DRGANIA UKA
ADÓW O JEDNYM STOPNIU SWOBODY
Drgania swobodne o jednym stopniu swobody z tłumieniem
Dotąd zakładaliśmy, że w układach drgających nie ma strat energii. Wiemy, że
w rzeczywistych układach drgających straty energii, choć często małe, występują
powodując zmniejszenie amplitudy drgań. Nawet zakładając, że nie ma oporów tarcia
(układ drgający znajduje się w otoczeniu idealnym), to drgania są tłumione wskutek
tarcia wewnętrznego (materiałowego). Siłę tarcia wewnętrznego można przybliżyć
jako proporcjonalną do prędkości względnej. Model siły tarcia proporcjonalny do
prędkości względnej ma wiele praktycznych zastosowań. Przykładowo modelem
takim może być tłok poruszający się w cylindrze z olejem. Ogólnie, gdy przepływ
oleju przez otwory tłoka jest laminarny, to takie tłumienie nazywamy wiskotycznym
(liniowym). Inne funkcje opisują tłumienie, gdy przepływ oleju jest burzliwy. Rodzaj
Dh Å" v
przepływu zależy od liczby Reynoldsa, którą przedstawia wzór Re = ,
·
Tutaj: Dh - średnica hydrauliczna otworu,
v - średnia prędkość przepływu oleju,
· - współczynnik lepkoÅ›ci kinematycznej.
Przy przepływie płynu przez prostoliniowe gładkie przewody dla wartości liczby
Re < 2300 występuje przepływ laminarny, a przy wartościach liczby Re >2300
przepływ jest burzliwy. Chcąc opisać wpływ tłumienia na drgania rozważono model
układu drgającego posiadający sprężynę o sztywności k oraz tłumik wiskotyczny
o współczynniku tłumienia c.
Równanie ruchu ma postać
&& &
m Å" x + c Å" x + k Å" x = 0
lub w odniesieniu do jednostki masy
&& &
x + 2Å"hÅ" x + Ä…2 Å" x = 0 ,
gdzie:
c k
h = , Ä…2 = .
2Å"m m
Drgania układu powstaną przez wymuszenie warunkami początkowymi, które
&
są określone następująco dla t = 0 jest x = x0 oraz x = v0 .Warunki początkowe
&
zapisuje się również w postaci x(0) = x0 oraz x(0) = v0 .
Rozwiązanie powyższego równania można poszukiwać w postaci funkcji
wykładniczej x = est . Po wstawieniu tego rozwiązania oraz jego pierwszej i drugiej
pochodnej względem czasu do równania otrzymujemy równanie charakterystyczne,
które ma postać
s2 + 2Å"hÅ" s + Ä…2 = 0 .
Pierwiastki tego równania są określone poniższym wzorem
- 2Å"h Ä… 4 Å"h2 - 4 Å" Ä…2
s1,2 = = -h Ä… h2 - Ä…2 ,
2
Jeśli h > ą, czyli s1 < 0 i s2 < 0, to h ma wartość, przy którym układ zatraca
zdolność drgań.
Natomiast, gdy h = ą ,czyli s1 = s2 = -h - ruch układu również nie ma charakteru
oscylacyjnego, w tym przypadku występuje tak zwane tłumienie krytyczne. Jest więc
ckr k
= ,
2Å"m m
stÄ…d
ckr =2Å" k Å"m .
Interesujący przypadek mamy, gdy h < ą, czyli c < ckr wówczas h2 - ą2 < 0.
W tym przypadku wystąpią drgania swobodne tłumione, oba pierwiastki są zespolone
s1,2 = - h Ä… jÅ" Ä…2 - h2 ,
gdzie: j = -1 jest jednostkÄ… urojonÄ…, j2 = -1.
WstawiajÄ…c za Ä…2 - h2 =  mamy
s1,2 = -h Ä… jÅ"  .
Rozwiązanie równania ruchu drgającego jest liniową kombinacją dwóch
rozwiązań, które są liniowo niezależne i maja postać
x = e-ht Å"(A Å"cos( Å" t) + B Å" sin( Å" t))
&
Stałe A i B wyznaczamy z warunków początkowych x(0) = x0 oraz x(0) = v0 .
Pochodna względem czasu z powyższej równości przedstawia się
&
x = -hÅ" e-ht Å"(Acos( Å" t) + Bsin( Å" t)) + e-ht Å"(-A Å"  Å" sin( Å" t) + B Å"  Å"cos( Å" t)),
stąd po wstawieniu warunków początkowych do równań dostajemy
A = x0 ,
v0 + hÅ" x0
B = .

Rozwiązanie równania możemy teraz zapisać w postaci
v0 + hÅ" x0
ëÅ‚a öÅ‚
x = e-hÅ"t Å" Å"cos( Å" t) + Å" sin( Å" t)
ìÅ‚ ÷Å‚

íÅ‚ Å‚Å‚
Przebiegi czasowy funkcji opisującej drgania tłumione przedstawiono na
rysunku.
Mając zapis przebiegu czasowego drgań tłumionych możemy wyznaczyć
stosunek dwu kolejnych wychyleń odległych o okres T. Stosunek ten jest wielkością
stałą i nazywany jest dekrementem tłumienia. Logarytm naturalny tego stosunku
nazywa się logarytmicznym dekrementem tłumienia, który określa wzór
x(t)
´ = ln = h Å" T .
x(t + T)
Podany wzór można w łatwy sposób wyprowadzić korzystając z wykresu
pokazanego niżej.
Z wykresu wynika, że
xA = 1Å" e-hÅ"t ,
xB = 1Å" e-hÅ"(t+T) = e-hÅ"t Å" e-hÅ"T ,
stÄ…d
xA
1
´ = lnÅ" = ln = lnÅ" ehÅ"T = h Å" T .
xB e-hÅ"T
Powyższy wzór zapisany w postaci
´
h =
T
służy do eksperymentalnego wyznaczenia współczynnika tłumienia.