183
Rozdział 8:
Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych
8.1. Orientacja pomiarów geodezyjnych
W rozdziale 1 przedstawiliśmy krótką charakterystykę układów współrzędnych
stosowanych w geodezji, w tym wykorzystywane najczęściej płaskie układy prawoskrętne:
prostokątny i biegunowy. Orientację boku osnowy lub kierunku względem osi układu
określa się za pomocą azymutu lub kąta kierunkowego, które tym różnią się od siebie, że
stałym ramieniem azymutu jest kierunek północy, zaś w przypadku kąta kierunkowego
ramieniem tym jest dodatni kierunek osi x układu, która nie musi być zorientowana według
północy. W rachunku współrzędnych wielkościami wyjściowymi lub szukanymi mogą być
zarówno elementy liniowe, do których zalicza się: współrzędne punktów X, Y, przyrosty
współrzędnych odcinków Dx, Dy, długości zredukowane (poziome) d, jak i elementy
kątowe: azymuty, kąty kierunkowe, kąty wierzchołkowe w sieciach osnów poziomych
i figurach geometrycznych .
Azymutem A boku AB nazywamy kąt
AB
poziomy, zawarty w przedziale od 0 do 360,
pomiędzy kierunkiem północy wychodzącym
z punktu A a danym bokiem AB, liczony od
kierunku północy w prawo, czyli zgodnie
z ruchem wskazówek zegara (rys. 8.1).
Jeśli punktem początkowym boku, dla
AAB
którego określamy azymut jest punkt B, wtedy po
B
wyprowadzeniu z niego kierunku północy
AAB
180 i zakreśleniu kąta w prawo pomiędzy północą
ABA
a bokiem BA otrzymamy azymut boku
A
odwrotnego, oznaczony symbolem: A . Zgodnie
BA
Rys. 8.1. Azymuty: boku wyjściowego
z rys. 8.1 azymut ten różni się od azymutu boku
AAB i boku odwrotnego ABA
AB o wartość kąta półpełnego:
A = A ą 180 (8.1)
BA AB
W powyższym wzorze znak plus odnosi się do azymutów wyjściowych
mniejszych od 180 (lub 200g), zaś znak minus dotyczy azymutów wyjściowych
przekraczających 180.
Kierunek północy występujący w definicji azymutu może być określany w różny
sposób, w związku z czym wyróżnia się kierunki północy: geograficznej, topograficznej
i magnetycznej (rys. 8.2).
Kierunek północy geograficznej (astronomicznej) wychodzący z danego punktu
ziemskiego jest kierunkiem północnej części południka geograficznego, łączącego ten
punkt z geograficznym biegunem północnym Ziemi. Wyznaczenie kierunku północy
geograficznej i azymutu przedmiotu ziemskiego stanowią jedno z ważniejszych zadań
astronomii geodezyjnej. Dość dokładnie kierunek ten wskazuje Gwiazda Polarna
(a -Ursae Minoris) w gwiazdozbiorze Małej Niedzwiedzicy. Kierunek północy
184
magnetycznej jest wskazywany przez igłę magnetyczną busoli, umieszczonej w punkcie
początkowym A.
Bieguny magnetyczne Ziemi odznaczają się
zmiennością położenia i z reguły nie pokrywają się
Ć"
z biegunami geograficznymi, toteż kierunki
południków: geograficznego i magnetycznego są od
siebie odchylone o zmieniający się w czasie
i przestrzeni kąt d zwany deklinacją magnetyczną.
Azymut geograficzny A obliczymy na podstawie
g
g
azymutu magnetycznego A i deklinacji po dodaniu
m
d
tych kątów do siebie.
Kierunek północy topograficznej
Ag
(kartograficznej) jest ściśle związany z przyjętym
AmAt
odwzorowaniem kartograficznym oraz z zależnym od A
niego układem współrzędnych prostokątnych. Dodatni
B
kierunek osi x układu pokrywa się przeważnie
Rys. 8.2. Azymuty: geograficzny,
z kierunkiem północy geograficznej (południka
topograficzny, magnetyczny
geograficznego), lecz dla punktów znajdujących się
poza osią x, kierunek północy topograficznej stanowi prostą równoległą do półosi +x,
natomiast południki wyznaczające północ geograficzną w różnych punktach terenowych nie
są równoległe, lecz zbiegają się w punkcie N biegunie północnym Ziemi, toteż odchylenie
kierunku północy topograficznej danego punktu A od północy geograficznej tego punktu
jest równe kątowi g, zwanemu zbieżnością południków (rys. 8.2). Dodając kąt g do azymutu
topograficznego A , otrzymamy azymut geograficzny.
t
Dla ułatwienia obliczania azymutu, przyjmującego wartości w przedziale od 0 do
360, wygodne jest posługiwanie się kątem ostrym j noszącym nazwę czwartaka, który
jako kąt nie przekraczający 90 występuje tylko w pierwszej ćwiartce kąta pełnego (stąd
nazwa czwartak). Wszystkie funkcje trygonometryczne czwartaka są więc dodatnie, zaś
wyznaczenie wartości kąta na podstawie wartości tych funkcji ma charakter jednoznaczny.
Czwartak j jest definiowany jako kąt ostry zawarty pomiędzy linią osi x, czyli jej
AB
dodatnim lub ujemnym kierunkiem, a danym bokiem AB. W ćwiartkach: I i IV ramieniem
wyjściowym czwartaków jest prosta skierowana na północ, natomiast w ćwiartkach: II i III
ramię to stanowi prosta skierowana na południe.
Na podstawie rysunku 8.3 można określić zestawione w tabeli 8.1 zależności
pomiędzy azymutem a czwartakiem w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych
prostokątnych. Zależności te pozwalają na ustalenie orientacji dowolnego kierunku, czyli
obliczenie jego azymutu na podstawie wartości czwartaka Ć i znajomości numeru lub
oznaczenia ćwiartki (NE, SE, SW, NW).
185
Tabela 8.1. Azymut A i czwartak Ć
Związek między
Nr i oznaczenie
Zakres azymutu azymutem
ćwiartki
a czwartakiem
I (NE) 0 - 90 A = j
II (SE) 90 - 180 A = 180 j
III (SW) 180 - 270 A = 180 + j
IV (NW) 270 - 360 A = 360 j
N N N N
+x +x +x +x
A
D
A
j
j
A
W E W E W E W E
O
O +y +y +y O +y
Oj
j
A
C
A
B
S S S S
I ćw. II ćw. A=180- III ćw. A=180 IV ćw. A=360-
A=j j +j j
Rys. 8.3. Zależności pomiędzy azymutem A i czwartakiem j w
poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych
W geodezji niższej na ogół nie uwzględnia się krzywizny Ziemi, a więc wyniki
pomiarów wykonywanych na małych obszarach, odnoszone są do płaszczyzny. Z tego
względu linie południków traktowane są jako proste równoległe do osi x, zaś równoleżniki
jako proste prostopadłe do południków. Linie te naniesione w stałych odstępach
wynoszących 10 cm, tworzą na arkuszach mapy siatkę kwadratów, zorientowaną względem
stron świata. Opis współrzędnych X, Y linii siatki umożliwia graficzne określenie położenia
dowolnego punktu na mapie względem układu współrzędnych prostokątnych.
8.2. Podstawowe związki w układzie współrzędnych prostokątnych
Dla uproszczenia dalszych rozważań
załóżmy, że rozpatrywany bok AB znajduje
+x
się w I ćwiartce układu współrzędnych
B
XB K DyAB
prostokątnych, płaskich, zaś jego azymut A
AB
jest kątem ostrym (rys. 8.4). Po zrzutowaniu
punktów A,B na osie układu możemy
AAB
odczytać ich współrzędne: X , Y , X , Y ,
A A B B
dAB
natomiast rzuty prostokątne boku AB na obie
osie stanowią graficzną ilustrację tzw.
XA
przyrostów współrzędnych: Dx , Dy ,
AB AB
A
będących różnicami pomiędzy
DyAB współrzędnymi punktów: A, B, a więc:
O
O YA YB +y "xAB = X - X
B A
Rys. 8.4. Związki pomiędzy azymutem,
"yAB = YB - YA
długością i przyrostami boku AB
(8.2)
AB
D
x
186
Na podstawie wzorów (8.2) można ustalić ogólną zasadę obliczania przyrostów
Dx, Dy danego boku. Jest nią odejmowanie od odpowiednich współrzędnych punktu
końcowego boku, współrzędnych jego punktu początkowego. W zapisie symbolu przyrostu
D zawarty jest zwrot boku, lecz podczas odejmowania współrzędnych w celu obliczenia
...AB
przyrostu kolejność wprowadzania współrzędnych jako odjemnej i odjemnika jest
odwrotna: tzn. przyrost równa się: współrzędna punktu B minus współrzędna punktu A.
Z wzorów (8.2) i zależności geometrycznych w trójkącie ABK (rys. 8.4) można
określić następujące podstawowe wzory rachunku współrzędnych:
X = X + "xAB
B A
(8.3)
YB = YA + "yAB
DyAB
(8.4)
tg AAB =
DxAB
(8.5)
d = Dx2 + Dy2
AB AB AB
"x
AB
cos AAB =
"xAB = d cos AAB
AB
d
AB
(8.6) oraz (8.6a)
"yAB
"yAB = dAB sin AAB
sin AAB =
dAB
8.3. Obliczenie azymutu i długości boku ze współrzędnych
Zadanie obliczenia azymutu i długości boku AB na podstawie danych
współrzędnych jego punktów końcowych występuje w obliczeniach geodezyjnych bardzo
często i opiera się na podanych wyżej wzorach: (8.4) i (8.5). Korzystając z wzoru (8.4)
otrzymujemy jednak tangens azymutu, a więc na podstawie wartości tej funkcji nie
możemy określić jednoznacznie wartości kąta A . Z tego powodu podczas obliczania
AB
wartości liczbowej azymutu korzystamy ze związku pomiędzy azymutem boku a jego
czwartakiem j wyrażonym poprzez jeden z wzorów zawartych w tabeli 8.1. Wybór
odpowiedniego przeliczenia wymaga znajomości przedziału kątowego (ćwiartki), w którym
występuje poszukiwany azymut. Ćwiartkę tę ustalamy na podstawie znaków przyrostów
Dx, Dy, które zgodnie z wzorami (8.6) są takie same jak znaki funkcji trygonometrycznych
azymutu: sin A, cos A. Określonej ćwiartce azymutu odpowiada więc tylko jedna
kombinacja pary znaków (tabela 8.2).
Tabela 8.2. Znaki przyrostów w zależności od ćwiartki azymutu
Numer Znaki przyrostów Zależność między
ćwiartki azymutem A
Dx Dy
azymutu
(cos A) (sin A) i czwartakiem j
I + + A = j
II + A = 200 g j
III A = 200 g +j
IV + A = 400 g j
O
187
Przebieg obliczenia azymutu A i długości d boku AB na podstawie
AB AB
współrzędnych punktów A, B: X , Y ; X , Y obejmuje następujące etapy:
A A B B
1. Obliczenie przyrostów Dx , Dy zgodnie z wzorami (8.2).
AB AB
2. Obliczenie tangensa czwartaka j z zależności:
Dy
AB
(8.7)
tg j =
AB
Dx
AB
3. Obliczenie wartości czwartaka j na podstawie jego funkcji tangens.
4. Ustalenie numeru ćwiartki według znaków przyrostów (tabela 8.2).
5. Obliczenie azymutu A z zależności między azymutem a czwartakiem j,
wybranej zgodnie z ustalonym numerem ćwiartki azymutu (tabela 8.2).
6. Obliczenie długości boku d w oparciu o wzór (8.5).
AB
7. Wykonanie obliczeń kontrolnych azymutu i długości.
Obliczenia kontrolne azymutu i długości polegają na ich ponownym obliczeniu
w oparciu o wzory kontrolne. Kontrola obliczenia azymutu opiera się na uzyskaniu
azymutu A powiększonego o kąt 45 (50g).
Na podstawie wzoru na tangens sumy kątów i wzoru (8.4) możemy napisać:
"y
+ 1
tg A + tg 45
"x
tg A + 45 = =
( ) ,
"y
1- tg A tg 45
1 -
"x
stąd:
Dx + DyAB
AB
(8.8)
tg AAB + 45 =
( )
Dx - DyAB
AB
Kontrola obliczenia azymutu w oparciu o wzór (8.8) polega na podzieleniu sumy
przyrostów przez różnicę przyrostów, a następnie po odrzuceniu znaku otrzymanego
ilorazu, uzyskamy wartość tg y, gdzie y jest czwartakiem kąta (A+45) tj. azymutu
powiększonego o 45.
