MOMENT SIA
Y (względem punktu i względem osi)
Ä…
P
r
O
z
Mo
def.
M0 = M (P) = r × P
0
y
x
i j k
M0 = r × P = rx ry r
r[rx,ry,rz ] z
Jeżeli: , to = M i + M j + M k ,
x y z
Px Py P
z
P[P , P , P ]
gdzie: M = P ry - Pyr , M = Pxr - P rx , M = Pyrx - Pxry - momenty
x y z
x z z y z z z
względem osi x, y, z
lub
1) M0 = M0 = r Å" P Å" sinÄ…
M0 Ä„" r )" M0 Ä„" P
2) kierunek
3) zwrot  zgodny z regułą śruby prawoskrętnej
Prof. Edmund Wittbrodt
z
MO = r × P = M i + M j + M k
x y z
Pz
M = Pzry - Pyrz
P
gdzie:
x
Py
P
x
M = Pxrz - Pzrx
y
rz
r
M = Pyrz - Pxrz
z
ry
y
O
rx
oraz oznaczono:
Px = Px , rx = rx
oznaczono:
x
PÄ„
P
Płaszczyzna Ą Ą" x  składowa na płaszczyz
nie Ä„
Ä„
PÄ„"Ä„
P
 składowa prostopadła do Ą
PÄ„
r  ramię składowej względem osi x
PÄ„
P
PÄ„"Ä„
P = PÄ„ + PÄ„"Ä„
r
M = PÄ„ Å" r
x
oÅ› x
Prof. Edmund Wittbrodt
Prof. Edmund Wittbrodt
Dla zbieżnego układu sił słuszne jest następujące twierdzenie, zwane twierdzeniem Varignona.
Twierdzenie
Moment zbieżnego układu sił, względem dowolnego punktu O jest równy sumie momentów poszczególnych
składowych względem tego punktu.
P1
P2
W
A
r Pn
O
Dowód:
MO = r × P1 + r × P2 + ...+ r × Pn ,
czyli
n
MO = r × ( ) = r ×W . (1.18)
"Pi
i=1
Prof. Edmund Wittbrodt
Redukcja dowolnego układu sił do jednej siły i jednej pary sił
Twierdzenie
Dowolny układ sił działających na ciało sztywne można zastąpić układem równoważnym, złożonym z jednej siły W
przyłożonej do dowolnie wybranego środka redukcji O i jednej pary sił o momencie MO . Siłę W nazywamy siłą
główną (wypadkową), a moment MO nazywamy momentem głównym (wypadkowym).
Prof. Edmund Wittbrodt
Niech dany jest dowolny układ sił P1, P2 , ..., Pn . Obieramy dowolny punkt O, w którym przykładamy dodatkowe siły  dwójki
zerowe P1, - P1; P2, - P2; ..., Pn, - Pn . Siły dowolnego układu sił z odpowiednimi siłami dwójek zerowych tworzą pary sił, a
pozostałe siły tworzą zbieżny układ sił. Wypadkowa zbieżnego układu sił wynosi
n
W = , (1.23)
"Pi
i=1
a moment wszystkich par sił wynosi
n
MO = × Pi . (1.24)
"ri
i=1
P2
P2
Redukcja układu sił do siły głównej W i momentu
P1
P1
głównego MO w punkcie O
W
a" a"
r1 P2
P1
-Pn
r2
Pn
Pn
MO
O
Pn
-P1
-P2
Ponieważ wielkość siły głównej W (1.23) nie
W
zależy od położenia punktu O, nazywamy ją
a"
pierwszym niezmiennikiem układu. Natomiast
główny moment zmienia swoją wielkość wraz
O
MO
ze zmianą położenia punktu O (zmieniają się
promienie ri ).
Prof. Edmund Wittbrodt
Można również udowodnić, że dla dowolnego układu sił rzut wektora głównego momentu na kierunek głównej siły jest
wielkością stałą. Jest to drugi niezmiennik układu.
Drugi niezmiennik dowolnego układu sił  rzut wektora momentu
MO
głównego na kierunek siły głównej
W
Ä…
MO cosÄ… = const
Twierdzenie 1
Jeżeli MO Ą" W , to istnieje taki punkt O, że można zredukować układ sił tylko do jednej siły (moment główny
względem tego punktu równy jest zero).
Z tego twierdzenia wynika, że dla dowolnego płaskiego układu sił, dla którego zawsze MO Ą" W , można znalez
ć taki punkt
O, że układ ten zastępuje się albo jedną siłą, albo  w przypadku W = 0  jedną parą sił.
Twierdzenie 2
Dla dowolnego układu sił można znalez
ć taką prostą, że jeżeli na niej będzie leżeć punkt O, to MO W .
