Algebra ponad wszystko Kolupa

ALGEBRA PONAD WSZYSTKO
Michał Kolupa
Niedawno jeden z wykładów z matematyki, jakie prowadzę
w Wy\szej Szkole Społeczno-Ekonomicznej w Warszawie rozpocząłem od przeróbki
rymowanki napisanej przez nie byle kogo, bo Adama Mickiewicza.
Otó\ rymowanka ta w przeróbce mego autorstwa, przy- Kolejna uwaga, dotycząca sposobów uczenia się. Nale\y
znaję, mo\e pod względem poetyckim nie najwy\szej próby zajmować się metodami ilościowymi systematycznie. Nie
brzmiała: trzeba poświęcać im więcej ni\ 15 minut dziennie (sic!), ale
Na co będą potrzebne student mnie raz pytał te ma- trzeba to robić np. przez cztery następujące po sobie dni w
cierze, te całki com o nich wyczytał; \e potrzebne, mój drogi, tygodniu. To z punktu widzenia efektywności opanowywa-
musisz teraz wierzyć, dlaczego potrzebne zrozumiesz gdy nia materiału przez uczącego się znacznie, znacznie więcej
świat zaczniesz mierzyć . ni\ przeznaczenie na naukę jednorazowo 60 min. (4 x 15).
Podam zatem garść uwag na temat matematyki, tej którą
TAK, ALE DLACZEGO?
wykłada się na studiach ekonomicznych. Nie pretendują one
do uwag całościowych. Są one fragmentaryczne, bowiem
A teraz trochę zadań typowych i typowych na nie odpo-
odnoszą się jedynie do zajęć z algebry liniowej.
wiedzi.
POSTPOWAĆ ROZSDNIE
1. Czy prawdą jest, \e
Wybór tego działu matematyki jest podyktowany tym, \e
�ł- 3 - 4 - 2 3 4 2 łł
łł �ł
z algebry korzysta się w ekonometrii i w programowaniu
śł
det�ł- 2 - 5 -1śł = - det�ł2 5 1 .
�ł śł �ł śł
liniowym, i w statystyce, i w prognozowaniu oraz w ekono-
�ł-1 - 6 - 3�ł �ł1 6 - 3�ł
śł �ł śł
mii matematycznej. W ka\dym z tych przedmiotów mamy �ł
do czynienia z macierzami, a na nich trzeba wykonać pewne
Odpowiedz brzmi: tak. Ale dlaczego?
działania arytmetyczne. Wszędzie tam mamy równie\ do
Słuchacz powinien wiedzieć z wykładów, w których
czynienia z wyznacznikami, z macierzą odwrotną jak rów- uczestniczy, \e stały czynnik mo\na wynieść przed znak
nie\ z układami równań liniowych. A to oznacza, \e raz
wyznacznika. No to z ka\dej kolumny wynosimy przed znak
opanowawszy te właśnie elementy algebry jesteśmy wypo- wyznacznika ( 1), a poniewa\ macierz ma trzy kolumny,
sa\eni w narzędzia rachunkowe odgrywające istotną rolę w
przed wyznacznikiem stoi iloczyn ( 1) ( 1) ( 1), czyli wła-
wyjaśnianiu problemów charakterystycznych dla danej dys- śnie 1. Stąd wy\ej podany wynik.
cypliny naukowej to znaczy takiej, którą umieściliśmy na
wy\ej podanej liście.
2. Czy wektory
A teraz coś o sposobie uczenia się szeroko rozumianych
3 2 1
�ł łł �ł łł �ł łł
metod ilościowych, to znaczy matematyki, ekonometrii,
�ł0śł �ł5śł �ł2śł
programowania liniowego, prognozowania oraz ekonomii
a1 = a2 = a3 =
�ł śł �ł śł �ł śł
matematycznej. Słuchacz powinien wynosić z zajęć jak
�ł
�ł0śł �ł �ł �ł3śł
�ł �ł0śł �ł �ł
najwięcej. Aby to osiągnąć, musi jednak postępować roz-
tworzą bazę w R3 ?
sądnie. Oznacza to, \e zadania, przytoczone na takich wy-
Tak\e w tym wypadku odpowiedz brzmi: tak. Ale dla-
kładach, musi rozwiązywać samodzielnie, zaś to co jest
czego jest ona pozytywna? Po prostu dlatego, \e opisany
uwidocznione przez wykładowcę na tablicy traktować jedy-
układ składa się z trzech wektorów trójwymiarowych i są
nie jako sprawdzian poprawności swoich własnych obliczeń.
one liniowo niezale\ne.