DxAB + DyAB
tg y =
DxAB - Dy
AB
Jego obliczenie odbywa się na tej samej zasadzie co obliczenie azymutu A, tzn.
znaki sumy: Dx+Dy oraz różnicy: Dx Dy, traktujemy tak samo jak podczas obliczenia
wynikowego znaki przyrostów potrzebne do określania ćwiartki azymutu. Należy
zauważyć, że ćwiartka kąta (A+45) albo pozostaje bez zmian w stosunku do ćwiartki
azymutu A albo zmienia się na następną.
Po kontrolnym obliczeniu kąta (A+45), sprawdzamy, czy otrzymaliśmy tą samą
wartość, co po bezpośrednim dodaniu kąta 45do wartości azymutu z obliczenia
wyjściowego. Dokładna zgodność obydwu wyników świadczy o poprawności rachunku.
W ramach kontroli obliczenia długości d można określić długość boku AB na
AB
podstawie przekształconych wzorów (8.6), czyli:
DxAB DyAB
(8.9)
d = =
AB
cos AAB sin AAB
188
Odpowiednikami wzorów (8.9) są podobne wzory z udziałem czwartaka j zamiast
azymutu A:
"xAB "yAB
(8.10)
d = =
AB
cosj sinj
Uwaga: Wykorzystanie wzorów (8.4) i (8.7) podczas programowania
komputerowego stwarza niebezpieczeństwo zatrzymania programu, gdy Dx=0 (błąd
dzielenia przez zero). Z tego względu należy wtedy korzystać z wzorów: (8.5) i (8.6a),
obliczając ze współrzędnych długość boku, a następnie azymut na podstawie funkcji sin A
lub cos A.
W tabeli 8.3 zostały zamieszczone dwa przykłady na obliczenie ze współrzędnych
azymutów (w stopniach i gradach) oraz długości boków.
Tabela 8.3. Obliczenie azymutu i długości ze współrzędnych
Kontrola
Oznaczeni
Dy
X Y tg j = cos j
B B
a
Dx+Dy y
Dx
punktów:
Czwartak
końcowy-B
X Y
L.p A A sin j Dx Dy A+45 (50g)
początkowy-A j
.
Oznaczeni
Odległość
Dx + Dy Dx Dy
e
Dx = Dy = Azymut
AB AB
tgy = d = =
boku:
X Y A
B X AB d = Dx2 + Dy2 cosj sin j
A B Y
A
Dx - Dy
AB
1 2 3 4 5 6 7 8
2 0,364 483
B 4 541,15 0,939 537 4 -980,29 27g74c89,1cc
708,63 9
4 22g25c10,
1 A 3 978,93
251,14 9cc 0,342 446 2 -2 104,73 227g74c89cc
-1 177g74c89
A - B +562,22 1 641,776 0,465 7557 1 641,776
cc
542,51
3 12 0,804 230
D 0,779 258 4 +144,21 611ó33,8
978,93 561,78 1
+562,2 13 3848ó26,
C 0,626 702 8 +1 329,05 611ó33,8
2
2 154,20
2
+736,6 32111ó33
C - D -592,42 945,296 0,108 506 1 945,296
3
,8
Korzystanie ze wzoru (8.8) do kontroli obliczenia azymutu, opiera się na
wcześniej wyliczonych przyrostach, a więc nie daje możliwości wykrycia błędu ich
obliczenia. Z tego powodu można zalecić wykonywanie obliczeń kontrolnych azymutu
według podanego niżej wzoru (8.11), stanowiącego łatwą do wyprowadzenia modyfikację
wzoru (8.8):
X + YB - X + YA
( ) ( )
B A
(8.11)
tg AAB + 45 =
( )
X - YB - X - YA
( ) ( )
B A
Ze wzoru (8.11) wynika, że różnicę sum współrzędnych tych samych punktów
należy podzielić przez różnicę różnic tych współrzędnych.
Dość często w prostych zadaniach zawierających obliczanie azymutów ze
współrzędnych występują okrągłe wartości kątów np.: 0, 90, 180, 270. jako azymutów
boków równoległych do osi układu współrzędnych. Wskazują na to wartości przyrostów, z
189
których jeden jest równy zero. Rysunek 8.5
przedstawia kwadrat, którego pary boków są
+x
1
2
równoległe do osi x lub y układu. Boki 1-2
X1=X2
oraz 3-4 są równoległe do osi y, toteż ich
przyrosty: Dx i Dx są równe zero.
1-2 3-4
Podczas obliczania funkcji tg A dzielnik jest
zerowy, przez co iloraz stanowi symbol
nieokreślony. Mimo, że wartość funkcji tg A
nie daje się wyznaczyć, to kąt A ma ustaloną
X3=X4 4
wartość, zależną od znaku drugiego
3
przyrostu Dy.
O
Y2=Y3 +y
Dla Dy>0, A=90, zaś gdy Dy<0,
Y1=Y4
A=270. Dla kwadratu przedstawionego na
Rys. 8.5. Azymuty boków i przekątnych
rys. 8.5 azymuty boków równoległych do osi
y wynoszą: A = 90, A = 270. Boki
1-2 3-4
równoległe do osi x (na rys. 8.5 są to boki: 2-3, 4-1) posiadają przyrosty Dy = 0, a więc
tangensy azymutów tych boków są też zerowe, natomiast same azymuty mogą przyjmować
wartości: 0 (A ) i 180 (A ). Azymut boku jest równy zero, gdy Dy=0, zaś Dx>0,
4-1 2-3
natomiast wynosi 180, kiedy Dy=0, zaś przyrost Dx jest ujemny.
Dla boku 1-3, przekątnej kwadratu bezwzględne wartości przyrostów są równe,
lecz Dx ma znak minus, zaś Dy znak plus, a więc azymut, zgodnie z tabelą 8.2 znajduje się
w II ćwiartce. Otrzymamy zatem:
tg j =1; j = 45; A = 180 45 = 135.
1-3
Z kolei dla przekątnej 2-4, wartości obu przyrostów są równe, lecz ujemne, a więc
azymut, zgodnie z tabelą 8.2 znajduje się w III ćwiartce. Otrzymamy zatem:
tg j =1; j = 45; A = 180 + 45 = 225.
2-4
8.4. Obliczenie współrzędnych punktów posiłkowych
8.4.1. Obliczenie współrzędnych punktu na prostej
Zadanie obliczenia współrzędnych punktu pośredniego (posiłkowego) P,
położonego na prostej AB, polega na wyznaczeniu jego współrzędnych X ,Y na podstawie
P P
znanych współrzędnych punktów skrajnych odcinka AB: X ,Y ; X ,Y i
A A B B
pomierzonej odległości punktu P od jednego z tych punktów (l lub l ). Z
AP BP
+x
zadaniem tym mamy do czynienia bardzo często podczas
B
zagęszczania poziomej osnowy pomiarowej, szczególnie
XB K
zaś wtedy, gdy do zdjęcia szczegółów sytuacyjnych
XP K2 DyAP P
wykorzystuje się metodę ortogonalną. Z punktów
AAB
lAP
posiłkowych na bokach osnowy mogą następnie wychodzić
XA
boki linii pomiarowych i ciągów sytuacyjnych niższych
A DyAP
Zagadnienie to zostanie przedstawione szerzej
DyAB rzędów. omawiania osnowy pomiarów sytuacyjnych (ust.
podczas
11.2).
O YA YP YB +y
Rys. 8.6. Współrzędne punktu na prostej
AB
D
x
AP
D
x
190
Z rys. 8.6 i wzorów (8.3) wynikają zależności:
X = X + Dx ; Y = Y + Dy .
P A AP P A AP
Przyrosty: Dx , Dy , zgodnie z wzorami (8.6), wynoszą:
AP AP
Dx = l cos A ; Dy = l sin A
AP AP AP AP AP AP
Azymuty boków AP i AB są jednakowe, ponieważ oba odcinki znajdują się na tej samej
prostej i mają ten sam zwrot, toteż można zapisać:
DxAB
cos AAB = cos AAP = cos A =
dAB
oraz
DyAB
sin AAB = sin AAP = sin A =
d
AB
Funkcje trygonometryczne azymutu boku AB: sin A, cos A obliczone wg wzorów
(8.6 a) noszą nazwę współczynników kierunkowych boku AB.
Ostateczne wzory na obliczenie współrzędnych punktu posiłkowego P na prostej
AB przyjmą postać:
X = X + l cos A
P A AP
(8.12
)
Y = Y + l sin A
P A AP
Odległość l , stanowi tzw. miarę bieżącą punktu P. Po jej zmierzeniu należy
AP
kontynuować wyznaczanie innych miar bieżących do dalszych punktów posiłkowych
i zakończyć pomiar odległości na punkcie B, w wyniku czego otrzymujemy miarę
końcową, czyli długość boku AB - d pomierzoną . Miara ta powinna być zgodna z
AB
długością d obliczoną , uzyskaną ze współrzędnych wzorem (8.5). Zgodnie z instrukcją
AB
techniczną G-4* różnica pomiędzy długością pomierzoną i obliczoną, czyli odchyłka f , nie
d
może przekraczać odchyłki dopuszczalnej obliczonej ze wzoru:
(8.13)
fd = u2 d + c2
max
gdzie: u współczynnik błędów przypadkowych pomiarów liniowych
(według instrukcji G-4: u = 0,0059),
d długość mierzonego boku wyrażona w metrach,
c wpływ błędów położenia punktów nawiązania (wg instr. G-4:
c = 0,10 m).
Jeśli otrzymana odchyłka f mieści się w odchyłce dopuszczalnej, wtedy
d
poprawiamy wszystkie miary bieżące znajdujące się na danym boku o poprawkę v
obliczoną przy założeniu, że błąd określenia miary bieżącej wzrasta wprost
proporcjonalnie do jej długości. Poprawka v i-tej miary bieżącej l wyniesie więc:
i i
fd
(8.14)
vi = - li
dAB
*
Instrukcja techniczna o symbolu G-4 nosi tytuł Pomiary sytuacyjne i wysokościowe .
191
Pomierzona długość końcowa, będąca miarą bieżącą punktu B, otrzyma zatem
poprawkę równą całej odchyłce f ze znakiem minus, przez co zostanie doprowadzona do
d
długości d obliczonej ze współrzędnych.
AB
Kontrolę obliczenia współrzędnych punktu P może stanowić rachunek oparty na
założeniu, że punktem wyjściowym do obliczenia współrzędnych punktu pośredniego P
jest teraz punkt B. Do obliczenia wykorzystamy zmodyfikowane wzory (8.12) w postaci:
X = X + l cos A
P B BP BA
Y = Y + l sin A
P B BP BA
We wzorach tych występuje azymut boku odwrotnego A , którego funkcje: cos,
BA
sin różnią się od tych samych funkcji azymutu wyjściowego A tylko przeciwnymi
AB
znakami, wynikającymi ze zmiany znaków przyrostów Dx , Dy w stosunku do
BA BA
przyrostów boku wyjściowego AB. Potrzebną do obliczeń długość l otrzymamy jako
BP
różnicę:
l = d
BP AB l
AP
Dla większej ilości punktów posiłkowych położonych na danym boku AB
stosowanie powyższej metody kontroli rachunku może okazać się zbyt pracochłonne, toteż
wygodniej jest korzystać ze sposobu sprawdzania obliczeń przedstawionego w tabeli 8.6.
Obliczenia związane z wyznaczeniem współrzędnych punktu pośredniego na
prostej zostały przedstawione na przykładzie zamieszczonym w tabeli 8.4.
Tabela 8.4. Obliczenie współrzędnych punktu na prostej
Przyrosty punktów na
Oznaczenia
Współrzędne
prostej i domiarach
Rzędne h Bok osnowy
punktów
punktów
prostokątnych
Odcięte Współczynniki
Dx
AB
kierunkowe: Oznaczeni
l
Dy
AB cos A=
szukanych
a
Miara
w w
danych
dAB obliczone Dx
AB Dx = l cos A Dy = l sin A
końcowa punktów
prawo lewo
X Y
Odchyłki:
h sin A + h cos A
d
AB
d AB
AB pomierzone
+ f ,
d
DyAB
f sin A=
d max
d
AB
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-40,95 -0,294 223 3 1 1
p-45 0,00 - - p-45
+133,02 +0,955 749 8
542,15 891,90
1 1
Ps28 139,18 - 15,97 + 51,87 Ps28
+1
526,18 943,77
+3
54,2 -0,03
1 2
p-46
p-46 - -
139,15 ą0,12
501,20 024,92
8.4.2. Obliczenie współrzędnych punktu na domiarze prostokątnym
Podczas zagęszczania poziomej osnowy pomiarowej można wykorzystać sposób
utworzenia dodatkowego punktu posiłkowego P (rys. 8.7), znajdującego się na
prostopadłej (domiarze prostokątnym), wytyczonej węgielnicą z punktu pośredniego Pó na
linii pomiarowej AB utworzonej przez punkty A, B o znanych współrzędnych:
X , Y ; X , Y . Do określenia współrzędnych punktu P należy wyznaczyć domiary
A A B B
prostokątne tego punktu tj.: odciętą l równą długości odcinka APó i rzędną h, której
192
wartość bezwzględna* jest równa długości odcinka PóP. Punkt posiłkowy znajdujący się na
domiarze prostokątnym może zastąpić często stosowaną w praktyce konstrukcję ciągu
wiszącego z pojedynczym bokiem,
nazywanego popularnie bagnetem .
