Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 20
20. Elektrostatyka II
20.1 Obliczanie potencjału
Rozważmy np. różnicę potencjałów (napięcie) pomiędzy środkiem i powierzchnią
naładowanej powłoki kulistej.
B
Ponieważ E = 0 (wzdłuż drogi całkowania) więc VB -VA = - E d r = 0 tzn. w środku
+"
A
i na powierzchni jest ten sam potencjał.
Z powyższego wzoru wynika, że
dV
E = - (20.1)
d r
Przykład 1
Obliczyć potencjał V i pole E w odległości r od dipola ustawionego wzdłuż osi x.
Moment dipolowy p = qL i dodatkowo r >> L.
P
y
r
¸
-q
+q
x
L
Jeżeli r >> L to punkt P jest odległy od ładunku +q o:
r  (1/2)Lcos¸
oraz od  q o:
r + (1/2)Lcos¸
Całkowity potencjał jest sumą
q (-q) qL cos¸
V = k + k = k
1 1
L2
2
r - L cos¸ r + L cos¸
r - cos2 ¸
2 2
4
20-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dla r >> L otrzymujemy ostatecznie
p cos¸ x
V H" k = kp
2
r r3
"V kp
Ex = - = (3cos2 ¸ -1)
" x r3
"V kp
Ey = - = 3cos¸ sin¸
" y r3
Teraz rozpatrzmy pole i różnicę potencjałów dla dwóch przeciwnie naładowanych płyt
o polu powierzchni S znajdujących się w odległości d od siebie. Jeżeli ładunki na pły-
tach wynoszą odpowiednio +Q i  Q to gęstości ładunków wynoszą Q/S i  Q/S.
"V =  Ed
Zgodnie z naszymi obliczeniami
"V = Ãd/µ0
Qd
"V = (20.2)
µ0S
Na zakończenie zaznaczmy, że powierzchnia każdego przewodnika jest powierzchnią
stałego potencjału (powierzchnią ekwipotencjalną).
20.2 Pojemność
Kondensator - układ przewodników, który może gromadzić ładunek elektryczny.
Definicja pojemności
Q Q
C = = (20.3)
"V U
Jednostka farad. 1F = 1C/1V.
Powszechnie stosuje siÄ™ µF, nF, pF.
Dla kondensatora płaskiego na podstawie (20.3) i (20.2)
Q µ0S
C = = (20.4)
U d
20-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
20.3 Energia pola elektrycznego
Początkowo nie naładowany kondensator ładuje się od 0 do napięcia U. Wtedy ła-
dunek wzrasta od 0 do Q, gdzie Q = CU.
Praca zużyta na przeniesienie ładunku dq z okładki " " na "+" wynosi
dW = Udq
Całkowita praca wynosi więc
Q Q
q 1 Q2
ëÅ‚ öÅ‚d
W = d q = (20.5)
+"U +"ìÅ‚ C ÷Å‚ q =
2 C
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
Dla kondensatora płaskiego
Q
E = , czyli Q = µ0ES
µ0S
Podstawiamy to do wzoru na energiÄ™ i otrzymujemy
2
(µ0ES)
W =
2C
Podstawiając wyrażenie na C dostajemy
2
µ0E
W = Sd
2
Sd - objętość kondensatora, więc gęstość energii w = W/Sd
1
2
w = µ0E (20.6)
2
Jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni jest pole E to możemy uważać, że jest tam zmagazy-
1
2
nowana energia w iloÅ›ci µ0E na jednostkÄ™ objÄ™toÅ›ci.
2
20.4 Dielektryki
Rozważaliśmy pole elektryczne od przewodników w próżni.
Stwierdzamy, że umieszczenie materiału nieprzewodzącego (dielektryka) między okład-
kami kondensatora powoduje zwiększenie pojemności od wartości C do wartości C'.
C'
º =
C
gdzie º jest wzglÄ™dnÄ… przenikalnoÅ›ciÄ… elektrycznÄ… (staÅ‚Ä… dielektrycznÄ…).
