WYKA
AD 7
7. ModeIe obiektów 3-D ( ciąg daIszy )
7.1. Krzywa parametryczna zbudowana z segmentów
Równanie parametryczne krzywej:
x(u ) = fx(u )
y(u ) = fy(u ) u0 d" u d" us
z(u ) = fz(u )
fx1(u ) u0 d" u < u1
Å„Å‚
ôÅ‚
...
ôÅ‚
ôÅ‚
fx(u ) = fxk(u ) uk- 1 d" u < uk fy(u ), fz(u ) podobnie
òÅ‚
ôÅ‚
...
ôÅ‚
ôÅ‚
fxs(u ) us- 1 d" u d" us
ół
Przykład:
u 0 d" u < 1 Å„Å‚
Å„Å‚ u2 0 d" u < 1
x(u ) = y(u ) =
òÅ‚ òÅ‚
(u - 2)2 1 d" u d" 2
- (u - 2)3 1 d" u d" 2
ół
ół
z(u ) = 0
funkcja x(u ) = fx(u )
funkcja y(u ) = fy(u )
x(u ) = fx(u ) 0 d" u d" 2
krzywa
y(u ) = fy(u )
Ciągłość między segmentami krzywej:
Krzywa opisana jest równaniem
T
Q(u ) = x(u ) y(u ) z(u ) u0 d" u d" us
[ ]
Pochodna Q(u) jest parametrycznym wektorem
stycznym krzywej
T
Q2 (u ) = x2 (u ) y2 (u ) z2 (u ) u0 d" u d" us
[ ]
Jak zachowuje siÄ™ parametryczny wektor styczny
krzywej w punkcie połączenia segmentów ( dIa
poprzedniego przykładu w punkcie u = 1 ) ?
Ciągłość geometryczna:
1. JeżeIi dwa segmenty krzywej łączą się ze sobą, to
krzywa ma ciągłość geometryczną G0 .
2. JeżeIi kierunki ( Iecz niekoniecznie długości )
wektorów stycznych segmentów w punkcie
połączenia są równe, to krzywa ma ciągłość
geometrycznÄ… G1.
Ciągłość parametryczna:
1. JeżeIi wektory styczne dwóch segmentów w
punkcie połączenia są równe ( kierunki i długości
wektorów są równe ), to krzywa ma w tym punkcie
ciągłość parametryczną C1.
2. JeżeIi kierunki i długości wektorów
dn
Q(u )
[ ]
dun
są do n-tej pochodnej równe, to krzywa ma ciągłość
parametrycznÄ… Cn .
7.2. Krzywe sklejane
7.2.1. Jednorodne krzywe B-sklejane ( B-spline )
Dany jest zbiór n+1 ( n e" 3) punktów kontrolnych Pk
Pk = Pkx Pky Pkz k = 01.,,,.n
,
( )
gdzie Pkx ,Pky,Pkz są współrzędnymi x, y, z punktu
kontrolnego.
Krzywa B-sklejana składa się z n-2 segmentów
wielomianowych trzeciego stopnia
Q3(u ), Q4(u ), ... ,Qi(u ), ... ,Qn(u )
przy czym, każdy segment Qi(u ) zdefiniowany jest w
przedziaIe zmienności parametru ui d" u < ui+1 dla
3 d" i d" n .
Punkty ui połączenia segmentów Qi(u ) i Qi+1(u ) ,
oraz punkty u3 i un nazywa się węzłami.
Krzywa B-skIejana jest jednorodna jeśIi węzły są w
jednakowych odstępach, czyIi u3 = 0 , oraz
ui+1 - ui = 1
Każdy segment krzywej okreśIony jest przez cztery
punkty kontrolne .
Segment Q3(u ), przez punkty P0 ,P1,P2,P3 dla
0 d" u < 1.
Segment Q4(u ), przez punkty P1,P2,P3,P4 dla
1 d" u < 2 .
Segment Qi(u ), przez punkty Pi- 3,Pi- 2,Pi- 1,Pi dla
i - 3 d" u < i - 2 .
Macierz geometrii dla i-tego segmentu krzywej
B-skIejanej można zapisać jako
GBi = Pi- 3 Pi- 2 Pi- 1 Pi
[ ]
JeżeIi zdefiniować wektor
T
Ui = (u - ui )3 (u - ui )2 (u - ui ) 1
[ ]
to i-ty segment krzywej można opisać wzorem
Qi(u ) = GBi Å" MB Å" Ui ui d" u < ui+1
Pokazano ( Bartels i inni 1987 ), że rozwiązaniem
powyższego układu równań jest macierz
îÅ‚ - 1 3 - 3 1
Å‚Å‚
ïÅ‚
3 - 6 3 0śł
1
ïÅ‚ śł
MB =
6 ïÅ‚ - 3 0 3 0śł
ïÅ‚
1 4 1 0śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Zastępując u - ui przez u otrzymujemy wzór wiążący
współrzędne punktów kontroInych i wieIomiany
bazowe
Qi(u - ui ) = GBi Å" MB Å" Ui =
(1 - u )3 3u3 - 6u2 + 4
= Pi- 3 + Pi- 2
6 6
- 3u3 + 3u2 + 3u + 1 u3
+ Pi- 1 + Pi
66
dla 0 d" u < 1
oraz i = 3,4,...,n-2
Przykłady:
1. Cztery punkty kontrolne - jeden segment krzywej
2. Pięć punktów kontroInych - dwa segmenty krzywej
3. Sześć punktów kontroInych - trzy segmenty krzywej
4. Punkt kontrolny podwójny
5. Punkt kontrolny potrójny
6. Zamknięty układ punktów kontroInych
7.2.2. Niejednorodne krzywe B-sklejane ( B-spline )
Dany jest zbiór n+1 punktów kontrolnych Pk
Pk = Pkx Pky Pkz k = 01.,,,.n
,
( )
gdzie Pkx ,Pky,Pkz są współrzędnymi x, y, z punktu
kontrolnego.