+x
W przeciwieństwie do wyznaczenia punktu
B
XB
na domiarze prostokątnym, do czego
wystarcza węgielnica, założenie takiego
DyAPó
Pó
bagnetu wymaga użycia teodolitu,
XP
h(+) którym musimy zmierzyć kąt nawiązania
l
AAB
ciągu wiszącego.
XP AAB K DyPóP P
Z trójkąta prostokątnego KPóP
XA A (rys. 8.8) wynikają następujące zależności:
KPó = Dx = h sin A ; KP = + Dy
PóP PóP
= h cos A
O YA YPó YP YB +y
Współrzędne punktu P wynoszą:
Rys. 8.7. Punkt na domiarze prostokątnym
X = X + Dx + Dx
P A APó PóP
Y = Y + Dy + Dy
P A APó PóP
a ostatecznie:
X = X + l cos A h sin A
P A
(8.15)
Y = Y + l sin A + h cos A
P A
Dwa pierwsze składniki wzorów (8.15) zwierają podane wcześniej obliczenie
współrzędnych punktu Pó na prostej. Kolejny człon wzorów stanowi wyznaczenie wzdłuż
odcinka P2 P przyrostów współrzędnych: Dx , Dy .
P P P2 P
Podstawiając do wzorów wartość rzędnej h, należy uwzględnić jej znak. Rzędna
w prawo otrzymuje znak plus, natomiast rzędna w lewo znak minus.
Z rys 8.7 widać, że w stosunku do położenia punktu P2 domiar prostokątny
skierowany w prawo od linii AB powoduje zmniejszenie współrzędnej X, zaś zwiększenie
współrzędnej Y. Wynika to również stąd, że linia pomiarowa AB jest osią odciętych
prawoskrętnego układu prostokątnego z początkiem w punkcie wyjściowym A, natomiast
dodatni kierunek osi rzędnych tego układu skierowany jest w prawo. Domiary prostokątne:
l odcięta punktu P oraz rzędna h są współrzędnymi prostokątnymi punktu P w tym
układzie (rys. 8.8).
54A 22,4
7
X=1111,
X=1205,
95
93
Y=2607,
Y=2359,
54 55
+l
+
Rys. 8.8 Szkic do zadania z obliczania współrzędnych punktów na domiarze prostokątnym
*
W zależności od położenia względem boku AB rzędna h jest także opatrzona znakiem + lub -.
16,3
9
121,1
0,00
265,3
4
2
P
ó
P
D
x
193
Podobnie jak podczas obliczania współrzędnych punktu na prostej kontrolę
rachunku może stanowić powtórne obliczenie współrzędnych punktu P po zmianie
kierunku obliczenia na odwrotny.
Tabela 8.5. Obliczenie współrzędnych punktu na domiarze prostokątnym
Oznaczenia Przyrosty Współrzędne
Rzędne h Bok osnowy
punktów odcinków punktów
Odcięt
Ozn
Współczynniki
Dx
AB
e l
danyc kierunkowe:
acze
Miara
Dy
AB cos A=
h
w w nia
końcowa
szukan d Dx
AB Dx = l cos Dy = l sin A
AB
prawo lewo punk
obliczone X Y
A -h sin A + h cos A
ych d
AB
Odchyłki:
d
AB + tow
pomierzone
AB f , Dy
d AB
sin A=
d
f
d max AB
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-93,9 -0,354 160
8 4 -42,91 +113,31
54 0,00 1205,93 2359,20 54
+248, +0,935 +15,33 +5,80
16 182 4
+2
265,
54A -16,39 1178,35 2478,31 54A
121,1
36
4
+
-0,04
4
55 1111,95 2607,36 55
ą0,14
265,32
+93, +0,354
KONTROLA
98 160 4 +51,07 -134,85
55 0,00 1111,95 2607,36 55
-248,1 -0,935 182 +15,33 +5,80
6 4
1178,35
54A 144,20+16,3 265, 2478,31 54A
9 36
54 265,36 1205,93 2359,20 54
Obliczenia wynikowe i kontrolne zostały wykonane w tabeli 8.5 na przykładzie,
którego dane wyjściowe zapisano na szkicu (rys. 8.9).
Przy dużej ilości punktów posiłkowych, związanych poprzez domiary z danym
bokiem osnowy, podany wyżej sposób obliczania ich współrzędnych i kontroli rachunku
jest zanadto pracochłonny. Podobnie jak ma to miejsce podczas obliczania ciągu
poligonowego, występujące we wzorach: (8.12) i (8.15) przyrosty liczone względem
punktu wyjściowego A, można w obu rodzajach zadań zastąpić przyrostami obliczanymi
między sąsiednimi punktami. Ich obliczenie dotyczy zarówno domiarów prostokątnych l, h
, jak i współrzędnych X, Y i wykonywane jest na zasadzie: współrzędna punktu następnego
N minus współrzędna punktu poprzedniego P. Wzory (8.15) przyjmą wtedy postać:
Dx = Dl cos A Dh sin A
P-N P-N P-N
(8.16)
Dy = Dl sin A + Dh cos A
P-N P-N P-N
Na rys. 8.9 i w tabeli 8.6 przedstawiono dane i przykład obliczenia współrzędnych
punktów posiłkowych w oparciu o wzory (8.16).
194
Tabela 8.6. Obliczenie współrzędnych punktów posiłkowych
O Domiary Przyrosty Współrzędne
Przyrosty domiarów Bok osnowy
z prostokątne współrzędnych punktów
n
Dx
AB
a
Dy
AB
c
d
AB obl.
Oz
z
fd , fd max
na
e
cz
n
en
i Współczynnik
ia
i kierunkowe
a
Odcięta
pu
X Y
cos A
l
nk
sin A
p
to
u
w
n
Dy=
k Dx=
Dlsin A
odciętej rzędnej
Rzędna
t Dlcos A
+Dhcos
h Dl Dh Dhsin A A
o
w ą ą ą ą ą
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5
0,0 4950,1 7251,
4 0,00 541
0 2 84
1
-
1
0,0 4952,7 7217,
1 1
34,7
0 7 20
5
-2
15, 4938,1 7202,
2 2
47,9
68 4 87
3
-
2
22, 4931,3 7202,
3 3
47,9
47 7 35
3
-
3
23, 4979,9 7175,
4 + 4
78,1
94 6 80
2
-4
12, 4972,0 7128,
5 + 5
124,
40 0 62
56
0,0
5
-6
4964,4 7064,
0
4 187, 0,0 14,3 186, 542
187,
+
SUM 4 95
2 44 0 2 89
50
Y:
22,47
3
2
15,6
542
541
1
5
4
Rys. 8.9. Szkic do zadania z obliczania współrzędnych grupy punktów
posiłkowych
124,5
78,1
6
2
0,00
47,9
34,7
187,5
12,4
3
5
0
23,9
0
4
195
Nietrudno udowodnić, że tak obliczane przyrosty domiarów prostokątnych l, h
i współrzędnych X, Y muszą spełniać niżej zestawione warunki, które można wykorzystać
do kontroli obliczeń*: [Dl] = d ; [Dh] = 0 ; [Dx] = Dx ; [Dy] = Dy .
AB AB AB
Warto zwrócić uwagę, że zadanie obliczania współrzędnych punktów na
domiarach prostokątnych jest tożsame z najprostszym przypadkiem transformacji
współrzędnych przy dwóch punktach dostosowania, czyli przeliczania współrzędnych z
jednego układu, zwanego układem pierwotnym, na inny układ, zwany wtórnym. Rolę
układu pierwotnego pełni układ współrzędnych l, h linii pomiarowej, natomiast układem
wtórnym jest układ OXY. Punkty A, B spełniają rolę punktów dostosowania, których
współrzędne są znane w obydwu układach, zaś azymut A jest odpowiednikiem kąta
AB
skręcenia układu pierwotnego w stosunku do układu wtórnego. Współrzędne punktu A: X ,
A
Y są współrzędnymi początku układu pierwotnego w układzie wtórnym.
A
8.5. Obliczenie współrzędnych punktu zdjętego metodą biegunową
Wyznaczenie metodą biegunową położenia sytuacyjnego punktu P względem boku
AB osnowy pomiarowej polega na wyznaczeniu domiarów biegunowych: kąta poziomego
BAP = a i odległości poziomej AP = d . Kąt a jest liczony w prawo od boku osnowy AB
AP
do linii celowania AP (rys. 8.10).
N
A
AB
a
B
A
P
Rys. 8.10. Domiary biegunowe: a,d określające położenie punktu P
Etapami rozwiązania tego zadania są:
1) obliczenie azymutu boku AB ze współrzędnych,
2) określenie azymutu boku AP: A = A + a lub A = A +a 200g
AP AB AP BA
3) obliczenie przyrostów boku AP: Dx = d cos A ; Dy = d sin A
AP AP AP AP AP AP
4) obliczenie współrzędnych punktu P: X = X + Dx ; Y = Y + Dy
P A AP P A AP
Przykład:
Obliczyć współrzędne punktu P dla następujących danych:
X = Y = 1000,00 m; X = 501,11 m, Y = 645,12 m ; a = 302g54c69cc ; d = 135,78 m.
A A B B AP
Rozwiązanie:
tg A =(-354,88) : (-498,89) = + 0,7113392 ; j = A = 39g36c19cc ; A = 239g36c19cc.
AB AB BA AB
Dalsze etapy obliczenia (od 2 do 4) zamieszczono w tabeli 8.7.
*
Nawias kwadratowy [ ] otaczający symbol oznacza w geodezji znak sumy i jest odpowiednikiem znaku S.
196
Tabela 8.7. Obliczenie współrzędnych punktu zdjętego metodą biegunową
Kąt Azymut Przyrosty Współrzędne
Długość
Pu Pun
poziomy
nkt kt
boku d
Dx Dy X Y
g c cc g c cc
B 501,11 645,12 B
A 302 54 69 1 000,00 1 000,00 A
P 916,93 1107,41 P
8.6. Obliczenie kąta ze współrzędnych
Zadanie obliczenia wartości kąta b na podstawie współrzędnych trzech punktów:
C wierzchołka kąta, L punktu na lewym ramieniu, P punktu na prawym ramieniu,
sprowadza się do obliczenia azymutów obu ramion kąta, czyli odcinków CL i CP
(rys. 8.11) oraz wyznaczeniu ich różnicy:
b = A A (8.17)
CP CL
Jeśli obliczona w ten sposób różnica jest ujemna,
L
wówczas, to należy do niej dodać wartość kąta pełnego
(360 lub 400g). Zaletą powyższego sposobu obliczenia jest
przejrzystość rachunku i mniejsze prawdopodobieństwo
ACL
pomyłek niż przy korzystaniu ze sposobu wyrażonego
ACP
wzorem (8.18), natomiast wadą sposobu jest konieczność
b
C
dwukrotnego wykonania obliczeń azymutów ze
współrzędnych (wraz z kontrolą).
Drugi sposób obliczenia kąta b ze współrzędnych
P
punktów: C, L, P polega na wykorzystaniu niżej
wyprowadzonego wzoru (8.18).
Rys. 8.11. Kąt jako różnica
azymutów ramion
Zgodnie z zależnością (8.17) tangens kąta b wyniesie:
tg ACP - tg ACL
tg b = tg (ACP - ACL ) =
1+ tg ACP tg ACL
przy czym:
DyCL DyCP
tg ACL = ; tg ACP =
DxCP DxCP
Po podstawieniu powyższych wzorów na tg A i tg A do wzoru na tg b otrzymamy:
CL CP
DyCP DyCL DxCL DyCP - DyCL DxCP
-
DxCP DxCL DxCL DxCP
tg b =
DyCP DyCL = DxCL DxCP + DyCL DyCP
1+
DxCP DxCL DxCL DxCP
Po dokonaniu przekształceń tg b zostanie wyrażony wzorem:
197
DxCL DyCP - DxCP DyCL
(8.18)
tg b =
DxCL DxCP + DyCL DyCP
Znaczne uproszczenie zapisu wzoru (8.18) na obliczenie kąta ze współrzędnych
uzyskamy, stosując omówione w ust. 8.10 symbole rachunkowe S. Hausbrandta.
Zaletą tego sposobu jest obliczenie funkcji tg b, a następnie kąta b bezpośrednio
z przyrostów współrzędnych, bez potrzeby określania wartości azymutów obu ramion,
natomiast wadą jest konieczność ustalenia ćwiartki kąta w celu prawidłowego obliczenia
wartości kąta, która może mieścić się w przedziale od 0 do 360.