Układ zredukowany do siły głównej i momentu głównego równoległych do siebie i o takich samych zwrotach nazywamy
skrętnikiem.
Twierdzenie 3
W przypadku, gdy układ sił redukuje się tylko do jednej siły, to moment tej siły względem dowolnie obranego
punktu jest równy sumie momentów poszczególnych sił tego układu względem tego punktu.
Jest to rozszerzenie twierdzenia Varignona na układy inne niż zbieżne.
Prof. Edmund Wittbrodt
Redukcję dowolnego układu sił możemy wyrazić w sposób prostszy, wykorzystując zapis macierzowy. Niech w i tym
punkcie ciała sztywnego działa siła Pi o składowych Pxi , Pyi , Pzi oraz para sił Mi o momentach składowych M , M , M .
xi yi zi
Mi
z
Pi
ri
i
y
O
x
Siła Pi oraz moment Mi działające na bryłę w punkcie określonym wektorem ri
Położenie i tego punktu opisuje wektor ri o składowych rxi, ryi, rzi. Redukując siły Pi do punktu O według (1.23) mamy
WOi = Pi , czyli:
Wxi = Pxi , Wyi = Pyi , Wzi = Pzi , (1.25)
gdzie: Wxi, Wyi, Wzi są składowymi siły WOi .
Z kolei moment względem punktu O jest sumą momentu działającego w i tym punkcie Mi oraz momentu od siły Pi ,
obliczonego ze wzoru (1.24), co zapisujemy
MOi = Mi + ri × Pi . (1.26)
Prof. Edmund Wittbrodt
Rozpisując powyższą zależność otrzymujemy
i j k
MOi = Mi + rxi ryi rzi =
Pxi Pyi Pzi
= (M - Pyirzi + Pziryi )i + (M + Pxirzi - Pzirxi ) j + (M - Pxiryi + Pyirxi )k ,
xi yi zi
skąd składowe wektora MOi są równe:
MOx = M - Pyirzi + Pziryi , MOy = M + Pxirzi - Pzirxi , MOz = M - Pxiryi + Pyirxi . (1.27)
xi yi zi
Prof. Edmund Wittbrodt
WprowadzajÄ…c oznaczenia:
W = col(Wx , Wy , Wz , MOx , MOy , MOz ) , (1.28)
{ }Oi
P = col(Pxi , Pyi , Pzi , M , M , M ) , (1.29)
{ }i
xi yi zi
1 0 0 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
0 1 0 0 0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 1 0 0 0
S = ïÅ‚ śł , (1.30)
[ ]i 0 -rzi ryi 1 0 0śł
ïÅ‚
ïÅ‚
rzi 0 -rxi 0 1 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚-ryi rxi 0 0 0 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
równania (1.25) i (1.26) zapisujemy krótko
W = S Å" P . (1.31)
{ }Oi [ ]i { }i
Prof. Edmund Wittbrodt
Jeżeli składowe siły Pxi , Pyi , Pzi oraz składowe momentu M , M , M podane są w lokalnym układzie odniesienia, związanym
xi yi zi
z i tym punktem, to wprowadzajÄ…c macierz współczynników kierunkowych ¸ , wektor W zapisujemy w postaci
[ ]i { }Oi
z
Mi
z
i
Pi
M
zi
i
P
zi
y
i
M
xi
P
xi
P
yi
M
yi
Składowe siły Pi oraz momentu Mi
w lokalnym układzie odniesienia x1, y1, z1
x
i
x
y
W = S Å" ¸ Å" P , (1.32)
{ }Oi [ ]i [ ]i { }i
gdzie
cosÄ…ixx cosÄ…ixy cosÄ…ixz 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
cosÄ…iyy cosÄ…iyz 0 0 0
ïÅ‚cosÄ…iyx śł
ïÅ‚cosÄ… cosÄ…izy cosÄ…izz 0 0 0 śł
izx
ïÅ‚ śł
¸ = , (1.33)
[ ]
i
ïÅ‚
0 0 0 cosąixx cosąixy cosąixz śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 0 0 cosÄ…iyx cosÄ…iyy cosÄ…iyz śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 cosąizx cosąizy cosąizz śł
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
przy czym ąixy jest kątem pomiędzy osią xi układu lokalnego a osią yi.
Prof. Edmund Wittbrodt
W przypadku, gdy siły oraz momenty działają w n punktach i opisane są one w układach lokalnych, wówczas wektor W ,
{ }O
którego elementami są składowe siły głównej i moment głównego, obliczamy
n n
W = (1.34)
{ }O
"{W} = "[S] Å"[¸] Å"{P}i .
Oi i i
i=1 i=1
Prof. Edmund Wittbrodt