Analiza Matematyczna i Algebra 2015/2016 (A.Lenarcik)
wymagania egzaminacyjne
liczby i ich historia, podejście geometryczne i algebraiczne
liczby całkowite i ułamki; twierdzenie Pitagorasa; odkrycie proporcji, które nie są stosunka-
" " "
"
mi całości; dowód niewymierności 2 ( 3, 5, . . .); podejście geometryczne i algebraiczne
w wyjaśnianiu istnienia liczb niewymiernych; podejście geometryczne i algebraiczne w wy-
jaśnianiu istnienia jednostki urojonej; przekształcanie wyrażeń algebraicznych (na literach);
wektory
działania na wektorach; baza wektorowa (definicja, własności); konstrukcja współrzędnych
wektora w bazie; układ współrzędnych; współrzędne kartezjańskie; współrzędne punktu;
zmiana układu współrzędnych; przeliczanie równania figury pomiędzy układami współrzęd-
nych;
funkcje trygonometryczne
miara łukowa kąta; definicja cosinusa i sinusa kąta za pomocą obrotu; znajomość wartości
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„ 2Ä„ 3Ä„ 5Ä„ 7Ä„ 5Ä„ 4Ä„ 3Ä„ 5Ä„ 7Ä„
funkcji trygonometrycznych dla kątów 0, , , , , , , , Ą, , , , , , ,
6 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4
11Ä„
, 2Ä„ oraz dla kÄ…tów ujemnych; znajomość wzorów na cos(Ä… + ²) oraz na sin(Ä… + ²);
6
"
wyprowadzanie tych wzorów z własności obrotu; wzory na cos(-ą), sin(-ą), cos(ą + 2Ą),
sin(Ä… + 2Ä„), sin x - sin y;
płaszczyzna zespolona
umieszczanie liczb zespolonych na płaszczyz
nie; interpretacja dodawania liczb zespolonych
za pomocą wektorów; zapis liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej (moduł, argu-
ment); znajomość zachowania się modułu i argumentu podczas mnożenia liczb zespolo-
nych ("uzasadnianie), potęgowanie liczb zespolonych zapisanych w postaci trygonometrycz-
nej; wyznaczanie pierwiastków liczb zespolonych (jak są ułożone); pierwiastki z jedynki;
"
uzasadnienie wzorów na pierwiastki;
wielomiany
wielomian jako wyrażenie, określanie stopnia wielomianu, dzielenie wielomianów z resztą
(twierdzenie o dzieleniu), pierwiastek wielomianu, twierdzenie Bézouta ("wyprowadzenie z
twierdzenia o dzieleniu); twierdzenie o pierwiastku całkowitym ("uzasadnienie); twierdzenie
o pierwiastku wymiernym (""uzasadnienie);
granica i ciągłość
pojęcie granicy funkcji w punkcie; jakie punkty bierzemy pod uwagę; umiejętność oceny
wartości granicy za pomocą kalkulatora; co oznacza ciągłość funkcji w punkcie; kiedy mó-
wimy, że funkcja jest ciągła; przykład funkcji nieciągłej; ciągłość działań, wielomianów i
funkcji wymiernych (będących ułamkami wielomianów), ("uzasadnianie); umiejętność obli-
x3+x-2
czania granicy funkcji wymiernej na pomocÄ… twierdzenia Bézouta np. lim ; zasada
x4+x2-2
x1
Darboux; uzasadnienie, że wielomian nieparzystego stopnia musi mieć chociaż jeden pier-
wiastek rzeczywisty;
pochodna funkcji
definicja pochodnej; umiejętność obliczenia pochodnej z definicji; własności pochodnej w dzia-
Å‚aniach ("wyprowadzanie); pochodne funkcji trygonometrycznych ("wyprowadzanie);
funkcja odwrotna i jej pochodna
definicja funkcja odwrotnej (kiedy istnieje); funkcja wykładnicza i jej własności; logarytm,
jako funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej; umiejętność obliczenia logarytmu z definicji
1
np. log"2 64; własności logarytmu ("wyprowadzanie); liczba Eulera, jako granica; pochodna
logarytmu (""wyprowadzanie); logarytm naturalny; znajomość wielkości: ln e, ln e2, ln e3, . . .,
1 1 "
ln , ln , . . .; pochodna funkcji wykładniczej i potęgowej ("wyprowadzanie); pochodna
e e2
funkcji xx; funkcje arcus tangens i arcus sinus, jako funkcje odwrotne; pochodna arcusa
"
3
tangensa i arcusa sinusa ("wyprowadzanie); znajomość wartości arcsin(-1), arcsin(- ),
2
" " "
2 2 3
arcsin(- ), arcsin(-1), arcsin0, arcsin1, arcsin , arcsin , arcsin1 oraz lim arctg x;
2 2 2 2 2
x-"
" "
" "
3 3
arctg(- 3), arctg(-1), arctg(- ), arctg 0, arctg , arctg 1, arctg 3, lim arctg x;
3 3
x"
dalsze własności pochodnych
styczna, jako prosta przechodząca przez dwa nieskończenie bliskie punkty wykresu funkcji
("wyprowadzenie); przybliżenia Taylora (zasada); nieskończone rozwinięcia w zerze funkcji
ex, sin x i cos x; wzór ejx = cos x + j sin x ("uzasadnienie); twierdzenie Rolle a i Lagrange a;
związek pochodnej z monotonicznością; jeżeli funkcja określona w przedziale ma pochodną
zero, to jest stała ("uzasadnienie); maksima i minima; związek drugiej pochodnej z wypu-
kłością, punkty przegięcia; Regula de l Hospital a ("uzasadnienie);
całka nieoznaczona, przykłady równań różniczkowych
definicja pierwotnej; dwie pierwotne różnią się o stałą ("dowód); definicja całki oznaczonej;
