Inżynierskie zastosowania statystyki  ćwiczenia
Temat 2: Własności prawdopodobieostwa, prawdopodobieostwo warunkowe
Zadania do rozwiÄ…zania:
1. Rozważamy obwód elektryczny dwóch elementów a1, a2 połączonych równolegle. Zdarzenie
Ai oznacza, że element ai jest sprawny przynajmniej przez czas t. Obliczyd
prawdopodobieostwo, że układ przewodzi prąd co najmniej przez czas t zakładając, że P(A1) =
P(A2) = p oraz P(A1A2) = p2.
2. Ze zbioru cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwrotem k elementów, które tworzą liczbę
L. Obliczyd prawdopodobieostwo, że wszystkie cyfry liczby L są różne.
3. Betonowy przepust może w ciągu sekundy przyjąd maksymalnie 300 dm3 wody. Ponadto
zdefiniowano następujące zdarzenia :
A  zdarzenie oznaczające, że ilośd wody/sek. przyjmuje wartośd z przedziału (125, 250>,
B  zdarzenia oznaczające, że ilośd wody/sek. przejmie wartośd z przedziału (200, 300>.
Doświadczalnie stwierdzono, że
P(A) =ð 0,6
P(B) =ð 0,7
P(A Èð B) =ð 0,8
Oblicz następujące prawdopodobieostwa:
a) P(A') , P(B')
b) Prawdopodobieostwo, że ilośd wody przyjmie wartośd z przedziału (200,250>
c) Prawdopodobieostwo, że ilośd wody przyjmie wartośd z przedziału <0, 125>
d) P(BA')
e) P(B Èð A')
4. W urnie znajduje się 10 kul w tym 7 kul białych oraz 3 czarne. Z urny losujemy dwukrotnie po
jednej kuli. Obliczyd prawdopodobieostwo, że obydwie wylosowane kule są białe.
5. Ze zbioru cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy bez zwrotu k elementów, które tworzą liczbę
L=C1C2C3. Zakładamy, że wszystkie możliwe do otrzymania w ten sposób liczby są jednakowo
prawdopodobne. Obliczyd prawdopodobieostwo, że otrzymana liczba L < 444.
6. W kanale łączności nadawane są tylko 3 rodzaje ciągów liter: AAAA, BBBB, CCCC z
prawdopodobieostwami 0,4; 0,3; 0,3. W trakcie transmisji może dojśd do zakłócenia
losowego, które może powodowad, że np. litera A zostanie odebrana jako B lub C.
Prawdopodobieostwo transmisji poprawnej lub przekłamania znaku pokazane jest w tabeli.
A B C
A 0,8 0,1 0,1
B 0,1 0,8 0,1
C 0,1 0,1 0,8
a) Oblicz prawdopodobieostwo na wyjściu sygnałów: AAAA, ACAA, CCCC, ABCA
b) Na wyjściu odebrano sygnał ACAA  oblicz prawdopodobieostwo, że został on nadany
jako AAAA
c) Na wyjściu odebrano sygnał AAAA  oblicz prawdopodobieostwo, że został on nadany
również jako AAAA
1
7. W fabryce przeprowadzany jest test diagnostyczny majÄ…cy na celu wykrycie
wadliwych wyrobów. Test stosuje się do zbadania pojedynczych sztab wylosowanych
z dużej partii tego wyrobu. Wiadomo, że przeciętnie 5% całej produkcji stanowią
produkty wadliwe. Sprawdzono również, że jeżeli produkt jest wadliwy, to w 90% test
wykazuje wadliwośd (czyli wynik testu jest pozytywny). Jeżeli produkt jest wykonany
prawidłowo to w 90% test nie wykazuje wadliwości.
a) Wyznacz prawdopodobieostwo, że produkt jest wadliwy, jezeli wynik testu był
pozytywny?
b) Jak zmieni się powyższe prawdopodobieostwo, jeżeli produkt będzie badany
dwukrotnie i w obu przypadkach wyniki testu będą pozytywne?
2