20-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
20.4.1 Dielektryki, poglÄ…d atomistyczny
Dwie możliwości:
" cząsteczki polarne np. H2O mające trwałe momenty dipolowe p
" cząsteczki (atomy) mają indukowany (przez zewnętrzne pole E) moment dipolowy
(przykład z atomem wodoru - Wykład 19).
Przykład 2
Atom wodoru umieszczony w zewnętrznym polu E0.
Siła F =  eE0 przesuwa chmurę elektronową o x0 względem rdzenia (protonu). Wów-
czas atom ma moment indukowany p = ex0.
Pole w miejscu protonu
E = E0 + Echmura
ke
E = E0 - x0
R3
Ponieważ proton (rdzeń) w położeniu równowagi więc E = 0, skąd dostajemy
R3
x0 = E0
ek
Indukowany moment dipolowy jest zatem równy
R3
p = ex0 = E0
k
Elektryczne momenty dipolowe p dążą do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a
momenty indukowane są równoległe do pola. Materiał w polu E zostaje spolaryzowany
(rysunek).
+
-
+ - + - + - + - +
-
+
-
- + - + - + - +
+
-
+
- + - + - + - + -
+
-
- + - + - + - +
+
-
+
-
- + - + - + - +
+
-
W rezultacie dodatni Å‚adunek gromadzi siÄ™ na jednej, a ujemny na drugiej powierzchni
dielektryka. Wewnątrz nie pojawia się żaden ładunek. Indukowany ładunek powierzch-
20-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
niowy q' pojawia się więc gdy dielektryk umieścimy w polu elektrycznym.
Wybieramy powierzchniÄ™ Gaussa (linia przerywana).
ES=(q  q')/µ0
E = (q  q')/(µ0S)
Pojemność takiego kondensatora
q q q µ0S q
C'= = = = C
V Ed q - q' d q - q'
DzielÄ…c przez C otrzymamy
C' q
= º =
C q - q'
20.4.2 Dielektryki - rozważania ilościowe.
Jeżeli każda cząsteczka ma średni moment dipolowy p skierowany zgodnie z po-
lem E i jeżeli w dielektryku jest N cząsteczek to całkowity moment dipolowy pcałk =
N p
Z drugiej strony ładunek (indukowany) jest na powierzchni więc
pcałk = q'd
A
ącząc te wyrażenia
q'd = N p
q'd = (nSd) p
gdzie n jest ilością cząsteczek w jednostce objętości.
q' = nS p
Podstawiamy to do wzoru na º
q q
º = =
q - q' q - nS p
Obliczyliśmy, że
R3
p = ex0 = E0
k
20-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
PodstawiajÄ…c E = (q  q')/(µ0S)
R3 (q - q') q - q'
p = = 4Ä„R3
k µ0S S
WstawiajÄ…c to do wyrażenia na º
q 1 1
º = = =
q - q' q - q' 1
q - 4Ä„R3n S 1- 4Ä„R3n 1- 4Ä„R3n
S q º
Obliczamy º
º = 1 + 4Ä„nR3
20.5 Trzy wektory elektryczne
Przypomnijmy, że: E0 = q/µ0S
Pokazaliśmy, że wprowadzenie dielektryka zmniejsza pole elektryczne (indukowany
Å‚adunek daje pole przeciwne do E0)
E = (q  q')/(µ0S) lub E = E0/º = q/(µ0Sº)
A
ącząc te równania dostajemy
q q q'
= -
µ0ºS µ0S µ0S
Mnożąc przez µ0 i przenoszÄ…c wyrazy otrzymujemy
q q q'
= µ0 +
S ºµ0S S
Przepisujemy to równanie w postaci
D = µ0E + P (20.8)
D, E, P są wektorami odpowiednio: indukcji elektrycznej, natężenia pola, polaryzacji.
Na rysunku pokazane sÄ… odpowiednie wektory.
D - Å‚adunek swobodny
µ0E - wszystkie Å‚adunki
P - Å‚adunek polaryzacyjny
20-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
D
E P
0
µ
20-7