Podobnie jak podczas obliczania azymutu ze współrzędnych można przy tym
korzystać z pośrednictwa czwartaka j, traktując znaki licznika i mianownika ułamka we
wzorze (8.18) tak samo jak poprzednio znaki przyrostów współrzędnych.
Przykład:
Obliczyć w mierze stopniowej kąt b ze współrzędnych punktów: 21, 22, Ps 13.
Dx = +250,00 m ; Dy = 500,00 m ; Dx = 450,00 m;
Szkic kąta b CL CL CP
21
Dy = 600 m.
CP
22
I sposób:
b
4
A = arctg (-2)= 29633ó54,2 ; A = arctg = 23307ó48,4
CL CP
3
Ps
Kontrola obliczenia azymutów:
13
Punkt X Y 21(L)
tg (A + 45) = -250 1 , A + 45=34133ó54,2 ;
CL CL
= -
+750 3
1000,0010 00,00 22(C)
tg (A + 45) = -1050 A + 45=27807ó48,4 .
CP CP
= -7
750 ,001 500,00 Ps
+150
b = 23307ó48,4 29633ó54,2 + 360 = 296 33ó54,2
13(P) 300,009 00,00
II sposób:
(+250) (-600) - (450) (-500) -375000
tg b = = = -2
(kąt w IV ćw.)
(+250) (-450) + (-500) (-600) + 187500
j = arctg 2 = 6326ó05,8 ; b = 360 j = 296 33ó54,2
8.7. Obliczenie współrzędnych punktów przecięcia się boku osnowy z ramką
sekcyjną arkusza mapy
Mapa zasadnicza, będąca podstawowym opracowaniem kartograficznym, oraz
większość map topograficznych do celów gospodarczych jest sporządzana w podziale
sekcyjnym, prostokątnym. Pojedynczy arkusz mapy zasadniczej formatu A1 (594841
mm), zwany sekcją mapy, zawiera w sobie prostokąt ramki sekcyjnej o wymiarach
500800 mm, ograniczającej rysunek treści danego arkusza mapy. Rysunek mapy zawarty
wewnątrz ramki sekcji bieżącej jest kontynuowany na sekcjach przyległych, bez powtórzeń
przedstawianych obiektów oraz luk między nimi. Pionowe ramki sekcyjne są równoległe
do osi x układu współrzędnych prostokątnych, natomiast ramki poziome zachowują
równoległość do osi y układu.
Podczas sporządzania mapy należy w pierwszej kolejności nanieść osnowę
geodezyjną, a następnie sytuację i rzezbę terenu. Nanoszenie tych elementów na arkusz
nazywa się kartowaniem pierworysu mapy. Pierworys mapy (oryginał mapy) jest to
pierwszy jej rysunek wykonany na podstawie wyników bezpośrednich pomiarów w terenie.
Oprócz ramki sekcyjnej kolejnym elementem układu współrzędnych na mapie
zasadniczej jest siatka kwadratów znajdująca się wewnątrz ramki. Jeden kwadrat siatki ma
198
wymiary 100100 mm, a więc ramka zawiera w sobie 40 (58) kwadratów. Wartości
współrzędnych poszczególnych punktów przecięć linii siatki można określić na podstawie
skali mapy, oznaczenia (godła) każdej sekcji oraz opisu na każdym arkuszu jednego
punktu, którym jest zwykle lewy, dolny narożnik ramki sekcyjnej. Poszczególne punkty
osnowy poziomej są nanoszone na arkusze ze współrzędnych, zaś po połączeniu na mapie
liniami prostymi sąsiednich punktów osnowy uzyskujemy położenie boków osnowy,
z których w następnym etapie wykonania pierworysu jest prowadzone kartowanie
szczegółów sytuacyjnych.
prostokąt ramki sekcyjnej
+x
B
XB
N
XN
M
XR=XM
A
XA
DyAM
M2 N2 B2
YA YM YR=YN YB +y
DyAN
DyAB
Rys. 8.12. Punkty przecięcia z ramką sekcyjną
Często zdarza się, że bok osnowy przecina jedną lub nawet dwie ramki sekcyjne
(rys. 8.12), toteż aby możliwe było wykreślenie na arkuszu mapy linii tego boku, należy
obliczyć współrzędne punktu jego przecięcia z ramką, a następnie nanieść jego położenie
na ramce. Z podobieństwa trójkątów ABB2 , ANN2 , AMM2 , widocznych na rys. 8.12,
wynikają związki:
Dy DyAM Dy
AB AN
(8.19)
tg AAB = = =
Dx DxAM Dx
AB AN
Punkty przecięcia M lub N z racji położenia na ramce posiadają zawsze jedną
współrzędną znaną, równą stałej odległości danej ramki od jednej z osi układu. Dla
wszystkich punktów leżących na ramce poziomej, równoległej do osi y, jest to wartość X ,
R
natomiast dla punktów ramki pionowej, równoległej do osi x, stałą i znaną współrzędną jest
Y . Można więc zapisać: X =X oraz Y =Y . Po wprowadzeniu tych oznaczeń do wzoru
R M R N R
(8.19) i prostych przekształceniach otrzymamy:
1
YR - YA
( )
Dy = tg A (X X ) oraz Dx =
AM AB R A AN
tg AAB
Ostateczny wzór dla przecięcia z ramką poziomą przybierze postać:
Y = Y + (X X ) tg A (8.20)
M A R A AB
Szukana współrzędna X dla punktu przecięcia boku AB z ramką pionową wyniesie:
N
X = X + (Y Y ) ctg A (8.21)
N A R A AB
AB
AN
D
x
D
x
AM
D
x
199
Występujące we wzorach (8.20) i (8.21) funkcje: tg A oraz ctg A obliczymy
AB AB
z przyrostów boku AB:
DyAB DxAB
tg AAB = ctg AAB =
;
DxAB DyAB
Kontrola naniesienia punktu przecięcia boku osnowy z ramką sekcyjną polega na
graficznym sprawdzeniu odległości odcinków AM lub AN wyliczonych uprzednio ze
współrzędnych.
Przykład: Obliczyć współrzędne punktów M, N przecięcia boku 14 15 z obiema
ramkami sekcyjnymi.
15
M
XR=4000,00
Punkt X Y 143800, 00
4900,00 154010, 005010, 00
N
14
Dx = +210,00 ; Dy =+110,00 ; tg A = 0,523 809 5 ;ctg A = 1,909 090 9
14-15 14-15
Y = 4900 + (4000 3800) 0,5238095 = 5 004,76 m
M
X = 3800 + (5000 4900) 1,9090909 = 3 990,91 m
N
8.8. Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia się dwu prostych
Zagadnienie wymienione w powyższym nagłówku występuje często przy
geodezyjnym opracowaniu inwestycji lub planów zagospodarowania przestrzennego.
Prostymi, dla których poszukiwane są punkty przecięcia, bywają: osie dróg, ulic, budowli,
linie obrysów budynków, granice działek itp. Proste te są najczęściej zadane przez dwa
punkty o znanych współrzędnych.
Na rys. 8.13 widoczne są dwie proste: AB i CD,
B
C
przecinające się w punkcie P, wspólnym dla obydwu
P
prostych. Punkty: A, B, C, D mają znane współrzędne: X,
Y.
I sposób:
D
A
Na podstawie wzoru (8.4) możemy zapisać
równania prostych:
Rys. 8.13. Przecięcie prostych
Dla prostej 1 (AB):
YB - YA YP - YA YB - YP
(8.22)
tg AAB = l = = =
X - X X - X XB - X
B A P A P
Dla prostej 2 (CD):
YD - YC YP - YC YD - YP
(8.22 a)
tg ACD = m = = =
X - X X - XC XD - X
D C P P
Funkcje tg A = l oraz tg A =m nazywamy współczynnikami kierunkowymi
AB CD
prostych. Z przekształceń równań (8.22) i (8.22 a) można uzyskać cztery związki na
określenie współrzędnej Y , wyrażone w oparciu o wielkości znane i niewiadomą X :
P P
R
Y =
5000,00
200
Y = Y + l(X X ) ; Y = Y + m(X X ) (8.23)
P A P A P C P C
oraz
Y = Y + l(X X ) ; Y = Y + m(X X ) (8.23 a)
P B P B P D P D
Po zrównaniu stronami pierwszej pary równań i wyliczeniu X otrzymamy:
P
YC - YA + l X - m XC
A
(8.24)
X =
P
l - m
Analogiczne czynności wykonane na drugiej parze równań (8.23 a) dostarczają
wzoru:
YD - YB + l X - m X
B D
(8.24 a)
X =
P
l - m
Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia się dwóch prostych w oparciu
o powyższe zależności rozpoczynamy od obliczenia współczynników kierunkowych
prostych AB, CD: l, m, po czym obliczamy współrzędną X za pomocą wzoru (8.24) i
P
kontrolujemy poprawność obliczenia korzystając z drugiego wzoru (8.24 a).
Współrzędną Y obliczamy i kontrolujemy za pomocą jednej z par wzorów (8.23)
P
lub (8.23 a), wstawiając do nich wyliczoną wcześniej wartość X .
P
II sposób:
Wychodząc ze wzorów: (8.22) i (8.22 a) możemy także zapisać związki:
Y - X = Y - X
P P A A
Y - źX = Y - źX
P P C C
Wyrażenia występujące po prawych stronach powyższych równań zawierają znane
wielkości, toteż przyjmiemy dla nich oznaczenia:
Y - X = c
A A 1
(8.25)
Y - źX = c
C C 2
Po wprowadzeniu tych oznaczeń zapisany uprzednio układ dwóch równań (8.25)
o niewiadomych X , Y przyjmie więc postać:
P P
Y - X = c
P P 1
Y - źX = c
P P 2
Po odjęciu powyższych równań stronami dostaniemy zależność na współrzędną
X , zaś po jej podstawieniu do pierwszego równania - współrzędną Y .
P P
c2 - c1
X =
P
l - m
(8.26)
c2 l - c1 m
YP =
l - m
III sposób:
Podczas obliczania większej ilości przecięć wygodniej jest posługiwać się
znanymi z geometrii analitycznej, ogólnymi równaniami prostych w postaci:
201
dla prostej 1 (AB): a X + b Y + c = 0 (8.27)
1 1 1
dla prostej 2 (CD): a X + b Y + c = 0 (8.27 a)
2 2 2
Równania prostych (8.22) i (8.22 a) przechodzących przez dwa znane punkty
można zapisać w postaci wyznacznikowej:
YP - YA X - X
P A
= 0
(8.28)
DyAB DxAB
YP - YC X - X
P C
= 0
(8.28 a)
DyCD DxCD
Przejście do ogólnych równań prostych 1, 2 uzyskamy po częściowym
rozwinięciu powyższych wyznaczników:
- YC - X
- YA - X
C
A
YP DxAB - X DyAB + = 0 oraz YP DxCD - X DyCD + = 0
P P
DyCD DxCD
DyAB DxAB
Wynikają stąd wzory na współczynniki ogólnych równań (8.27), (8.27 a) obu prostych:
- YA - X
A
=
a = Dy ; b = + Dx ; c (8.29)
1 AB 1 AB 1
DyAB DxAB
- YC - X
C
a = Dy ; b = + Dx ; c = (8.29 a)
2 CD 2 CD 2
DyCD DxCD
Współrzędne punktu P obliczymy po rozwiązaniu układu równań (8.27), (8.27 a)
np. metodą przeciwnych współczynników. Wzory na niewiadome: X , Y w postaci
P P
algebraicznej i wyznacznikowej przyjmą postać:
b1 c1 a1 c1
b2 c2 a2 c2
b1 c2 - b2 c1 a2 c1 - a1 c2
(8.30 a)
X = = + (8.30) ; YP = = -
P
a1 b2 - a2 b1 a1 b1 a1 b2 - a2 b1 a1 b1
a2 b2 a2 b2
Kontrola obliczenia współrzędnych punktu przecięcia się dwóch prostych polega
na podstawieniu obliczonych wartości: X , Y do równań (8.27), (8.27 a) lub (8.28),
P P
(8.28 a) i sprawdzeniu ich spełnienia, czyli zerowania się pary równań algebraicznych lub
obu wyznaczników. Rozbieżności od zera dla poprawnych wyników są związane z
dokładnością obliczenia współrzędnych punktu P. Jeśli wynik zaokrąglono do 0,01 m,
wtedy rozbieżności zerowania równań są rzędu ą1 m2, zaś przy zaokrągleniach do 0,001 m
odchyłki od zera nie przekraczają na ogół ą0,1 m2.
Zaletą opisanego wyżej sposobu obliczenia jest uzyskiwanie obydwu
niewiadomych X , Y niezależnie od siebie, a nie jak w sposobie I niewiadomej Y za
P P P
pośrednictwem niewiadomej X , obarczonej błędem zaokrąglenia wyniku.
