WYKA
AD 9
9. Rzutowanie ( projekcja)
9.1. Sformułowanie probIemu
Dane:
" opis obiektu w układzie współrzędnych xyz.
" płaszczyzna rzutowania (rzutnia  ).
Jak uzyskać obraz obiektu na rzutni ?
Dwa sposoby rzutowania.
Rzutowanie równoległe
P2


P22
P1
P12
Punkty P1 i P2 zostały przeniesione na rzutnię wzdłuż
prostych równoIegłych.
Punkty przecięcia prostych rzutowania z rzutnią są
obrazami rzutowanych punktów.
Rzutowanie perspektywiczne
P2


P22
P1
P12
środek projekcji
Punkty P1 i P2 zostały przeniesione na rzutnię wzdłuż
prostych przecinajÄ…cych siÄ™ w jednym punkcie
(środku projekcji).
Punkty przecięcia prostych rzutowania z rzutnią są
obrazami rzutowanych punktów.
9.2. Rzutowanie równoIegłe
Można wyróżnić dwa przypadki dwa przypadki:
" proste rzutowania przecinajÄ… rzutniÄ™ pod kÄ…tem
prostym (rzut pionowy),
" proste rzutowania przecinajÄ… rzutniÄ™ pod kÄ…tem
innym niż kąt prosty (rzut ukośny).
9.2.1. Rzut pionowy
Proste rzutowania przecinajÄ… rzutniÄ™ pod kÄ…tem
prostym.
Przykład:
" obiekt- sześcian jednostkowy (rysunek),
" rzutnia  - płaszczyzna (x-y)
y
(1,2,-2) (2,2,-2)
(2,2,-1)
(1,2,-1)
(2,1,-2)
(1,1,-1) (2,1,-1)
x
z
JeśIi proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem
prostym, to rzut obiektu wygIąda następująco.
JeśIi rzutnią  jest płaszczyzna (x-y), to równania
opisujące związek między współrzędnymi (x,y,z)
rzutowanego punktu a współrzędnymi jego rzutu
(xp ,yp ,zp ) przyjmują postać
xp = x, yp = y, zp = 0
Własności rzutu pionowego:
" rzuty odcinków równoległych do rzutni mają taką
samą długość jak te odcinki,
" rzuty odcinków prostopadłych do rzutni są
punktami.
Zastosowanie rzutu pionowego - rysunek techniczny.
Definiując rzutnie jako płaszczyzny (x-y), (x-z), (y-z) ,
bÄ…dz
płaszczyzny do nich równoIegłe, można uzyskać
rzuty z przodu, z boku, z góry itd.
9.2.2. Rzut ukośny
Proste rzutowania przecinajÄ… rzutniÄ™ pod kÄ…tem innym
niż kąt prosty .
Jak zorientować proste rzutowania wzgIędem rzutni ?
 
y 
(x,y,z)
xp yp
( , )
z Ä…
x
L
Åš
Åš
(x,y)
Aby jednoznacznie zorientować prostą rzutowania
wzgIędem rzutni prócz kąta ą trzeba zadać dodatkowy
parametr np. odIegłość L .
Z rysunku widać, że
xp = x + L cosÅš
Åš
Åš
yp = y + L sinÅš
podstawiajÄ…c
z 1
tanÄ… = =
L L1
i dalej
L = zL1
otrzymuje się równania
xp = x + z(L1 cosÅš )
Åš
yp = y + z(L1 sinÅš )
Åš
Parametrami definiującymi sposób rzutowania są
więc kąt Ś i odIegłość L1 = 1/ taną .
Równania rzutu ukośnego można zapisać też we
współrzędnych jednorodnych jako
xp yp zp 1 =
[ ] [x y z 1]Å" Pp(L1,Åš )
gdzie
1000
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0100
ïÅ‚ śł
Pp(L1,Åš ) =
ïÅ‚ L1 cosÅš L1 sinÅš 00 śł
ïÅ‚ śł
0001
ðÅ‚ ûÅ‚
DIa przykładu sześcianu jednostkowego można
pokazać interpretację parametrów rzutowania
y