Niejednorodna krzywa B-spline zbudowana z
wielomianów stopnia t dana jest wzorem
n
x(u ) = PkxNk ,t(u )
"
k =0
n
y(u ) = PkyNk ,t(u ) 0 d" u d" n - t + 2
"
k =0
n
z(u ) = PkzNk ,t(u )
"
k =0
przy czym wielomiany bazowe Nk ,t(u ) okreśIone są
rekurencyjnie
1 uk d" u < uk +1
Å„Å‚
Nk ,1(u ) =
òÅ‚
0 w przyp.przeciwnym
ół
u - uk uk+t - u
Nk ,t(u ) = Nk (u ) + Nk (u )
uk +t - 1 - uk ,t - 1 uk +t - uk +1 +1,t - 1
Wartości parametru dIa węzłów krzywej generowane
są natomiast według reguły
0 j < t
Å„Å‚
ôÅ‚
u = j - t + 1 t d" j d" n
òÅ‚
j
ôÅ‚
n - t + 2 j > n
ół
gdzie j = 0,1, ...,n+t.
Przykład:
Pięć punktów kontroInych n = 4.
Wielomiany trzeciego stopnia t=3.
Ciąg punktów węzłowych generowany na podstawie
powyższej zaIeżności na postać
{u0,u1,...,u7 } = {0,0,0,1,2,3,3,3}
ObIiczone na podstawie zaIeżności rekurencyjnej
wieIomiany bazowe wygIądają następująco
N0,3(u ) N1,3(u )
N2,3(u ) N3,3(u )
N4,3(u )
Przykłady:
(cienkÄ… IiniÄ… zaznaczono krzywÄ… Beziera )
1. Wielomiany trzeciego stopnia
n = 3, t = 3
2.
n = 3, t = 4
3.
n = 4, t = 3
4.
n = 4, t = 3
5. Jednokrotne punkty kontrolne
6. Punkt kontrolny podwójny
7. Zamknięty układ punktów kontroInych
7.3. Powierzchnie parametryczne
7.3.1. Powierzchnia Beziera
Definicja:
Dana jest siatka zbiór (m+1)x(n+1) punktów
kontrolnych Pjk
Pjk = Pjkx Pjky Pjkz j = 01,...,m k = 01.,,,.n
, ,
( )
gdzie Pjkx ,Pjky ,Pjkz są współrzędnymi x, y, z punktu
kontrolnego.
Powierzchnia Beziera opisana jest układem
równań parametrycznych
m n
x(u,v ) = PjkxNj,s(u )Nk ,t(v )
" "
j=0 k =0
m n
y(u,v ) = PjkyNj,s(u )Nk ,t(v )
" "
j=0 k =0
m n
z(u,v ) = PjkzNj,s(u )Bk ,t(v )
" "
j=0 k =0
0 d" u d" m - s + 2 0 d" v d" n - t + 2
Przykład:
Dana jest siatka 5x5 = 25 punktów kontrolnych w
postaci tablicy
0 0 1 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
0 1 2 1 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 1 6 1 0śł
ïÅ‚
0 1 2 1 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 1 1 1 1ûÅ‚
ðÅ‚
Pozycja eIementu tabIicy okreśIa współrzędne x i z,
natomiast wartość eIementu współrzędną y punktu
kontrolnego.
Na rysunku pokazano reprezentacjÄ™ szkieIetowÄ…
siatki.
Powierzchnia Beziera rozpięta na siatce wygIąda tak.
7.3.2. Niejednorodna powierzchnia B-spline
Definicja:
Dana jest siatka zbiór (m+1)x(n+1) punktów
kontrolnych Pjk
Pjk = Pjkx Pjky Pjkz j = 01,...,m k = 01.,,,.n
, ,
( )
gdzie Pjkx ,Pjky ,Pjkz są współrzędnymi x, y, z punktu
kontrolnego.
Niejednorodna powierzchnia B-spline opisana
jest układem równań parametrycznych
m n
x(u,v ) = PjkxNj,s(u )Nk ,t(v )
" "
j=0 k =0
m n
y(u,v ) = PjkyNj,s(u )Nk ,t(v )
" "
j=0 k =0
m n
z(u,v ) = PjkzNj,s(u )Bk ,t(v )
" "
j=0 k =0
0 d" u d" m - s + 2 0 d" v d" n - t + 2
t, s - stopnie wielomianów
Rysunek pokazuje wygIąd powierzchni rozpiętej na
siatce z poprzedniego przykładu.