Wykład 6
Twierdzenie G�dla (pierwsze): w ka\
dym niesprzecznym systemie formalnym
(obejmującym arytmetykę) istnieją arytmetyczne prawdy,
których nie da się udowodnić w ramach tego systemu.
1. Zasada zachowania energii
T +U = const
nazywamy zasadą zachowania energii (ZZE).
Zasada zachowania energii: w polu sił zachowawczych całkowita energia
układu, równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej, jest wielkością stałą.
Jest to jedna z fundamentalnych własności naszego świata. Ka\
dy układ (system)
opisany jest przez pewną wielkość, która nie zmienia się, jest zachowana,
niezale\
nie od przemian, jakim ten układ podlega. Wielkość tę nazywamy
energią, a tę zasadę  zasadą zachowania energii.
Korzystanie z ZZE.
1.1 Ruch 1D
T +U (x) = E = const
(1)
mv2
+U (x) = E
2
gdzie wartość siły określa zale\
ność:
r
F = -gradU = -"U
dla 1D
dU (x)
F(x) = -
d x
Policzmy pochodną (po czasie) wyra\
enia (1).
1
dE dU dx dv
= + mv = -Fv + mva = 0
dt dx dt dt
czyli
F = ma
Mamy II zasadę dynamiki Newtona (dla ruchu 1D)!
Wracamy do ZZE. Po prostym (1) przekształceniu otrzymamy;
1 m dt
= =
v 2(E -U (x) dx
Obliczmy teraz t(x)
dx
t(x) =
+"
2(E -U (x))
(2)
m
Zale\
ność poło\
enia (czasu) znajdujmy drogą pojedynczego całkowania.
Przykład
Ruch harmoniczny
F = -kx =
kx2
U (x) = E" x2
2
2
x
dx
t(x) - t0 =
+"
kx2
x0
2(E - )
2
m
Korzystając z zale\
ności:
dx x
= arcsin( )
+"
a
a2 - x2
obliczamy:
2E k
x(t) = sin( (t - t0))
m m
Jest to równanie ruchu harmonicznego.
2. Pęd, i zasada zachowania pędu
r
r
d p
F =
dt
II zasada dynamiki Newtona, gdzie pęd to:
r r
p = m �" v
Je\
eli
r
F = 0
r
d p
= 0
dt
r
p = const
3
Zasada zachowania pędu: je\
eli na układ nie działa \
adna siła (lub
działające siły się równowa\
ą) to całkowity pęd układu nie ulegnie
zmianie (jest zachowany).
r
r
F = 0 �! p = const
ZZP jest to równanie wektorowe, czyli jest to układ 3 równań
skalarnych (ró\
niczkowych rzędu 1  szego) dla ruchu 3D
Mówmy, \
e p (pęd) jest całką ruchu.
Przykład: Zderzenia kul
Zderzenia kul mogę być:
a) elastyczne  spełniona jest zasada zachowania pędu (pęd przed i
po zderzeniu jest jednakowy) i zasada zachowania energii
(energia przed i po zderzeniu jest jednakowa);
b) nieelastyczne spełniona jest zasada zachowania pędu, zasada
zachowania energii nie jest spełniona  część energii zu\
ywana
jest na odkształcenie plastyczne;
Zderzenie elastyczne: dwie kule bilardowe zderzają się  nie tracąc
energii. Spełnione są 2 zasady zachowania:
r r r r
m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2
ZZP
1 1 1 1
2 2 2 2
m1u1 + m1u2 = m1v1 + m1v2 ZZE
2 2 2 2
Rozwiązując powy\
szy układ równań znajdujemy prędkość kul po
zderzeniu
4
Zderzenie nieelastyczne: dwie kule (śnieg, plastelina) zderzają się i
łączą po kolizji. Spełniona jest tylko zasada zachowania pędu:
r r r
m1u1 + m2u2 = (m1 + m2)v
ZZP
3. Moment pędu i II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
Moment pędu (definicja):
r
r r r r
L = r � p = r � m �" v
moment siły (definicja):
r r
r
M = r � F
Policzmy pochodną momentu pędu:
r
r r
dL d r r dr r r dp
= (r � p) = � p + r �
dt dt dt dt
Wiemy, \
e
r
dr r r r
� p = v � p = 0
dt
(dlaczego?). Otrzymujemy więc zale\
ność:
r
r
r
v
dL r dp r
= r � = r � F = M
dt dt
Równanie
5
r
r
dL
M =
(2)
dt
jest II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.
Porównanie II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego i ruchu postępowego :
r
r
r
r
dp
dL
F =
M =
dt
dt
pęd, siła moment pędu, moment siły
4. Zasada zachowania momentu pędu
r
M = 0
v
d L
= 0
dt
r
L = const
Je\
eli całkowity moment siły działającej na układ jest równy zero to
całkowity moment pędu układu nie ulegnie zmianie (jest zachowany).