Tego niestety du\a część słuchaczy wykładów nie chce
Dlaczego kolejne pytanie układ ten ma tę własność?
respektować. Ot, po prostu przepisuje z tablicy, na ogół nie
Dlatego, \e macierz utworzona ze współrzędnych wektorów
myśląc o tym co robi.
3 2 1
�ł łł
Dowód z mojej własnej praktyki dydaktycznej (no, mo\e
�ł0
agitacja na rzecz dowodu). Prowadząc wykład, wykładowca
a1, a2, a3, czyli macierz A = 5 2śł ma rząd równy 3.
�ł śł
celowo się myli (pod względem arytmetycznym) i obserwu-
�ł śł
�ł0 0 3�ł
je, jaka jest reakcja. Reakcja jest na ogół \adna. Nikt bądz
Postawmy zatem następne pytanie: dlaczego ta macierz ma
prawie nikt nie zwraca uwagi na pomyłkę, tymczasem
rząd równy 3 ? Otó\ dlatego, \e
gdyby słuchacze stosowali wspomnianą poprzednio zasadę
R(A) d" min(3, 3) = 3 zaś det A `" 0
bez trudu zauwa\yliby ów błąd arytmetyczny.
A dlaczego jest spełniony ten warunek? Ano dlatego, \e 4. Dla jakich wartości parametru a przestawiony poni\ej
wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi ele- układ równań jest sprzeczny?
mentów tej macierzy poło\onych na jej głównej przekątnej.
3x1 + 2x2 = a
Iloczyn ten jest równy 3 � 5 � 3 = 45 `" 0. Ot i cała odpowiedz.
x1 + 5x2 = 2
KROK PO KROKU
2x1 + 5x2 = 2a
3. Wykorzystajmy zadanie 2 do rozwiązania następujące-
go zadania. Tak się z reguły w matematyce (i pochodnych Jest on sprzeczny wówczas co powinno być wiadome z
dziedzinach wiedzy) postępuje, gdy\ dzięki temu krok po wykładu je\eli rząd macierzy podstawowej A jest ró\ny od
kroku dochodzi się do kolejnego szczebla wiedzy. A więc, rzędu macierzy rozszerzonej B, gdzie
skoro wektory a1, a2, a3, rozpatrywane w zadaniu 2, tworzą
3 2 3 2 a
�ł łł �ł łł
�ł1 �ł1 śł
5
�ł łł
A = 5śł B = [A/ b] = 5 2 ale A : 3� 2,
�ł śł �ł śł
�ł2śł
bazę, to dowolny wektor, np. b = z tej przestrzeni wyra-
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł2 5�ł �ł2 5 2a�ł
�ł
�ł0śł
�ł
przeto R(A) d" min(3,2) = 2 i jest równy 2 bo np.
\a się jako kombinacja liniowa wektorów a1, a2, a3. A zatem
3 2
�ł łł
x1a1 + x2a2 + x3a3 = b (1) det�ł = 13 `" 0 zaś B : 3�3 , przeto R(B) d" min(3,2) = 3
�ł1 5śł
�ł
i mo\e być równy trzy, [aby była spełniona zale\ność
Znajdziemy x1, x2, x3, czyli rozwią\emy układ równań:
R(A) `" R(B) (2 `" 3) ].
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Obliczamy:
5x2 + 2x3 = 2
det B = 3�" 5 �" 20 + 2 �" 2 �" 2 + 5 �"1�" 0 - 2 �" 5 �" a - 5 �" 2 �" 3 - 2 �"1�" 2a =
3x3 = 0
= 3a + 8 + 5a -10a - 30 - 4a = 21a - 22
i aby det B `" 0 (wówczas rząd macierzy B jest równy trzy)
Mamy przeto:
22
2 7
musi być 21a - 22 `" 0 albo a `" i to jest odpowiedz na
x3 = 0 x2 = x1 = czyli zgodnie z (1) mamy:
21
5 5
postawione pytanie.
7 2
a1 + a2 + 0a3 = b (2) 5. A teraz nieco zmieńmy pytanie: dla jakich wartości pa-
5 5
rametru a układ rozpatrywany w zadaniu 4 ma jedno rozwią-
zanie? Odpowiadamy wówczas, kiedy R(A) = R(B) = 2
Z bazy a1, a2, a3 usuniemy wektor a3 a na jego miejsce
(bo tyle jest niewiadomych w rozpatrywanym układzie),
wprowadzamy wektor b. Czy układ a1, a2, b tworzy bazę?
