [Ä„, 2Ä„]; 2 2
3Ą Ą c) f(x) = tg x, x " - , - ; d) f(x) = ctg x, x " (Ą, 2Ą). 2 2 15 11.8 Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:
arc sin x a) y = ; b) y = ln sin2 x + 1 ; c) y = ex arc tg x; ex
" x 3 4 d) y = arc sin (x2); e) y = ln tg ; f) y = arc sin 1 - 5x. 3 11.9 Rozwiązać równania logarytmiczne: a) 4 log2 x = log2 81; b) log4(x + 4) - log4(x - 1) = 2;
c) log 1 (x - 3) + log 1 x = -2; d) log2 x2 - 6 = 3 + log2(x - 1). 2 2 11.10 Rozwiązać nierówności logarytmiczne: a) log5(5 - 3x) > 1; b) log(3x - 1) - log(x - 1) > log 2; 2 1 c) 1 - log3 x; d) ln x + > 0. log 1 x ln x 3 Lista dwunasta 12.1 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć podane granice: Ą 1 ln sin x ln (2x + 1) 2 a) lim ; b) lim ; c) lim (cos x)x ; x " x1 x0 x ln x x - arc tg x x10 - 10x + 9 d) lim x arc ctg x; e) lim ; f) lim ; x " x0 x1 - 5x + 4 x2 x5
1 ln cos x g) lim x ln x; h) lim - ctg x ; i) lim ; x0 x0+ x0- x ln cos 3x x sin x 2 1 j) lim arc tg x ; k) lim (1 + x)ln x; l) lim . x " Ą x0+ x0+ x 12.2 Na rysunkach przedstawiono wykresy pochodnych pewnych funkcji. Podać przedziały, na których funkcje te są rosnące: y y y a) b) c) y=f2 (x) y=f2 (x) y=f2 (x) -2 2 1 3 x x -1 x - 2 2 y y y d) e) f) y=f2 (x) y=f2 (x) y=f2 (x) -2 x x x 1 2 -3 3 -1 1 2 16 12.3 Znalezć przedziały monotoniczności funkcji: " x4 x3 3 a) f(x) = - - x2; b) f(x) = ex(x + 1); c) f(x) = x - 3 x; 4 3 d) f(x) = x ln2 x; e) f(x) = x3 - 30x2 + 225x; f) f(x) = xe-3x. 12.4 Na rysunkach przedstawiono wykresy funkcji a) f) i ich pochodnych A) F). Połączyć wykresy funkcji z wykresami ich pochodnych: y y y a) b) c) x x x y y y d) e) f) x x x y y y A) B) C) x x x y y y D) E) F) x x x 12.5 Na rysunkach przedstawiono wykresy pochodnych pewnych funkcji ciągłych. Wskazać punkty, w których funk- cje te mają ekstrema lokalne: y y y a) y=f2 (x) b) y=f2 (x) c) y=f2 (x) 2 1 9 x -1 1 3 x 2 5 8 x 17 y y y d) e) y=f2 (x) f) y=f2 (x) y=f2 (x) " -1 - 2 " " 3 1 x 1+ 2 x x 2 2 12.6 Znalezć ekstrema lokalne funkcji: " 2x2 - 1 a) f(x) = ; b) f(x) = x ln x; c) f(x) = x - x; x4
g) f(x) = 2 sin x + cos 2x; h) f(x) = (x - 5)ex; i) f(x) = 2 arc tg x - ln 1 + x2 . 12.7 Zbadać przebieg zmienności funkcji i następnie sporządzić ich wykresy: " x 4 4 a) f(x) = x ln x; b) f(x) = ; c) f(x) = 3 - - ; x - 1 x x2 1 x3 x x d) f(x) = x2 ; e) f(x) = ; f) f(x) = . x - 1 ln x Lista trzynasta 13.1 Znalezć wartości najmniejsze i największe funkcji na wskazanych przedziałach: 1 - x a) f(x) = 2x3 - 15x2 + 36x, [1, 5]; b) f(x) = arc tg , [0, 1]; 1 + x
9 c) f(x) = (x - 3)2e|x|, [-1, 4]; d) f(x) = 1 - - x2 , [-5, 1]. 13.2 Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 10 km od brzegu. Ropa z tej platformy będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 16 km od punktu brzegu najbliższego platformie. Koszt ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza wynosi 200 000 euro, a na lądzie 100 000 euro. Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy? Platforma wiertnicza 10 km x Rafineria 16 km 13.3 Kropla deszczu spada pod wpływem siły ciężkości (pomijamy opór powietrza). W czasie spadku kropla paruje w ten sposób, że jej masa zmniejsza się proporcjonalnie do upływu czasu. Wiadomo, że po 5 sekundach wyparowała połowa jej masy. Po ilu sekundach energia kinetyczna kropli będzie największa? 13.4 Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność 22.50 m3 i kwadratową podłogę. Koszt 1 m2 blachy potrzebnej do wykonania jego podłogi i pokrywy wynosi 20 zł, a ścian bocznych 30 zł. Jakie powinny być wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy? 13.5 Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki? 18 rzeka a S b Lista czternasta 14.1 Obliczyć całki nieoznaczone:
" " 1 (1 - x) dx x4 dx 3 a) 3 x2 + - 2x x dx; b) " ; c) ; 3 x3 1 - x x2 + 1 "
3 cos 2x dx x3 + x2 - 1 2x - 5x d) ; e) " dx; f) dx. cos x - sin x x 10x 14.2 Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:
a) ln(x + 1) dx; b) x22x dx; c) x2 sin x dx;
d) e2x sin x dx; e) x ln x dx; f) arc cos x dx. 14.3 Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone: " "
cos x 1 + 4x a) " dx; b) dx; c) (x+1) sin x2 +2x+2 dx; x x
cos x dx (3x + 2) dx ex dx d) " ; e) ; f) ; 3x2 + 4x + 7 e2x + 1 1 + sin x
5 sin x dx 2 g) ; h) x3ex dx; i) sin3 x dx. 3-2 cos x 14.4 Obliczyć całki z funkcji wymiernych:
(x + 2) dx x2 dx dx a) ; b) ; c) ; x(x - 2) x + 1 (x - 1)x2
1 c) - x2 dx; d) | cos x| dx, x " [0, Ą]. Lista piętnasta dodatkowa 15.1 Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji:
2 a) f(x) = xe-x; b) f(x) = ln 1 + x2 ; c) f(x) = x - x3 - 4 ln |x|; 3 1 1 d) f(x) = sin x + sin 2x; e) f(x) = ; f) f(x) = cos x. 8 1 - x2 19 15.2 Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić nierówności: b a) |arc tg a - arc tg b| |a - b| dla a, b " R; b) ln < b - a dla 1 a < b; a x c) x arc sin x " dla 0 x < 1; d) ex > ex dla x > 1. 1 - x2 15.3 Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange a dla podanych funkcji f, punktów x0 oraz n : 1 a) f(x) = x3, x0 = -1, n = 4; b) f(x) = , x0 = 1, n = 2; x2 c) f(x) = sin 2x, x0 = Ą, n = 3; d) f(x) = e-x, x0 = 0, n = 5; 1 e) f(x) = , x0 = 2, n = 3; f) f(x) = ln x, x0 = e, n = 4. x 20