MATEMATYKA
ZESTAW ZADAC

GEOMETRIA ANALITYCZNA
Zadanie 1.
MajÄ…c dane u =ð [ð1, 2,3]ð, w =ð [ð3,1, 2]ð, v =ð [ð-ð 2,5, 4]ð, k =ð 7 obliczyć u +ð v , kv , u oð v , u ´ð v , (ðuvw)ð.
Zadanie 2.
Obliczyć pole równolegÅ‚oboku zbudowanego na wektorach a =ð 2 p -ð q , b =ð p +ð q , przy czym p ,
q to wektory jednostkowe wzajemnie prostopadłe.
Zadanie 3.
Obliczyć objÄ™tość czworoÅ›cianu zbudowanego na wektorach a =ð p +ð q -ð r , b =ð 2 p -ð q +ð r ,
c =ð p +ð 2q -ð 3r jeżeli wiemy, że objÄ™tość równolegÅ‚oÅ›cianu zbudowanego na wektorach p , q , r
wynosi 3.
Zadanie 4.
Oblicz pole trójkÄ…ta A(-ð1,0, -ð2), B(-ð3,1,0), C(0, -ð1,-ð2) oraz cos kata przy wierzchoÅ‚ku A .
Zadanie 5.
rð rð uðrð
Oblicz objÄ™tość czworoÅ›cianu rozpiÄ™tego na wektorach u =ð [1,0, -ð2] , v =ð [-ð1,1,0] , w =ð [3, 2, -ð1].
Zadanie 6.
Dane sÄ… trzy wierzchoÅ‚ki równolegÅ‚oboku ABCD: A(ð0,0)ð, B(ð3,1)ð. D(ð-ð1,1)ð. Wyznaczyć
współrzędne wierzchołka C oraz punktu przecięcia przekątnych tego równoległoboku.
Zadanie 7.
Boki trójkÄ…ta sÄ… zawarte na prostych o równaniach y =ð 3x -ð 9 , y =ð -ð2x +ð1, y =ð -ðx +ð 3. Znalez
ć
pole tego trójkąta.
Zadanie 8.
Napisać równanie prostej przechodzÄ…cej przez punkty A(ð1, 2)ð, B(ð-ð 3,5)ð.
Zadanie 9.
Znalez
ć punkt symetryczny do punktu A(2,-3) wzglÄ™dem prostej o równaniu y =ð 2x +ð1.
Zadanie 10.
Dla jakich wartoÅ›ci parametru a Îð R trójkÄ…t o wierzchoÅ‚kach A(-ð1, 2), B(1,0), C(a -ð 2, a) jest
prostokÄ…tny?
Zadanie 11.
1
Znalez
ć punkt A leżący na prostej l : y =ð -ð x -ð1, taki aby trójkÄ…t ABC miaÅ‚ pole równe 10 jeÅ›li
2
B(0,3), C(4,0) .
Zadanie 12.
1 10
Niech A(1, 2), B(4,1), C Îðl : y =ð -ð x +ð . Znajdz
punkt C , tak aby trójkąt ABC był
3 3
prostokÄ…tny.
Zadanie 13.
Znalez
ć dÅ‚ugość ciÄ™ciwy okrÄ™gu o równaniu x2 +ð y2 -ð 2x +ð 4y =ð 0 zawartej w prostej
o równaniu y =ð x -ð1.
Zadanie 14.
Znalez
ć równanie stycznej do okrÄ™gu o równaniu x2 +ð y2 -ð 2x +ð 8y -ð8 =ð 0 . PrzechodzÄ…cÄ… przez
punkt A(-ð2,0) .
Zadanie 15*.
Dla jakich wartoÅ›ci parametru p Îð R prosta l : y =ð 2x +ð p jest styczna do hiperboli o równaniu
x2 -ð y2 =ð1.
Zadanie 16.
Narysować krzywe o równaniach:
a) x2 +ð y2 +ð 8x -ð 2y +ð17 =ð 0 ,
b) 9x2 -ð16y2 =ð 144 ,
c) y2 -ð 2x +ð 8y =ð 0 ,
d) x2 +ð 4y2 =ð 4 .
Zadanie 17.
Napisać równanie płaszczyzny
a) przechodzÄ…cej przez punkty A(-ð3,0,1), B(-ð1,2,0), C(-ð1, -ð2, 2) ;
b) przechodzÄ…cej przez punkt P(ð1,2,3)ð oraz u =ð [ð1,-ð1,2]ð i v =ð [ð2,1,-ð1]ð;
x =ð t
ìð
x =ð 2 -ð 2t
ìð
c) zawierajÄ…cej proste: l1 : ïð t i l : ïð 2t .
y =ð1-ð
íð
íðy =ð
2
ïðz =ð 2t
ïðz =ð -ð1-ð 4t
îð îð
Zadanie 18.
Napisać równanie kierunkowe i parametryczne prostej przechodzÄ…cej przez punkty A(-ð3, 2, -ð1) ,
B(0,2,-ð3) .
Zadanie 19.
Napisz punkt symetryczny do A(3, -ð1,0) wzglÄ™dem
a) pÅ‚aszczyzny o równaniu 3x +ð 2z -ð1 =ð 0
x =ð 2 -ð 3t
ìð
ïð
b) prostej o równaniu
l : y =ð t
íð
ïðz =ð1+ð t
îð