L1
Åš
Åš
x
Przykład:
y
(1,2,2) (2,2,2)
(2,2,1)
(1,2,1)
(2,1,2)
(1,1,1) (2,1,1)
z
x
1. L1 = 1/ tanÄ… = 1/ 2, Ä… H" 63,4o (rzut kawaleryjski)
Åš = 30o
Åš
Åš = 45o
Åš
2. L1 = 1/ tanÄ… = 1/ 2, Ä… H" 63,4o (rzut gabinetowy)
Åš = 30o
Åš
Åš = 45o
Åš
Oba typy rzutowania pozwaIajÄ… na Å‚atwÄ… konstrukcjÄ™
obrazu przy pomocy przyrządów kreśIarskich.
9.3. Rzutowanie perspektywiczne
Albrecht Durer (1471- 1528)
 Pouczenie o mierzeniu cyrklem i liniÄ… - 1525 r.
Przy pomocy trzech nici możesz przenieść na obraz każdą rzecz, którą
[tymi nićmi] można dosięgnąć i narysować na desce. Czyń tedy tak: jeśli
jesteś w sali, wbij w ścianę dużą szpilę z dużym uchem i przyjmij, że to
jest oko. Przez to [ucho] przeciągnij mocną nić i zawieś u dołu na niej
ołowiany ciężarek: Potem postaw stół lub deskę tak daleko jak zechcesz
od ucha szpili, w której jest nić. Ustaw na tym [stole] prostą [pionową]
ramę poprzecznie do ucha szpili , wyżej lub niżej, w jaką zechcesz
stronę, a w tej ramie niech będą drzwiczki, które można by otwierać i
zamykać. Przybij do nich dwie nici, które by były tak długie jak pionowa
rama jest szeroka i długa, u góry i pośrodku ramy i zostaw by tak
wisiały. Potem zrób długi metalowy sztyft, który na przedzie, na ostrzu
miałby uch igielne; przewlecz przezeń długą nić, która przeciągnięta jest
przez ucho szpili w ścianie i przenieś igłę i długą nić przez ramę na
zewnątrz. Daj ją komuś innemu do ręki i pilnuj dwóch innych nici,
które wiszą przy ramie.
A teraz używaj ich tak: połóż lutnię czy cokolwiek ci się podoba tak
daleko od ramy, jak zechcesz byleby leżała bez zmiany tak długo jak
będziesz jej potrzebował. Każ teraz pomocnikowi naciągać igłę z nicią
do najbardziej istotnych punktów lutni. A ile razy zatrzyma się ona na
którymś z tych punktów i napnie długą nić, naciągnij zawsze dwie nici
przy ramie na krzyż, w miejscu [gdzie przechodzi] długa nić, i przylepiaj
je w obu miejscach woskiem do ramy, a do pomocnika wołaj by popuścił
długą nić. Wtedy zamykaj drzwiczki i wrysowuj na desce ten sam punkt
w miejscu gdzie nici się krzyżują. Potem otwieraj znów drzwiczki i czyń
tak samo z innym punktem - aż wypunktujesz całą zupełnie lutnię na
desce. Potem połącz liniami wszystkie punkty lutni, które znajdują się
na desce - wówczas zobaczysz, co z tego wyjdzie. Możesz w ten sposób
odrysować i inne rzeczy.
Schematycznie, urządzenie do rzutowania wymyśIone
przez Durera pokazuje rysunek.
drzwiczki
ucho
rama
długa nić
(x ,yp)
p
(x,y,z)
krótkie
nici
ciężarek
Jak wyrazić związek między współrzędnymi punktu
(x, y, z), a współrzędnymi jego rzutu (xp, yp) przy
pomocy równań ?
 