P
202
IV sposób:
B
C
Zadanie obliczenia współrzędnych punktu 5 6
4 7
przecięcia się dwu prostych można rozwiązać w wyniku
P
zastosowania konstrukcji kątowego wcięcia w przód
(rys. 8.14). W tym celu ze współrzędnych punktów: A,
8
3
2 1
B, C, D należy obliczyć przynajmniej jedną parę kątów:
D
A
1, 2; 3, 4; 5, 6 lub 7, 8. Każda z nich umożliwia
wykonanie obliczenia zadania pojedynczego wcięcia w
Rys. 8.14. Kąty wcięć w przód
przód, którego rozwiązanie (patrz ust. 8.11.1) dostarcza
współrzędnych punktu P. Dla kontroli rachunku wskazane jest obliczenie dwóch wcięć,
których wyniki końcowe powinny być jednakowe.
Przykład:
Obliczyć współrzędne punktu 32 powstałego na przecięciu się prostych 121-122 i 45-46.
Punkt X Y 45 (A)
46
12
3000,003 000,00 46
1
(B)3 050,00395 9,60
32
121 (C)3100, 00
2940,40 122 (D)
45
12
2900,003 800,00
2
I sposób:
1. Obliczenie przyrostów:
Dx = +50,00 ; Dy = +959,60 ; Dx = -200,00 ; Dy = +859,60
45-46 45-46 121-122 121-122
2. Obliczenie współczynników kierunkowych: l,m :
+959,60 +859,60
= 19,192 m = = -4,298
l= 000 ; 000
+50,00 -200,00
3. Obliczenie X i kontrola obliczenia:
32
-59,60+19,1923000 + 4,2983100
-159,60+19,1923050+4,2982900
X32 = = 3015,76 ; X = = 3015,76
0 0
23,49 32 23,49
4.
Obliczenie Y i kontrola obliczenia:
32
Y = 3000 + 19,192(3015,76 3000) = 3302,46 ;
32 6
Y = 2940,40 4,298(3015,76 3100) = 3302,46
32 4
II sposób:
1-2. Jak w poprzednim sposobie obliczenia.
3. Obliczenie współczynników c , c na podstawie wzorów (8.25):
1 2
c =Y - X = 3000,00 - 19,1923000,00 = -54576,00
1 A A
c =Y - źX = 2940,40 + 4,2983100,00 = +16264,20
2 C C
4. Obliczenie współrzędnych punktu 32 w oparciu o wzory (8.26):
c2 l - c1 m
c2 - c1 70840,2
77574,8784
X32 = Y32 =
= = 3015,76 ; = = 3302,46
0 4
23,49 23,49
l - m l - m
III sposób:
1. Obliczenie współczynników równań prostych:
203
- 3000 - 3000
c1 =
a = -959,60 ; b = +50,00 ; = 2 728 800
1 1
+ 959,60 + 50
- 2940,40 - 3100
a = -859,60 ; b = -200,00 ; c = = 3 252 840
2 2 2
+ 859,60 - 200
2. Obliczenie niewiadomych:
708 402 000 775 748 784
X = = 3015,76 m ; Y = = 3302,46 m
32 0 32 4
234 900 234 900
3. Kontrola:
+ 302,464 + 15,760 + 362,064 - 84,240
= -0,096 m2 0 ; = -0,096 m2 0
+ 959,60 + 50 + 859,60 - 200
8.9. Obliczanie ciągów sytuacyjnych
8.9.1. Poligonizacja jako metoda zakładania osnów poziomych
Ciąg poligonowy jest wielobokiem otwartym lub zamkniętym, w którym zostały
pomierzone kąty wierzchołkowe i długości boków. Mogą one występować pojedynczo lub
tworzyć sieci poligonowe. Ciągi poligonowe pod względem kształtu wieloboków dzielą się
na ciągi zamknięte i otwarte.
Sieć poligonowa stanowi zespół powiązanych z sobą ciągów poligonowych
łączących się w tzw. punktach węzłowych, czyli punktach wspólnych dla kilku ciągów,
w których schodzą się co najmniej trzy równorzędne ciągi poligonowe.
Ciągi sytuacyjne są ciągami poligonowymi spełniającymi wymagania
dokładnościowe przewidziane dla poziomej osnowy pomiarowej.
Poligonizacja stanowi metodę i technologię zakładania osnowy poziomej, której
punkty zwane punktami poligonowymi, są wierzchołkami wieloboków zamkniętych lub
otwartych, w których mierzy się kąty i długości boków. Wyniki tych pomiarów oraz znane
współrzędne punktów nawiązania ciągów lub sieci poligonowych umożliwiają określenie
współrzędnych X, Y punktów poligonowych.
Dawniej w zależności od długości boków i ciągów oraz dokładności pomiaru
rozróżniano: poligonizację techniczną i precyzyjną. Obecnie po wprowadzeniu jednolitej
klasyfikacji osnowy poziomej tego podziału już się nie używa. Poligonizacja precyzyjna,
zastępująca niegdyś triangulację niższych rzędów, była głównie wykorzystywana do
realizowania dokładniejszych sieci osnów szczegółowych. Od poligonizacji technicznej
różniła się wysoką dokładnością pomiaru kątów i długości, wydłużonymi bokami
poligonowymi oraz obliczeniem współrzędnych punktów poligonowych na drodze
wyrównania ścisłego.
Poligonizacja techniczna jest stosowana dla niższej klasy osnowy szczegółowej
i osnowy pomiarowej. Do obliczania współrzędnych punktów ciągów sytuacyjnych można
wykorzystywać omówione dalej metody przybliżone.
204
8.9.2. Obliczenie ciągów otwartych, wiszących
W ciągu poligonowym, otwartym
wyznaczane punkty poligonowe są jednostronnie
punkt
lub obustronnie połączone z punktami nawiązania kierunkowy
A
za pośrednictwem elementów nawiązujących:
kąt
a1 kąt
boków i kątów nawiązania. nawiązania wierzchołkowy
(lewy)
Bok nawiązania (rys. 8.15) jest
1
aB bok
odcinkiem zawartym pomiędzy punktem bok poligonowy
kierunkowy
nawiązania danego ciągu a najbliższym punktem AB
2
B dB-1 bok
punkt nawiązania ciągu
poligonowym, zaś kąt nawiązania (rys. 8.15) jest nawiązania
punkt
kątem mierzonym na bliższym punkcie
kierunek obliczenia
nawiązania. Jego jedno ramię stanowi bok
Rys. 8.15. Ciąg poligonowy, wiszący
nawiązania, zaś drugie ramię tzw. bok
kierunkowy (orientacyjny) utworzony przez punkt nawiązania (wierzchołek tego kąta)
i sąsiedni punkt osnowy wyższej klasy lub rzędu w stosunku do danego ciągu
poligonowego.
Nawiązanie ciągu poligonowego zawierające obydwa elementy nawiązujące nosi
nazwę nawiązania pełnego. Jako obowiązującą regułę należy dla ciągów otwartych przyjąć
pełne nawiązanie obustronne, tzn. wymienione pary elementów nawiązujących powinny
znajdować się po obu stronach ciągu. W trudnych warunkach terenowych dopuszcza się
jednak w ramach osnowy pomiarowej zakładanie ciągów otwartych, nawiązanych
jednostronnie (jednopunktowo), zwanych także ciągami wiszącymi (rys. 8.15). Ciąg
wiszący nie zapewnia kontroli pomiaru ani obliczeń, ponieważ nie zawiera obserwacji
nadliczbowych. Z tego powodu ilość punktów i boków tego ciągu (łącznie z bokiem
nawiązania) nie może być większa od dwóch.
W zależności od położenia kątów wierzchołkowych po określonej stronie ciągu
i przyjętego kierunku obliczenia, wyróżniamy w ciągach poligonowych kąty
wierzchołkowe: lewe a i prawe b. Zakładając, że dla ciągu przedstawionego na rys. 8.15
będziemy prowadzić obliczenie w kierunku zgodnym z następstwem punktów: B, 1, 2,
wtedy zaznaczone kąty występują po lewej stronie ciągu, a więc są kątami lewymi.
Obliczenie ciągu wiszącego ma przebieg podobny do obliczania współrzędnych
punktu zdjętego metodą biegunową. Kolejność czynności rachunkowych jest następująca:
1. Obliczenie azymutu boku AB ze współrzędnych (z kontrolą).
2. Obliczenie azymutów boków: B-1, 1-2.
Z rysunku 8.16 wynika, że:
Ap
A = A
n p d oraz d = 180 a ,
a
stąd dla kątów lewych azymuty boków oblicza
A An
1
się według formuły:
Ap
B
d=Ap-An
A = A + a 180 (8.31)
n p
180
Jest to wzór na obliczenie azymutu boku
b
następnego A na podstawie azymutu boku
n
Rys. 8.16. Określenie azymutu An
poprzedniego A i kąta lewego a zawartego
p
między tymi bokami. Kąt prawy b jest
dopełnieniem kąta lewego do 360, czyli: a = 360 b, toteż po podstawieniu tej
205
zależności za a, otrzymamy wzór na obliczenie azymutów na podstawie kątów
prawych:
A = A + 180 b (8.32)
n p
3. Obliczyć przyrosty boków B-1 i B-2 na podstawie wzorów (8.6):
Dx = d cos A ; Dy = d sin A
4. Przeprowadzić kontrolę obliczenia przyrostów.
Obliczone przyrosty Dx ,Dy należy sprawdzić za pomocą jednego z wielu możliwych do
zastosowania sposobów. Jednym z nich jest ponowne obliczenie przyrostów w oparciu
o wzory kontrolne:
Dx = S + C
(8.33)
Dy= S C
przy czym:
d d
cos A + 45
sin A + 45 ( )
S = ( ) oraz C =
2 2
(8.34)
Uzasadnienie powyższych wzorów jest następujące:
2 2 2 2
sin (A + 45) = sin A + cos A oraz cos (A + 45) = cos A sin A
2 2 2 2
Po dodaniu i odjęciu tych równań stronami otrzymamy:
sin (A + 45) + cos (A + 45) = cos A oraz sin (A + 45) cos (A + 45) = sin A ,
2 2
d
Po obustronnym pomnożeniu obydwu powyższych równań przez uzyskamy wzory
2
na przyrosty:
d d
sin (A + 45) + cos (A + 45) = dcos A = Dx
2 2
oraz
d d
sin (A + 45) cos (A + 45) = dsin A = Dy,
2 2
Po wprowadzeniu do powyższych związków wielkości S, C wyrażonych wzorami
(8.34), dostaniemy wzory (8.33).
5. Obliczyć współrzędne X , Y punktów następnych na podstawie współrzędnych
N N
X , Y punktów poprzednich i przyrostów między tymi punktami wg wzorów
P P
(8.3):
X = X + Dx ; Y = Y + Dy
N P P-N N P P-N
Przykładowe obliczenie ciągu wiszącego, przedstawionego rys. 8.15
zamieszczono w tabeli 8.8.
Przykład: Obliczyć współrzędne punktów 1, 2 ciągu wiszącego, nawiązanego do
punktu B, na podstawie następujących danych:
X = Y = 1000,00 m ; X = 850,30 m, Y = 1250,40 m;
A A B B
206
a = 149,2857g , a = 230,1420g ; d = 121,50 m , d = 204,12 m.
B 1 B-1 1-2
Tabela 8.8. Obliczenie ciągu sytuacyjnego wiszącego
Ozna Azymuty Przyrosty Kontrola przyrostów Współrzędne Ozna
Kąty Długości
czeni czeni
A
d Uwagi
a poziome boków a
S
Dx=S+C
2 szkice
a - lewe, b - prawe Dx Dy X Y
punkt punkt
g c d
Dy=S C
C
A+50g
ow cc ow
g c cc
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Obliczenie azymutu AAB
1000,0
ze współrzędnych:
A 1000,00 A
tg A =
0
(+250,40):
( -149,70)
2 5 1250,4
B 149 850,30 B II ćw. j
8 7 0
=65,6969g
A=134,3031g
1 2 1367,8
1 230 881,28 1
Kontrola:
4 0 9
tg(A+50g)=
+100,70
- 400,10
1567,2
2 837,60 2 II ćw. y
8
=15,6969g
A+50g =184,3031g
8.9.3. Obliczenie ciągów otwartych, obustronnie nawiązanych
Obliczenie ciągu wiszącego jest zadaniem jednoznacznie rozwiązywalnym
ponieważ ilość spostrzeżeń n, czyli łączna liczba pomierzonych boków i kątów w tym
ciągu, jest równa ilości niewiadomych u, którymi są szukane współrzędne X, Y punktów
poligonowych. W przeciwieństwie do ciągu wiszącego, zadanie obliczenia ciągu
obustronnie nawiązanego (z nawiązaniem pełnym) odznacza się trzema spostrzeżeniami
nadliczbowymi. Ciąg pokazany na rys. 8.17 zawiera łącznie 9 elementów pomierzonych (5
kątów i 4 długości), zaś 3 punkty poligonowe dostarczają sześciu niewiadomych (X, Y).