znajomość pierwotnych podstawowych funkcji; całkowanie przez części ("wyprowadzanie);
"
całkowanie przez podstawienie ("wyprowadzanie); równanie różniczkowe y = y; dowód
Płoskiego, że każda funkcja będąca rozwiązaniem tego równania ma postać y = Cex, gdzie
C jest stałą; równanie ay +by +cy = 0: rozwiązania bazowe, rozwiązanie ogólne (przypadki
"
" > 0, " < 0, " = 0); równanie y = 1 + y2; dowód (z pochodnej złożenia), że każda
funkcja będąca rozwiązaniem tego równania ma postać y = tg(x + C), gdzie C jest stałą;
formalizm różniczkowy: zastosowanie do całkowania przez części i do rozwiązywania równań
różniczkowych o zmiennych rozdzielonych;
wyznacznik macierzy kwadratowej, układ Cramera
macierze, mnożenie macierzy, macierz identycznościowa, definicja wyznacznika, jako liczby
"
przyporządkowanej do macierzy kwadratowej posiadającej cztery własności; wyprowadzenie,


a b
że cztery własności wyznacznika prowadzą do formuły = ad-bc oraz do reguły Sarrusa
c d
"
dla macierzy 3 × 3; formuÅ‚a permutacyjna na wyznacznik (ustawienia wież); twierdzenie o
wyznaczniku macierzy transponowanej ("uzasadnienie); twierdzenie Laplace a o rozwijaniu
wyznacznika ("uzasadnienie); obliczanie wyznacznika przez zerowanie (operacja niezmnie-
"
niajÄ…ca wyznacznika, uzasadnienie); wzory Cramera ("uzasadnienie); macierz odwrotna
("uzasadnienie dla macierzy 2 × 2);
zastosowanie układów równań do całek i równań różniczkowych

"
"Wn(x) dx
całka funkcji wymiernej (rozkład na ułamki proste); metoda przewidywań dla ;
ax2+bx+c
"
przewidywanie rozwiązania szczególnego dla równań różniczkowych liniowych o współczyn-
" "
nikach stałych; rezonans; zastosowanie do całek;
geometria
podawanie definicji i własności iloczynu skalarnego; obliczanie kąta za pomocą iloczynu ska-
"
larnego; posługiwanie się algebraicznymi własnościami iloczynu skalarnego; wyprowadzenie
wzoru na iloczyn skalarny we współrzędnych kartezjańskich; sprawdzanie, że wektory są
prostopadłe; wyznaczanie wektora łączącego dwa punkty; przesuwanie punktu o wektor;
prowadzenie prostej parametrycznej przez dwa punkty; sprawdzanie, że trzy punkty są
współliniowe; wyznaczanie równania ogólnego płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt,
prostopadle do danego wektora; wyznaczanie punktu wspólnego płaszczyzny i prostej; wy-
znaczanie rzutu prostopadłego punktu na na płaszczyznę i punktu na prostą; podawanie
"
definicji i własności iloczynu wektorowego; wyprowadzenie wzoru na iloczyn wektorowy we
współrzędnych kartezjańskich; konstrukcja wektora prostopadłego do dwóch danych wekto-
rów; prowadzenie równania ogólnego płaszczyzny przez trzy punkty (przez prostą i punkt);
równanie parametryczne płaszczyzny - przechodzenie do postaci ogólnej;
rzÄ…d macierzy, teoria Kroneckera-Capelli ego
definicja rzędu macierzy; własności rzędu; interpretacja rzędu jako wymiaru przestrzeni;
obliczanie rzędu dowolnej macierzy (operacje, które nie zmieniają rzędu macierzy); twier-
" "
dzenie Kroneckera-Capelli ego ("uzasadnienie); zastosowanie do geometrii: wyznaczanie
"
krawędzi przecięcia płaszczyzn (układ dwóch równań z trzema niewiadomymi) badanie ist-
nienia i wyznaczanie punktów wspólnych prostych w przestrzeni (układ trzech równań z
"
dwiema niewiadomymi s, t); przypadek, gdy proste pokrywajÄ… siÄ™;
całka oznaczona i jej zastosowania
interpretacja całki oznaczonej jako pola powierzchni (przypadek, gdy funkcja przyjmuje
wartości ujemne); zasadnicze twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego ("dowód);
zastosowanie całki do obliczania objętości bryły; wyprowadzenie wzoru na objętość kuli
""
i stożka; wzór na obliczanie długości łuku; obliczenie długości łuku paraboli y = x2 od
punktu (0, 0) do punktu (1, 1); zastosowanie całki do obliczania powierzchni bryły obrotowej:
"
wyprowadzenie wzoru na powierzchniÄ™ kuli;
operatory, wektory i wartości własne
operator, jako przekształcenie wektora (własności); przykłady: obrót, symetrie, rzut; ma-
cierz operatora w bazie; jak operator działa we współrzędnych: związek z mnożeniem ma-
cierzy ("wyprowadzenie); przykłady: obrót, symetrie (macierze tych operatorów); definicja
wektora własnego i wartości własnej; przykłady operatorów posiadających (i nieposiadają-
"
cych) wektorów własnych; macierz operatora w bazie złożonej z wektorów własnych; dowód,
że dla każdej wartości własnej istnieje co najmniej jeden wektor własny (z twierdzenia
""
Kroneckera-Capelli ego); dowód, że w przestrzeni trójwymiarowej każdy operator ma co
najmniej jeden wektor własny;