R(A) = 2 co poprzednio stwierdziliśmy zaś R(B) = 2
Tym razem odpowiadamy: nie. A odpowiedz jest nega-
tywna, bo rząd macierzy utworzonej ze składowych wekto- wówczas kiedy det B = 0 czyli wówczas, kiedy
rów a1, a2, b jest mniejszy od trzech. Istotnie:
22
21a - 22 = 0 prowadzi do wyniku a = czyli dla takiej
21
3 2 5
�ł łł
wartości układ ma jedno rozwiązanie.
�ł0
B = 5 2śł Zauwa\my, \e R(B) = 2 , bo wystarczy wskazać ten sam
�ł śł
�ł śł
3 2
�ł łł
�ł0 0 0�ł
minor który rozpatrywaliśmy, badając rząd macie-
�ł1 5śł
zaś det B = 0 . Jest tak, bo ostatni wiersz składa się z samych
�ł �ł
zer, zaś wyznacznik takiej macierzy jest równy zero. Układ
rzy A. Jeszcze raz popatrzcie na budowę macierzy B (ma-
(a1, a2, b) nie tworzy bazy.
cierz A uzupełniona kolumną wyrazów wolnych).
A je\eli z bazy (a1, a2, a3) usuniemy wektor a1 to czy układ
GDY CZAS NAGLI
(b, a2, a3) tworzy bazę? Odpowiadamy: tak. Uzasadnienie:
5 2 1
�ł łł 6. A teraz coś innego: wyznaczyć macierz odwrotną do
�ł2
macierzy
macierz C = 5 2śł ma rząd równy trzy, zaś
�ł śł
5 4
�ł śł �ł łł
�ł0 0 3�ł
A =
�ł11 9śł
detC = 5 �" 5 �" 3 + 2 �" 2 �" 0 + 0 �" 2 �"1 - 0 �" 5 �"1 - 0 �" 2 �" 5 - 2 �" 2 �" 3 =
�ł �ł
= 75 -12 `" 0
Skorzystamy w tym przypadku z algorytmu podanego na
wykładzie, bo będzie szybciej, a na przykład na egzaminie
Popatrzcie raz jeszcze na zale\ność (2) i na uzyskane re-
bo mo\e to być przecie\ zadanie egzaminacyjne czas na-
zultaty. Układ (a1, a2, b) nie tworzy bazy, zaś układ (b, a2,
gli! Postępujemy tak. Obliczamy wyznacznik, co czynimy z
a3) tworzy bazę. Wyciągnijcie wnioski samodzielnie, albo
tego powodu, \e macierz odwrotna istnieje tylko do macie-
zajrzyjcie do notatek z wykładu.
rzy nieosobliwej. Liczmy det A = 5�"9 -11�" 4 = 1 . Gdyby
UKAADY RÓWNAC LINIOWYCH
det A = 0 to nic nie nale\ałoby liczyć, tylko powiedzieć, \e
do takiej macierzy nie istnieje macierz odwrotna, ale
A teraz coś o układach równań liniowych. To wcale nie
jest trudniejsze od przykładów poprzednich. Zatem: det A = 1 `" 0 przeto istnieje macierz A-1 .
Wyznaczamy ją w sposób następujący. Przesuwamy ele- przeto
menty poło\one na głównej przekątnej, co oznacza, \e w
D = B(AB)-1A = BB-1A-1A
macierzy A 1 na miejsce 5 która stoi na węzle (1, 1) w ma-
ale
cierzy A postawimy 9. Na węzle (2, 2) w macierzy A stoi 9 i
BB-1 = I oraz A-1A = I
dlatego na tym węzle w macierzy A 1 postawimy 5.
ostatecznie D = I .
Elementy 4 i 11, stojące na antygłównej przekątnej w ma-
I oto wynik, do jakiego doszliśmy skomplikowaną drogą,
cierzy A, piszemy na tych samych węzłach w macierzy A 1 i
mamy bez liczenia, na talerzu (I jest macierzą stopnia
poprzedzamy je znakiem minus.
drugiego, bo takiego stopnia jest macierz D). Ale oczywiście
Wobec tego:
postępowanie według bardziej skomplikowanej procedury
nie jest zabronione, wybór nale\y do zdającego.