y 
(x,y,z)
z
x
xp yp
( , ,0)
(x 2 ,z
2 ,y 2 )
d
(00,- d)
,
środek projekcji
Współrzędne punktu (x2 ,y2 ,z2 ) opisuje układ równań
parametrycznych
x2 = x - xu
y2 = y - yu 0 d" u d" 1
z2 = z - (z + d)u
Aby wyznaczyć współrzędne punktu rzutu xp yp
( , ,0)
naIeży więc obIiczyć u, dla którego
z2 = z - (z + d)u = 0
Rozwiązaniem równania jest
z
u =
z + d
Podstawiając obIiczone u do układu równań
parametrycznych opisujących współrzędne punktu
(x2 ,y2 ,z2 ) otrzymuje się równania,
d
öÅ‚
xp = xëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
z + d
d
öÅ‚
yp = yëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
z + d
zp = 0
które pozwaIają dIa punktu o współrzędnych (x,y,z)
obIiczyć współrzędne rzutu perspektywicznego.
Jak wygIÄ…dajÄ… obrazy perspektywiczne ?
Przykład:
y
(1,2,2) (2,2,2)
(2,2,1)
(1,2,1)
(2,1,2)
(1,1,1) (2,1,1)
z
x
Parametrem rzutowania jest odIegłość d.
d = 3
d = 20
Gdy d " rzut perspektywiczny staje siÄ™ rzutem
pionowym.
9.4. Rzutowanie - przypadek ogólny
W poprzednich rozważaniach rzutnia Ieżała na
płaszczyz
nie (x-y).
Co zrobić gdy rzutnia jest usytuowana inaczej ?
Jaki będzie w takim przypadku efekt rzutowania ?
Sformułowanie probIemu:
1. Dany jest układ prostokątny współrzędnych
zewnętrznych (world coordinates) i opisany w tym
układzie obiekt.
2. W układzie współrzędnych zewnętrznych opisany
jest drugi układ współrzędnych prostokątnych
zwany układem obserwatora (viewing coordinates).
yw
yv
xv
zv
obiekt
xw
zw
RozwiÄ…zanie:
" Zapisać obiekt w układzie współrzędnych
obserwatora xv yv zv ,
( )
" Wykonać rzutowanie (np. perspektywiczne) na
płaszczyznę (xv - yv ).
Przekształcenie współrzędnych punktu okreśIonego w
układzie współrzędnych zewnętrznych xw yw zw do
( )
współrzędnych w układzie obserwatora xv yv zv
( )
może zostać zreaIizowane przy pomocy transformacji
xv yv zv 1 = xw yw zw 1 Å"V
[ ] [ ]
gdzie V jest macierzÄ… transformacji.
Aby wyznaczyć macierz V , która jest iIoczynem
macierzy odpowiednich transformacji elementarnych
naIeży wykonać;
1. Przesunięcie środka układu obserwatora do
środka układu współrzędnych zewnętrznych.
2. Obrót przesuniętego układu obserwatora wokół osi
xw , tak aby oś zv znaIazła się na płaszczyz
nie
(xw - zw ).
3. Obrót układu obserwatora wokół osi yw , tak by oś
zv pokryła się z osią zw .
4. Obrót układu obserwatora wokół osi zw , aby osie
xv i yv pokryły się z osiami xw i yw .
Odpowiednie kąty obrotów można wyznaczyć
podobnie jak dla poprzednia omówionego zadania
obrotu obiektu wokół dowoInej osi.
Jak wygIądają obrazy perspektywiczne dIa różnych
położeń rzutni ?
Klasyfikacja rzutów perspektywicznych:
Kryterium kIasyfikacji - Iiczba osi układu
współrzędnych zewnętrznych xw yw zw , które
( )
przecinajÄ… rzutniÄ™ (xv - yv ).
1. Perspektywa jedno-punktowa (rzutnia (xv - yv ) Ieży
na płaszczyz
nie (xw - yw )).
Na obrazie perspektywicznym proste, na których Ieżą
obrazy niektórych krawędzi sześcianu zbiegają się w
jednym punkcie (pozorny punkt zbieżności),
(vanishing point).
2. Perspektywa dwu-punktowa. Dwie osie układu
współrzędnych zewnętrznych xw yw zw
( )
przecinajÄ… rzutniÄ™ (xv - yv ).
Na obrazie perspektywicznym sześcianu pojawiły się
dwa pozorne punkty zbieżności.
2. Perspektywa trój-punktowa. Trzy osie układu
współrzędnych zewnętrznych xw yw zw
( )
przecinajÄ… rzutniÄ™ (xv - yv ).
W tym przypadku można wyznaczyć trzy pozorne
punkty zbieżności.