Ilość spostrzeżeń nadliczbowych n u jest więc równa 3 i dotyczy to każdego ciągu
z pełnym nawiązaniem kątowym i liniowym, niezależnie od liczby boków. Trzy obserwacje
nadliczbowe dostarczają trzech warunków, a te z kolei trzech odchyłek pomiędzy
wartościami pomierzonymi i teoretycznymi. Podczas przybliżonego wyrównania tego ciągu
odchyłki te dotyczą sumy kątów oraz sum obydwu przyrostów.
Ciąg poligonowy otwarty, z pełnym nawiązaniem obustronnym posiada z każdej
strony po dwa elementy nawiązania (kąt i bok), którymi jest geometrycznie połączony
z punktami osnowy wyższej klasy lub rzędu. Ciąg pokazany na rys. 8.17 ma zaznaczone
pełne nawiązanie do punktów: B, C za pomocą elementów a , d i a , d . Możliwe jest
B B-1 C 3-C
również obliczenie ciągu poligonowego z obustronnym nawiązaniem niepełnym, w którym
brak jednego lub nawet dwóch kątów nawiązania. W tym ostatnim przypadku obserwacje
ciągu zawierają i tak jedno spostrzeżenie nadliczbowe, zapewniające kontrolę wyników
pomiaru i obliczeń.
aB
a2
aC
A
B
2
a3
d2-3
dB-1 a1 d1-2
d3-C C
kierunek
3
obliczenia
1
D
Rys. 8.17. Ciąg poligonowy otwarty, obustronnie nawiązany
207
Podany dalej sposób obliczenia ciągu otwartego, nawiązanego obustronnie
stanowi wyrównanie przybliżone, dopuszczalne do stosowania tylko dla osnowy
pomiarowej. Dla sieci osnów szczegółowych wymagane jest wyrównanie ścisłe, którego
zasady zostaną podane na zajęciach z rachunku wyrównawczego.
Czynności związane z wyznaczeniem współrzędnych punktów ciągu otwartego,
obustronnie nawiązanego zawierają omówione wcześniej elementy postępowania
związanego z obliczaniem ciągu wiszącego, lecz ze względu na trzy warunki wynikające z
tej samej ilości obserwacji nadliczbowych, obejmują także obliczenie odchyłki kątowej f
kt
i dwóch odchyłek przyrostów f , f oraz rozrzucenie tych odchyłek na wspomniane
x y
elementy, zapewniając po drodze wielostopniową kontrolę rachunkową większości etapów
obliczeń. Wartości odchyłek umożliwiają również weryfikację wyników pomiaru na
podstawie porównania odchyłek otrzymanych z dopuszczalnymi (maksymalnymi),
podanymi w odpowiednich instrukcjach technicznych.
W celu obliczenia współrzędnych punktów poligonowych ciągu otwartego,
obustronnie nawiązanego metodą przybliżoną trzeba wykonać następujące czynności:
1. Na podstawie dzienników pomiarowych, szkicu osnowy i wykazów współrzędnych
wpisać do formularza obliczeniowego (tabela 8.9) dane wyjściowe: oznaczenia
punktów, średnie wartości kątów wierzchołkowych, zredukowane długości boków
i współrzędne punktów nawiązania ciągu. W formularzu należy też zaznaczyć
jednostki, w których wyrażone są kąty (stopnie lub grady) i rodzaj kątów
przyjętych do obliczenia (kąty prawe albo lewe). W kol. 13 Uwagi można też
wykonać szkic ciągu.
2. Obliczyć (wraz z kontrolą) azymuty boków kierunkowych: azymut początkowy A
(A ) i azymut końcowy A (A ), a następnie wpisać je w odpowiednich
P AB K CD
pozycjach w kol. 3 formularza. Obliczenie azymutów kierunkowych można
zamieścić w kol. 13 Uwagi, szkice .
3. Obliczyć sumę praktyczną kątów poziomych: lewych [a ] lub prawych [b ]
p p
i wpisać ją w kol.2 pod wartościami kątów.
4. Obliczyć sumę teoretyczną kątów [a ] lub [b ] na podstawie odpowiedniego
t t
wzoru:
dla kątów lewych:
[a ] = A A + n180 (8.35)
t K P
dla kątów prawych:
[b ] = A A + n180 (8.36)
t P K
gdzie: n liczba pomierzonych kątów.
Wyprowadzenie tych wzorów podamy w oparciu o oznaczenia z rys. 8.17.
Zgodnie ze wzorem (8.29) azymuty kolejnych boków ciągu wyniosą:
A = A +a
B-1 AB B 180
A = A +a
1-2 B-1 1 180
A = A +a
2-3 1-2 2 180
A = A +a
3-C 2-3 3 180
A = A +a
CD 3-C C 180
Suma: A = A +[a ] n180
CD AB
208
Po podsumowaniu powyższych równań stronami i uporządkowaniu zapisu
uzyskamy redukcję większości azymutów z wyjątkiem azymutów nawiązujących.
Po wprowadzeniu oznaczeń: A A oraz A A ,. otrzymamy wzór:
AB P CD K
A = A + [a ] n180,
K P t
z którego po niewielkim przekształceniu wynika wzór (8.35).
Dla kątów prawych zapiszemy zależność:
[a ] = [ 360 b ] = n360 [b ],
a stąd związek:
A = A + n360 [b ] n180,
K P
który po przekształceniu daje wzór (8.36) na sumę teoretyczną kątów prawych.
5. Obliczenie odchyłki kątowej f otrzymanej jako różnica sumy praktycznej i sumy
kt
teoretycznej kątów ciągu.
f = [a ] [a ] (8.37)
kt p t
f = [b ] [b ] (8.37 a)
kt p t
6. Obliczenie odchyłki kątowej dopuszczalnej (maksymalnej) f zgodnie z
kt max.
wymaganiami instrukcji G-4 i porównanie z nią odchyłki otrzymanej f . Odchyłka
kt
otrzymana nie może przekraczać odchyłki dopuszczalnej, czyli:
f f (8.38)
kt kt max
Przekroczenie odchyłki maksymalnej świadczy o nadmiernych błędach
pomiaru, który w tym wypadku należy powtórzyć. Przy zakładaniu osnowy
pomiarowej na większym obszarze dla ok. 30% ciągów sytuacyjnych można
zwiększyć tolerancję i uwzględnić odchyłki dochodzące do wartości 2f .
kt max
Według instrukcji G-4 dopuszczalna odchyłka kątowa dla ciągów
sytuacyjnych jest obliczana na podstawie wzoru:
f = ą m (8.39)
kt max 0 n
gdzie: m średni błąd pomiaru kąta, który przyjmuje się jako:
0
m = ą60 (180cc) dla ciągów o długości do 1,2 km,
0
m = ą30 (90cc) dla ciągów o długości ponad 1,2 km.
0
Długość ciągu L jest sumą długości wszystkich pomierzonych boków tego ciągu
(łącznie z bokami nawiązania).
Wartość dopuszczalnej odchyłki kątowej można również określić z tabeli
znajdującej się w załącznikach na końcu instrukcji G-4.
7. Rozrzucić równomiernie otrzymaną odchyłkę kątową na poszczególne kąty. Każdy
pomierzony kąt poziomy uzyska poprawkę v wyrażoną w sekundach lub
kt
decymiligradach, wynoszącą:
fkt
(8.40)
vkt = -
n
Jeśli dzielenie (-f ):n powoduje powstanie reszty, czyli obliczone poprawki
kt
zawierają część całkowitą i ułamek dziesiętny, to zaokrąglamy poprawki raz w górę
a drugi raz w dół do pełnych sekund (lub cc), lecz przy tym należy doprowadzić
209
sumę poprawek dokładnie do wartości f (patrz przykład w tab. 8.9). Poprawki
kt
wpisujemy kolorem czerwonym nad wartościami kątów w kol. 2.
8. Obliczenie według wzoru (8.29) lub (8.30) azymutów boków na podstawie
wartości azymutu początkowego A i poprawionych kątów. Kontrolą obliczenia
P
azymutów jest uzyskanie na końcu rachunku niezmienionego azymutu końcowego
A .
K
9. Obliczenie przyrostów współrzędnych Dx, Dy poszczególnych boków na podstawie
wzorów (8.6)
10. Kontrola obliczenia przyrostów w oparciu o wzory (8.33) i (8.34).
11. Obliczenie sum przyrostów: praktycznych: [Dx] , [Dy] i teoretycznych: [Dx] , [Dy] .
p p t t
Sumy teoretyczne przyrostów są równe różnicy współrzędnych punktów nawiązania
(punkty B, C na rys. 8.17) końcowego K i początkowego P.
[Dx] = X X (8.41)
t K P
[Dy] = Y Y
t K P
12. Obliczenie odchyłek przyrostów: f , f oraz odchyłki liniowej f . Odchyłki
x y L
przyrostów są różnicami pomiędzy sumami praktycznymi i teoretycznymi
odpowiednich przyrostów współrzędnych:
f = [Dx] [Dx] (8.42)
x p t
f = [Dy] [Dy]
y p t
Odchyłka liniowa otrzymana w danym ciągu jest równa pierwiastkowi z sumy
kwadratów odchyłek przyrostów:
2
f = fx2 + f (8.43)
L
y
13. Obliczenie odchyłki liniowej dopuszczalnej f i porównanie z nią odchyłki f
L max. L
otrzymanej. Odchyłka ta nie może przekroczyć odchyłki dopuszczalnej, czyli:
f f (8.44)
L L max
Zgodnie z instrukcją G-4 odchyłkę dopuszczalną f należy obliczyć na
L max
podstawie wzoru:
2
ć m0 (nb + 1) (nb + 2)
2
f = (8.45)
L max
u2 L + L2 + c
r 12nb
Ł ł
gdzie:
L długość ciągu wyrażona w metrach,
u współczynnik błędów przypadkowych pomiarów liniowych (wg G-4 u = 0,0059),
n ilość boków ciągu,
b
c wpływ błędów położenia punktów nawiązania (wg instr. G-4 c = 0,10 m).
Dla ok. 30% ciągów można dopuścić odchyłki dochodzące do wartości 2 f .
L max
Wartości odchyłek liniowych maksymalnych są zestawione w tabeli znajdującej się
w załącznikach do instrukcji G-4.
14. Rozrzucenie odchyłek przyrostów proporcjonalnie do długości boków. Poprawki
przyrostów wyniosą:
210
f
f
y
x
vix = - di (8.46) oraz viy = - di (8.46 a)
L L
gdzie: L długość ciągu w metrach,
d długość i tego boku, dla którego obliczana jest poprawka przyrostu.
i
Poprawki należy zaokrąglić do pełnych centymetrów, zaś ich suma musi być
dokładnie równa odchyłce przyrostów ze znakiem przeciwnym. Wartości poprawek
wpisuje się kolorem czerwonym nad przyrostami. Wartości poprawek przyrostów
można też obliczać proporcjonalnie do bezwzględnej wartości przyrostów
15. Obliczenie współrzędnych punktów poligonowych: X , Y na podstawie
N N
współrzędnych punktów poprzednich: X , Y i przyrostów poprawionych: Dx ,
P P P-N
Dy :
P-N
X = X + Dx
N P P-N
Y = Y + Dy
N P P-N
Przykład:
Obliczyć współrzędne punktów: 1, 2, 3 w ciągu sytuacyjnym otwartym, nawiązanym
obustronnie do punktów: B, C (rys. 8.17).