9 łł
�ł - 4
A-1 =
�ł-11 5 śł
NIE KOMPLIKOWAĆ BEZ POTRZEBY
�ł �ł
Teraz coś jeszcze innego. Liczyć czy nie liczyć to hasło
8. No teraz jeszcze jedno, sytuacja nieco zbli\ona. Dany
do przykładu 7.
jest układ równań
Je\eli:
x1 + 5x3 + 4x4 = 2
3 2 6 2
�ł łł �ł łł
x2 + 6x3 + 2x4 = 5
A =
�ł1 5śł B = �ł1 0śł to jak wyznaczyć
�ł �ł �ł �ł
D = B(AB)-1 A ?
1 0 5 4
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
zaś a1 = a2 = a3 = a4 =
�ł0śł �ł1śł �ł6śł �ł2śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
Zaczniemy od prezentacji tego, jak nie nale\y postępo-
czyli
wać. Po pierwsze obliczalibyśmy iloczyn AB, a zatem
a1 + 5a3 + 4a4 = 2
a2 + 6a3 + 2a4 = 5
3 2 6 2 20 6
�ł łł �ł łł �ł łł
AB =
�ł1 5śł �ł1 0śł = �ł11 2śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Rozwiązanie bazowe względem bazy zbudowanej z
zaś następnie (patrz przykład 6) wyznaczalibyśmy (AB)-1 :
wektorów a1 i a2 ma postać
x1 = 2 x2 = 5 x3 = 0 x4 = 0
det(AB)-1 = 40 - 66 = -26 .
Zadanie polega na tym, by znalezć nowe rozwiązanie ba-
zowe względem bazy utworzonej z wektorów (a1 a4). Z bazy
2
łł �ł - 6
1 �ł - 6 2
1 łł
(a1 a2) wyrzuciliśmy wektor a2 i na jego miejsce wprowa-
(AB)-1 = = - =
�ł-11 śł �ł-11 śł
40 - 66 20 26 20
dziliśmy wektor a4. Oznacza to, \e wprowadzony wektor
�ł �ł �ł �ł
powinien mieć w bazie (a1 a4) rozkład taki jak wektor, który
�ł - 2 6 łł
4
�ł łł
�ł śł
26 26
z bazy został usunięty. Innymi słowy wektor a4 = ma
=
�ł2śł
�ł
11 - 20śł
�ł �ł
�ł śł
�ł 26 26 �ł
0
�ł łł
przejść w wektor , stąd zamiast 2 ma być jedynka, zaś
�ł1śł
następnie
�ł �ł
zamiast 4 zero.
�ł- 2 6
łł �ł-10 - 4 5 - 2
łł �ł łł
Jest to zapowiedz wykonywanych przekształceń. Obli-
6 2 �ł śł �ł śł �ł13 13 śł
�ł łł
26 26 26 26
B(AB)-1 =
�ł �ł śł �ł-1 śł
�ł1 0śł 11 - 20śł = - 2 6 = 3 czenia prowadzimy w tablicy.
�ł �ł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł 26 26 26 26 13 13 �ł
�ł �ł �ł �ł
b a1 a2 a3 a4 Rozwiązanie i komentarz
2 1 0 5 4
i na koniec x1 = 2 x2 = 5 x3 = 0 x4 = 0
Do bazy a4 z bazy a2
5 0 1 6 2
5
�ł - 2
łł
Zamiast 2 ma być jedynka. Dzieli-
�ł13 13 śł 3 2 1 0
�ł łł �ł łł
my drugi wiersz przez 2 i zapisu-
B(AB)-1 A =
�ł-1 3 śł
�ł1 5śł = �ł0 1śł
-8 1 -2 -7 0 jemy w drugim wierszu tablicy 2.
�ł �ł �ł �ł
�ł śł
Aby było zero (tablica 2) na miej-
13 13
�ł �ł
scu 4 (tablica 1) nale\y drugi
5 1
Takie postępowanie jest jednak w tym przypadku niece-
0 3 1 wiersz tablicy 2 pomno\yć przez
lowe, gdy\ jest czasochłonne, a czas na egzaminie jest bez- 2 2
4 i dodać do pierwszego wiersza
cenny. Mo\na tę procedurę pominąć, jeśli skorzystamy z
tablicy 1.
tego, co powinniśmy wiedzieć ju\ wcześniej. Poka\ę, jak
Nowe rozwiązanie względem bazy
postępować, aby nie liczyć tego wszystkiego, co przedsta-
(a1 a4 ) ma postać
wiłem wy\ej. Wiemy a w ka\dym razie powinniśmy wie-
5
x1 = -8 x2 = 0 x3 = 0 x4 =
dzieć \e
2
(AB)-1 = B-1A-1
Tablica 1
Tablica 2
9. I jeszcze o własnościach wyznacznika. Obliczyć Wówczas
�ł a b c łł �ł x y z łł �ł x y z
łł
det�ła + b 2b c + bśł - 2 det�ł3p + a 3q + b 3v + cśł = -2det�ła b cśł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
2 2 2 p q v p q v�ł
�ł �ł �ł �ł �ł
Nie nale\y sądzić, i\ skoro jest to wyznacznik macierzy Z kolei nale\y zamienić wiersz drugi z pierwszym (doko-
stopnia trzeciego to nale\y stosować schemat Sarrusa. naliśmy nieparzystej liczby przestawień wierszy). Wówczas
Znacznie łatwiej jest skorzystać z własności wyznacznika.