Jest to treść zasady zachowania momentu pędu
r r
M = 0 �! L = const
ZZMP jest to równanie wektorowe. Dla ruchu 3D jest to układ 3
równań skalarnych (ró\
niczkowych rzędu 1  szego).
Mówmy, \
e L jest całką ruchu.
Przykłady ZZMP:
rower,
\
yroskop,
tancerka (jazda figurowa na lodzie),
6
inne
5. Pole grawitacyjne. Prawa Keplera
Prawo powszechnego cią\
enia:
v
r
M m r
F = G �"
r2 r
gdzie G  stała grawitacji, (stała uniwersalna)
G = 6.674 x 10-11 [N m2 kg-2] (układzie SI)
G = 6.674 x 10-11 [m3 kg-1 s-2] (układzie SI)
Bardzo mała wartość stałej G!
Siły grawitacji są najsłabsze i pomijalne w skali mikroskopowej.
Siła grawitacji jest siłą centralną.
Siły centralne:
r
r
r r r r
Ć
F(r ) = F(r ) = F(r )�"r
r
Dla sił centralnych:
r
v
r r
Ć Ć
M = r � F = r �" F(r )�"r � r = 0
momet pędu jest zawsze zachowany
r r
M = 0 �! L = const
Pole grawitacyjne to przykład siły centralnej. Zatem w ka\
dym
układzie ciał, oddziałujących poprzez pole grawitacyjne, obowiązuje
zasada zachowania momentu pędu.
Pole grawitacyjne to izotropowa siła centralna, istnieje zatem dla
niego potencjał U. Pole grawitacyjne jest siłą zachowawczą.
7
Rozpatrzymy ruch ciała w polu grawitacyjnym. Jego prędkość jest
równa w układzie biegunowym (ruch krzywoliniowy, wykład 2,):
r dr
v = [ , r�]
dt
Współrzędne punktu na płaszczyz
nie:
P[x(t), y(t)],
a) układ kartezjański
P[r(t),�(t)]
b) układ biegunowy .
Zgodnie z ZZE:
2
�ł �ł
1 1 dr
E = T +U = U + mv2 = U + m�ł�ł �ł + r2�2 �ł
�ł�ł dt �ł �ł
2 2
�ł�ł łł łł
po przekształceniu:
�ł�ł �ł2 L2 �ł
m dr
�ł�ł �ł + �ł
E = U +
�ł�ł łł m2r2 �ł
2 dt
�ł łł
gdzie korzystamy z ZZMP (pole sił centralnych), moment pędu jest równy:
L = mr2� = const
Wprowadz
my oznaczenie  nowy potencjał (potencjał efektywny):
L2
Ueff = U +
2mr2
otrzymujemy zale\
nośC (patrz przykład ruch 1D na początku wykładu):
2(E -Ueff )
dr
=
dt m
8
i dalej
dr
t =
+"
2(E -Ueff )
m
r(t)
rozwiązaniem tego równania jest zale\
ność .
Uwaga: wprowadzenie potencjału efektywnego pozwala na zredukowanie
równań ruch do przypadku jednowymiarowego. Ale brakuj nam drugiego
równania.
Dodatkowe równanie otrzymujemy z ZZMP:
d� dr
L = mr2� = mr2
dr dt
�(t)
rozwiązując to równanie, otrzymamy zale\
ność
�(t) r(t)
A
ącząc te i uzyskamy równanie toru w postaci równania
(współrzędne biegunowe):
p
r =
(4)
1+ � cos�
Jest to równanie toru planet wokół Słońca.
I prawo Keplera: planety krą\
ą wokół Słońca po elipsach o
p = L2 / GMm � = (1+ 2Ep / GMm)1/ 2
parametrach i mimośrodzie
Równanie (4) ogólnie rzecz biorąc jest równaniem krzywych sto\
kowych, gdzie
�
o charakterze krzywej decyduje wartość mimośrodu
� = 0
a) okrąg,
� <1
b) elipsa,
� =1
c) parabola,
� >1
d) hiperbola,
II prawo Keplera: prędkość polowa ruchu planet jest stała.
9
Promień wodzący łączący Słońce, umieszczone w jednym z ognisk elipsy, z
planetą, w jednakowych odstępach czasu zakreśla jednakowe pola.
Konsekwencja zasady zachowania momentu pędu.
III prawo Keplera:
2 2
T 4Ą
= = const
a3 GM
Bez dowodu.
Równanie (4) jest równanie krzywych sto\
kowych, gdzie o charakterze krzywej
�
decyduje wartość mimośrodu
� = 0
e) okrąg,
� <1
f) elipsa,
� =1
g) parabola,
� >1
h) hiperbola,
Równanie krzywych sto\
kowych (układ kartezjański):
a) elipsy
x2 y2
+ =1
a2 b2
b) parabola
y = ax2 + bx + c
c) hiperbola
x2 y2
- =1
a2 b2
Zadanie: podaj równanie okręgu.
10