Tabela 8.9. Obliczenie ciągu sytuacyjnego otwartego, nawiązanego obustronnie
Oz Przyrosty Kontrola przyrostów Współrzędne Ozn
Kąty
Azymuty
Boki
d
n. . Uwagi,
a lewe
S Dx=S+C
A 2
d
pun pun
b prawe Dx Dy X Y obliczenia
C
A+50g Dy=S -C
ktu ktu
g c cc g c cc
1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 3
2000,0 3000,0
Obliczenie azymutu
A
A ze
A 0 0 AB
współrzędnych:
+2
tg A = (+300,00):
5
2010,0 3300,0 ( +10,00)
B
5 2
0 0 I ćw. j =97-87-87
B 245 7 0
A =97,8787
AB
+2
g
4
1915,4 3416,4
Kontrola:
1
3 2
tg(A+50g)=
0 1
+310,00
1 154 3 0
- 290,00
+2
5 y =52,1213g
1922,3 3616,3
2 A+50g= 147,8787g
8 5
8 2
tgA =(+266,35):
CD
(-298,40)
2 254 0 0
II ćw. j =46,3910g
+2
A =153,60
4
CD
1793,3 3735,2
3
2 0 90g
5 9
Kontrola:
3 170 0 0
tg (A+50g) =
+2
-32,05
5
1719,5 3932,7
- 564,75
C
8 9
0 5
y =3,6090g
C 230 0 0
A+50g=
1421,1 4199,1 203,6090g
D
0 0
D
105
[a] 5 71 80
p
105 73 03
[a]
t
5
211
8.9.4. Obliczenie ciągów poligonowych zamkniętych
N
Ciąg poligonowy zamknięty jest wielobokiem
A1-2
1
zamkniętym, w którym zostały pomierzone kąty
b1
wierzchołkowe i długości boków. Przeważnie stanowi on
d5-1
osnowę niezależną, czyli nie nawiązaną do osnowy
b2 2
5 wyższej klasy lub rzędu, zakładaną dla pomiaru
b5
sytuacyjnego małego obszaru np. działki, kompleksu
d2-3
budynków itp., Jest też osnową bardzo często
d4-5
wykorzystywaną do celów dydaktycznych. Danymi
b4 b3 kierunek
obliczen
wyjściowymi do obliczenia ciągu zamkniętego oprócz
4
d3-4 3 ia ciągu
pomierzonych w terenie kątów i długości są współrzędne
jednego wierzchołka i azymut dowolnego boku. W ciągu
Rys. 8.18. Ciąg poligonowy
zamkniętym pokazanym na rys. 8.18 i przykładzie
zamknięty
obliczonym w tabeli 8.10 dane są współrzędne punktu 1
i azymut boku 1-2.
Przebieg obliczeń ciągu zamkniętego jest podobny do obliczenia ciągu otwartego,
nawiązanego obustronnie. Różnice występują tylko na etapie określania sum teoretycznych
kątów i przyrostów. W ciągu zamkniętym oprócz dotyczącego wszystkich rodzajów ciągów
poligonowych podziału kątów na lewe i prawe można też wyróżnić kąty wewnętrzne
i zewnętrzne. Sumy teoretyczne kątów wewnętrznych i zewnętrznych wieloboku
zamkniętego wynoszą odpowiednio:
Suma kątów wewnętrznych = (n 2) 180 (8.47)
Suma kątów zewnętrznych = (n + 2) 180 (8.47 a)
212
Tabela 8.10. Obliczenie ciągu sytuacyjnego, zamkniętego
Ozna Ozna
Przyrosty Kontrola przyrostów Współrzędne
Kąty Azymuty
Długości
czeni czeni
d
poziome Uwagi
boków
a a
S Dx=S+C
a - lewe,
2
szkice
X Y
A Dx Dy
punk punkt
b - prawe
d Dy=S C
C
ó
tow A+45 ow
ó
1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 3
5 5
-5
1 5
1 5000,00 5000,00 1
52 1 5
-5
0 1
2 4801,17 5030,11 2
163 8 0
-5
4 0
3 4601,96 5001,21 3
102 8 0
-5
1 3
4 4589,96 4850,19 4
96 6 0
-5
3 5
5 4800,39 4809,98 5
125 5 0
1
1
2
[b] 540 00 5
p
540 00 0
[b]
t
0
2
f +0 5
kt
f ą2 1
kt max
4
Jeśli kierunek obliczenia jest zgodny z ruchem wskazówek zegara, wtedy kąty
wewnętrzne ciągu zamkniętego są jednocześnie kątami prawymi (rys. 8.18). Po zmianie
tego kierunku kąty wewnętrzne staną się kątami lewymi.
Obliczanie przyrostów boków rozpoczyna się i kończy w tym samym punkcie,
toteż sumy teoretyczne obydwu rodzajów przyrostów są w ciągu zamkniętym równe zero,
toteż ich sumy praktyczne stanowią jednocześnie odchyłki przyrostów:
[Dx ] = 0 ; [Dy ] = 0 oraz [Dx ] = f ; [Dy ] = f (8.48)
t t p x p y
Kontrolą obliczenia azymutów boków ciągu zamkniętego jest otrzymanie azymutu
końcowego identycznego z danym azymutu boku wyjściowego po wcześniejszym
wyznaczeniu wszystkich szukanych azymutów i dojściu z obliczeniem do boku
początkowego. Podobnie przebiega sprawdzenie obliczenia współrzędnych punktów
poligonowych, ponieważ po dokonaniu procesu obliczeniowego dla wszystkich punktów
szukanych dochodzimy z obliczeniem do punktu wyjścia o
znanych współrzędnych, które na tym etapie powinniśmy
uzyskać w postaci niezmienionej. Wykrycie przy tej kontroli
niewielkiej rozbieżności jest najczęściej spowodowane
nieuwzględnieniem poprawki kąta lub przyrostu.
Ciąg zamknięty może być osnową niezależną lub
stanowić konstrukcję geometryczną nawiązaną
Rys. 8.19. Nawiązanie
jednopunktowo z orientacją. W drugim przypadku do
213
wieloboku zamkniętego włącza się punkt nawiązania, oraz mierzy kąt nawiązania zawarty
pomiędzy bokiem ciągu a bokiem kierunkowym (rys. 8.19). Obliczenie takiego ciągu
można przeprowadzić na zasadzie obliczenia ciągu obustronnie nawiązanego do tego
samego punktu nawiązania i boku kierunkowego.
8.10. Symbole rachunkowe Stefana Hausbrandta
Wiele zadań z rachunku współrzędnych wykazuje pewne powtarzające się
działania, możliwe do ujednolicenia i usprawnienia w wyniku zastosowania symboli
rachunkowych wprowadzonych w tym celu przez Stefana Hausbrandta. Symbole te
znacznie ułatwiają i systematyzują obliczenia wykonywane za pomocą kalkulatora.
Podstawowym pojęciem w symbolice Hausbrandta jest forma rachunkowa prosta,
stanowiąca czteroelementowy zespół liczb, ujętych w prostokątną tabelę:
a b
(8.49)
f
c d
Forma rachunkowa jest tylko sposobem zapisu liczb i nie określa żadnych działań
matematycznych prowadzących do wyznaczenia konkretnej liczby. Są one możliwe jedynie
po ustaleniu określonej funkcji formy rachunkowej.
Forma rachunkowa złożona składa się z dwóch lub większej ilości form
rachunkowych prostych zapisanych obok siebie np.
a1 b1 a2 b2 an bn
(8.50)
F .....
c1 d1 c2 d2 cn dn
W rachunkach geodezyjnych stosowane są następujące funkcje obliczane z form
rachunkowych:
1) Funkcja pierwsza (iloczyn wyznacznikowy) jest to suma wyznaczników
drugiego stopnia obliczonych z poszczególnych form rachunkowych
prostych:
F = a d c +a d c +...+a d c = (a d c ) (8.51)
1 1 1 b
1 1 2 2 b
2 2 n n b
n n i i - b
i i
2) Funkcja druga (iloczyn kolumnowy) jest to suma iloczynów par elementów
znajdujących się w poszczególnych kolumnach formy rachunkowej:
F = a c +b d +a c +b d +...+a c +b d = (a c +b d ) (8.52)
2 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n i i i i
3) Funkcja zerowa (iloraz główny) jest to stosunek funkcji pierwszej do drugiej:
F1
(8.53)
F0 =
F2
4) Funkcje względne proste stanowią ilorazy funkcji pierwszej lub drugiej przez sumę
elementów dolnego lub górnego wiersza formy rachunkowej. W zależności od tego
który wiersz podlega sumowaniu, symbol funkcji: (1) lub (2) umieszcza się u dołu lub
u góry symbolu formy:
F1 F2 (1) F1 (2) F2
F(1) = ; F( 2) = ; F = ; F =
(8.54)
S (ci + di ) S (ci + di ) S (ai + bi) S (ai + bi )
214
5) Funkcje względne kwadratowe są ilorazami funkcji pierwszej lub drugiej przez
sumę kwadratów elementów dolnego lub górnego wiersza formy. Podobnie jak
poprzednio w zależności od tego, czy sumujemy kwadraty elementów dolnego,
czy górnego wiersza, odpowiedni symbol funkcji jedynkę lub dwójkę
w nawiasie kwadratowym lub małym kwadracie umieszczamy u dołu lub u
góry symbolu formy:
F1 F2 [1] F1 [2] F2
F[1] = ; F[2] = ; F = ; F =
(8.55)
S (ci 2 + di 2) S (ci 2 + di 2) S (ai 2 + bi 2) S (ai 2 + bi 2)
Należy pamiętać, że oznaczenie formy rachunkowej np. f, g, F, j, F itp.
oznacza pewien zapis zespołu liczb lub symboli algebraicznych, zaś działania
matematyczne wykonuje się na nich dopiero po wpisaniu symbolu odpowiedniej
funkcji, który można podawać zarówno przy oznaczeniu formy, jak również
poza jej tabelą. Za pomocą zdefiniowanych symboli możemy więc zapisać
wzory dla wcześniej omówionych dwóch zadań z rachunku we współrzędnych:
a) Wzory (8.15) na obliczenie przyrostów współrzędnych punktu na domiarze
prostokątnym:
l h
(8.56)
DxAP; DyAP =
( )
sin A cos A
1,2
Zapis obok siebie dwóch symboli funkcji oddzielonych przecinkiem
oznacza, że pierwsza z nich odnosi się do Dx , zaś następna do Dy .
AP AP
b) Wzór (8.18) na obliczenie kąta ze współrzędnych:
DxCL DyCL
(8.57)
tg b =
DxCP DyCP 0
8.11. Obliczanie wcięć pojedynczych
Wcięcia pojedyncze są prostymi, jednoznacznie wyznaczalnymi zadaniami
geodezyjnymi, mającymi na celu określenie współrzędnych X, Y najczęściej jednego lub
znacznie rzadziej dwóch punktów (w zadaniach Hansena i Mareka). Wynika stąd, że przy
obliczaniu wcięć pojedynczych nie występują spostrzeżenia nadliczbowe, a tym samym
problem wyrównania. Zawierają one tyle spostrzeżeń n, ile jest to konieczne do
jednoznacznego określenia u niewiadomych (n = u), którymi są współrzędne punktu
wcinanego. Ilość obserwacji przekraczająca ilość niewiadomych występuje natomiast
w konstrukcjach wcięć wielokrotnych.
Główne zadania wcięć to zagęszczanie poziomej osnowy geodezyjnej, wyznaczenie
położenia punktów dostępnych i niedostępnych w pracach inwentaryzacyjnych i podczas
pomiarów odkształceń i przemieszczeń.
8.11.1. Kątowe wcięcie w przód
Kątowe wcięcie w przód polega na określeniu współrzędnych punktu wcinanego
P na podstawie pomiaru kątów poziomych: a, b w trójkącie ABP (rys. 8.20) ze stanowisk
A,B o znanych współrzędnych. Odcinek AB nazywa się bazą wcięcia, zaś celowe łączące
punkty znane z punktem szukanym, noszą nazwę celowych w przód, od której wywodzi się
nazwa tego wcięcia. Rozwiązanie zadania ma charakter jednoznaczny, ponieważ w
215
trójkącie ABP znane są tylko trzy elementy: długość
P
bazy d określona przez współrzędne punktów A, B
AB
g
oraz dwie obserwacje kątowe: a, b. Kolejność
czynności prowadzących do obliczenia współrzędnych
N
N
punktu wcinanego jest następująca:
1. Obliczyć azymut i długość boku AB ze
ABP
współrzędnych.
ABA
b
2. Obliczyć azymuty boków wcinających AP,
a
BP. Zgodnie z rys. 8.20 azymuty te wynoszą:
dAB A AAP
B
A = A + a oraz A = A b .
AP AB BP BA
AAB
3. Obliczyć długości boków AP, BP na podstawie
twierdzenia sinusów:
Rys. 8.20. Kątowe wcięcie w przód
dAB d
AB
d = sin b ; dBP = sina
AP
sin (a + b ) sin (a + b )
4. Obliczyć przyrosty boków wcinających:
Dx = d cos A , Dy = d sin A
AP AP AP AP AP AP
Dy = d cos A , Dy = d cos A .
AP BP BP BP BP BP
5. Dwukrotnie obliczyć współrzędne punktu P na podstawie:
a) współrzędnych punktu A i przyrostów boku AP:
X = X + Dx ; Y = Y + Dy ,
P A AP P A AP
b) współrzędnych punktu B i przyrostów boku BP:
X = X + Dx ; Y = Y + Dy .
P B BP P A BP
Zgodność obydwu par wyników stanowi kontrolę rachunkową.
5. Dokonać kontroli współrzędnych punktu P polegającej na dwukrotnym
określeniu trzeciego kąta trójkąta g:
a) jako dopełnienie kątów pomierzonych do 180 g = 180 (a+b )
pom.
b) na podstawie współrzędnych punktów: A, B, P.
Oba wyniki powinny być z sobą zgodne.