Najpierw pomno\ymy pierwszy wiersz przez ( 1) i dodamy
do drugiego wiersza. Wówczas
�ł x y z a b c
łł �ł łł
- 2det�ła b cśł = 2det�ł x y zśł
�ł śł �ł śł
a b c
�ł a b c łł �ł łł
�ł śł �ł śł
p q v�ł �ł p q v�ł
�ł
det�ła + b 2b c + bśł = det�łb b bśł = 0
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
2 2 2
�ł �ł �ł2 2 2�ł
I na koniec zamieniamy wiersz drugi z trzecim (dokonali-
To ju\ wszystko, bo drugi i trzeci wiersz są proporcjonal- śmy nieparzystej liczby przestawień wierszy), czyli na pod-
ne, a wyznacznik takiej macierzy jest równy zero. stawie informacji (*):
a b c a b c
�ł łł �ł łł
UWIERZYĆ W SIEBIE
2det�ł x y zśł = -2det�ł p q vśł = -20
�ł śł �ł śł
10. Kolejne zadanie i ćwiczenie, na zakończenie tych pa-
�ł śł �ł śł
p q v�ł �ł x y z�ł
�ł
ru uwag mającego ju\ trochę \yciowego doświadczenia
pedagoga, któremu przypadło zajmować się tak (podobno)
trudnymi , ale proszę mi wierzyć pasjonującymi dzie-
dzinami wiedzy, jak matematyka, ekonometria i statystyka. Aatwe, ale tylko dla tych, którzy chcą się czegoś nauczyć
Oto ono: wiedząc, \e i którzy nie odczuwają niechęci do matematyki. Ci, którzy
dotknięci są taką niechęcią, muszą się koniecznie pozbyć jej.
Nie mo\na nauczyć się czegokolwiek, je\eli towarzyszy
a b c
�ł łł
temu niechęć do przedmiotu.
det�ł p q vśł = 10 (*)
�ł śł
A na koniec jeszcze jedna rada. Trzeba wierzyć, \e ma-
�ł śł
x y z�ł
�ł tematykę mo\na opanować w takim stopniu i zakresie, jaki
jest potrzebny do zdania egzaminu.
Zrozumieć, a nie uczyć się na pamięć, to ostatnie zalece-
obliczyć
nie przed egzaminem, którego na przykład na kierunku stu-
diów: ekonomia, finanse czy zarządzanie nikomu uniknąć
się nie da, bo to fundament dla wielu innych wykładanych
�ł - x - y - z łł
na tych kierunkach przedmiotów. Tak\e zresztą na wielu
det�ł3p + a 3q + b 3v + 2śł
�ł śł pozostałych kierunkach studiów wy\szych. Od siebie zaś
�ł śł
2 p 2q 2v
dodam, \e to naprawdę wiedza sympatyczna i odwzajem-
�ł �ł
niająca dobre uczucia , jeśli takie wobec niej się \ywi.
Postępujemy następująco: z pierwszego wiersza wyłą-
czymy ( 1), zaś z trzeciego 2. Wówczas
�ł - x - y - z łł
det�ł3p + a 3q + b 3v + 2śł =
�ł śł
�ł śł
2 p 2q 2v
�ł �ł
x y z
�ł łł
= 2(-1) det�ł3p + a 3q + b 3v + zśł
�ł śł
�ł śł
p q v
�ł �ł
Pomno\ymy trzeci wiersz przez 3 i dodamy do drugiego
wiersza.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
milosc ponad wszystko
Linkin Park Wszystko jest hybrydą Whitaker Brad
Lo27 Mogę Wszystko
Wszystkie chwile Magma txt
Przepis na herbatę leczącą ponad 60 chorób i zabijającą pasożyty
Wszystko to co Ja ONA
O szukaniu diabła we wszystkich rzeczach
Wszystkie Saaby napędzane biopaliwem
Wstęp do pakietu algebry komputerowej Maple

więcej podobnych podstron