Ten stosunkowo przejrzysty przebieg obliczeń, polegający na rozwiązaniu trójkąta
ABP jest jednak wieloetapowy i dość pracochłonny. Zadanie obliczenia wcięcia w przód
można rozwiązać szybciej stosując wzór oparty na pomocniczych symbolach
rachunkowych Hausbrandta:
X YA X YB
A B
(8.58)
( X , YP ) =
P
- 1 ctg b +1 ctg a
(1,2)
Zaletą obliczeń za pomocą wzoru (8.58) jest otrzymywanie wyników po
podstawieniu danych wyjściowych do formy rachunkowej i wykonaniu jednego ciągu
obliczeń, bez potrzeby notowania rezultatów etapów pośrednich. Po przekształceniu
symboli rachunkowych Hausbrandta na postać algebraiczną otrzymamy:
216
X ctg b + YA + X ctg a - YB
A B
X =
P
ctg a + ctg b
(8.59)
- X + YA ctg b + X + YB ctg a
A B
YP =
ctg a + ctg b
Zestawiając formę rachunkową podaną we wzorze (8.58) należy przypisać
punktom znanym i pomierzonym kątom a, b, prawidłową konfigurację zgodną z rys. 8.20,
według której punkt A i kąt a muszą znajdować się po prawej stronie bazy wcięcia. Zmiana
konfiguracji (punkt A z lewej strony) powoduje otrzymanie błędnego wyniku obliczeń.
Kontrolę wcięcia przeprowadzamy tak jak w poprzednim sposobie tj. poprzez
dwukrotne obliczenie kąta g :
a) z dopełnienia kątów a, b g = 180 (a+b ),
pom.
b) ze współrzędnych punktów A, B, P po dostosowaniu wzoru (8.57):
"xPA "yPA
tg g =
obl.
"xPB "yPB 0
Trójkąt ABP powinien być tak zbudowany, aby kąt g zawierał się w przedziale od
30 do 150. Wynik wcięcia w przód jest najdokładniejszy, gdy boki wcinające AP, BP
przecinają się pod kątem prostym, a więc gdy: g =90.
Zaletą kątowego wcięcia w przód jest możliwość określania współrzędnych
punktów niedostępnych. Z uwagi na to, że omawiane zadanie jest jednoznacznie
wyznaczalne, a więc nie zapewnia kontroli obserwacji, zaleca się pomiar elementu
kontrolnego np. dodatkowego kąta, boku, wysokości trójkąta. Jeśli wcina się jednocześnie
kilka punktów, wtedy elementami sprawdzającymi mogą być zmierzone w terenie
i obliczone ze współrzędnych odległości między punktami wyznaczanymi.
8.11.2. Wcięcie liniowe
Wcięcie liniowe jest konstrukcją jednoznacznie wyznaczalną, polegającą na
określeniu współrzędnych punktu wcinanego P, na podstawie dwu odległości
pomierzonych pomiędzy punktem P a dwoma punktami znanymi A, B. Konstrukcję wcięcia
liniowego stanowi trójkąt ABP (rys. 8.21), którego podstawą jest baza wcięcia utworzona
przez punkty A, B o znanych współrzędnych, wierzchołkiem - punkt wyznaczany P, zaś
ramionami są boki wcinające o pomierzonych długościach : d = b oraz d = a (rys.
AP BP
8.21). Wcięcie liniowe jest wykorzystywane do zagęszczania osnowy pomiarowej
i zdejmowania szczegółów sytuacyjnych poprzez same pomiary liniowe, bez potrzeby
użycia węgielnicy i teodolitu.
Obliczenie wcięcia liniowego można zrealizować poprzez jego zamianę na wcięcie
kątowe w przód. Po obliczeniu długości odcinka AB (c=AB) ze współrzędnych,
wyznaczymy kąty a, b (oraz kąt g - dla kontroli) z twierdzenia Carnota (cosinusów) na
podstawie znanych długości boków trójkąta ABP:
217
P
- a2 + b2 + c2 Ca
cosa = =
2bc 2bc
g
+ a2 - b2 + c2 Cb
cos b = = (8.60)
2ac 2ac
a
b
h
+ a2 + b2 - c2 Cc
cosg = =
2ab 2ab
b p q
a
Pó
c=p+q
B A
Kontrola: a + b + g = 180
Rys. 8.21. Wcięcie
liniowe
Wyrażenia C , C , C noszą nazwę karnotianów, zaś ich suma jest równa sumie
a b c
kwadratów boków trójkąta, co można wykorzystać do kontroli ich obliczenia:
C +C +C = a2+b2+c2 (8.61)
a b c
Nieco łatwiej można wyznaczyć wartości kątów trójkąta a, b, g , stosując
twierdzenie Carnota tylko dla określenia jednego z nich, zaś dla pozostałych dwóch
twierdzenie sinusowe.
Wygodnym sposobem rozwiązania wcięcia liniowego w przód jest zastosowanie
pomocniczych symboli rachunkowych Hausbrandta i obliczenie współrzędnych punktu P
w oparciu o wzór:
X YA XB YB
A
(8.62)
( X , YP ) =
P
- 4P Cb + 4P Ca (1,2)
Po doprowadzeniu wzoru (8.61) do postaci algebraicznej otrzymamy:
X Cb + YA 4P + X Ca - YB 4P
A B
X =
P
Ca + Cb
- X 4 P + YA Cb + X 4P + YB Ca
A B
YP =
Ca + Cb
Wyraz 4P jest poczwórnym polem trójkąta ABP, które obliczymy na podstawie
karnotianów ze wzoru:
(8.63)
4P = Ca Cb + Ca Cc + Cb Cc
Dokładność określenia współrzędnych punktu za pomocą wcięcia liniowego
w przód zależy od dokładności pomiaru boków i kształtu trójkąta ABP. Najkorzystniejsze
wcięcie ma miejsce wtedy, gdy boki AP, BP przecinają się pod kątem prostym.
8.12. Obliczenie domiarów prostokątnych ze współrzędnych
Główne elementy planów realizacyjnych przed wyznaczeniem w terenie muszą
być opracowane geodezyjnie poprzez jednoznaczne określenie ich położenia za pomocą
współrzędnych. Ze współrzędnych oblicza się następnie miary potrzebne do wyniesienia
projektu w teren i wprowadza je do szkiców dokumentacyjnych, wykorzystywanych
podczas tyczenia obiektów. Jeśli metodą tyczenia będzie metoda ortogonalna, to należy
przeliczyć współrzędne lokalizujące obiekty na mapie projektu na domiary prostokątne.
218
Zadanie to jest odwrotnością zadania, polegającego na obliczeniu współrzędnych
punktów na domiarach prostokątnych, omówionego w ust. 8.4. Do wytyczenia metodą
rzędnych i odciętych punktu P o znanych współrzędnych, należy określić domiary
prostokątne l, h względem boku osnowy realizacyjnej, wyznaczonego przez dwa punkty A,
B o znanych współrzędnych. Zgodnie z wzorami (8.15) i (8.55) przyrosty współrzędnych
na odcinku AP wyniosą:
Dx = l cos A h sin A
AP
Dy = l sin A + h cos A
AP
Pomnóżmy obustronnie powyższe równania najpierw przez cos A, a następnie
przez ( sin A) . Otrzymamy wtedy dwie pary równań, które dodamy stronami:
Dx cos A= l cos2 A h sin A cos A Dx sin A = l sin A cos A + h sin2 A
AP AP
Dy sin A= l sin2 A + h sin A cos A +Dy cos A = +l sin A cos A + h cos2A
AP AP
Dx cos A + Dy sin A = l Dx sin A + Dy cos A = h
AP AP AP AP
Po uporządkowaniu równań sumowych wzory na domiary prostokątne obliczone
ze współrzędnych punktów: A, B, P przyjmą postać:
l = Dy sin A + Dx cos A
AP AP
(8.64)
h = Dy cos A Dx sin A
AP AP
Wzory (8.64) można zapisać za pomocą symboli rachunkowych S. Hausbrandta:
DyAP DxAP
(8.65)
(h, l) =
sin A cos A
1,2
Oznaczenia przyrostów występujących we wzorach (8.64), (8.65) wskazują na ich
obliczanie względem punktu wyjściowego A. Przyrosty Dx , Dy można zastąpić
AP AP
przyrostami: Dx , Dy pomiędzy sąsiednimi punktami rzutowanymi na daną prostą AB,
P-N P-N
przy czym symbole P,N oznaczają: P punkt poprzedni , N punkt następny. W ten sposób
zamiast domiarów l, h otrzymamy w wyniku obliczeń ich przyrosty: Dh , Dl , czyli:
P-N P-N
"yP -N "xP- N
(8.66)
("hP -N , "lP -N ) =
sin A cos A
1, 2
Zaletą takiego sposobu rachunku są kontrole obliczanych przyrostów oparte na
następujących poznanych w ust. 8.4.2 zależnościach:
[Dl] = d , czyli suma przyrostów miar bieżących jest równa długości odcinka prostej
AB
AB, na którą rzutujemy punkty, leżące poza prostą,
[Dh] = 0 , czyli suma przyrostów rzędnych jest równa zero (rzędna w prawo + , rzędna
w lewo ),
[Dx] = X X oraz [Dy] = Y Y , czyli suma przyrostów współrzędnych dla
B A B A
poszczególnych, bliskich punktów rzutowanych na prostą AB, podobnie jak w ciągu
obustronnie nawiązanym, jest równa różnicom współrzędnych (przyrostom)
obliczonym dla punktów końcowych prostej.
219
8.13. Zastosowanie programu WinKalk do obliczeń geodezyjnych
8.13.1. Informacje ogólne o programie
Spośród popularnych programów komputerowych wykorzystywanych do obliczeń
geodezyjnych można wymienić: Geo89, C-Geo, Geonet, WinKalk. Ich wspólną cechą jest
realizacja typowych geodezyjnych zadań, głównie z rachunku współrzędnych, w tym
wszystkich obliczeń podanych w niniejszym podręczniku.
Program WinKalk, rozpowszechniany przez firmę informatyczną Coder,
z siedzibą w Komorowie k. Warszawy, jest programem służącym do przeprowadzania
podstawowych obliczeń geodezyjnych. Po dokonaniu zakupu programu firma dostarcza
dyskietki instalacyjne, za pomocą których instaluje się program w systemie Windows.
Zaletami tego programu są: łatwa i prosta obsługa, praca w środowisku Windows
(3.1, 95/98, NT), duże możliwości prezentacji graficznej na ekranie monitora i drukarce
w postaci szkiców wykonywanych w skali zadeklarowanej przez użytkownika. Program
składa się z wersji bazowej dla obliczeń typowych i modułów do zadań specjalnych takich
jak: tyczenie tras, współpraca z rejestratorami polowymi, wyrównanie sieci płaskich
i niwelacyjnych, obliczanie objętości mas ziemnych. Zasada działania opiera się na użyciu
wielu formularzy (okienek) z których każdy realizuje inną funkcje obliczeniową (domiary,
tachimetria itd.). Każda funkcja umożliwia sporządzenie raportu z obliczeń i szkicu
obliczanej konstrukcji geodezyjnej.
Oprócz wersji bazowej użytkownik może za dopłatą zamówić kilka modułów
specjalnych:
Moduł Trasy - wspomagający tyczenie łuków i krzywych przejściowych.
Moduł Rejestrator zawierający pakiet funkcji do współpracy z
rejestratorami polowymi.
Moduł Wyrównanie pozwalający na przeprowadzenie wyrównania ścisłego
niewielkich sieci płaskich i niwelacyjnych.
a) b)
Rys. 8.22. Zadania geodezyjne programu WinKalk zawarte w menu: Pomiary i Obliczenia
Wersja bazowa programu WinKalk zawiera obliczenie następujących
geodezyjnych zadań zawartych w menu Pomiary (rys. 8.22 a) i Obliczenia (rys. 8.22 b):
współrzędnych punktów na prostej i domiarach prostokątnych,
współrzędnych prostokątnych punktów na domiarach biegunowych,
220
przecięcia prostych,
przecięcia z ramką sekcyjną,
ciągów sytuacyjnych i busolowych,
wcięć pojedynczych (kątowego, liniowego, przestrzennego, wstecz,
kombinowanego, w bok i stanowiska swobodnego),
dzienników niwelacji technicznej, precyzyjnej i trygonometrycznej,
objętości mas ziemnych,
danych do wyniesienia punktów o znanych współrzędnych metodą ortogonalną,
danych do analogicznego wyniesienia metodą biegunową,
azymutów i długości ze współrzędnych,
kątów ze współrzędnych,
pól ze współrzędnych,
transformacji współrzędnych.
projektowania działek na zadaną powierzchnię i wymiary,
tworzenia bazy działek danego obiektu pomiarowego.
a) b)
Rys. 8.23. Okno Wybór obiektu w programie WinKalk
Po instalacji programu, której przebieg opisany jest szczegółowo w
instrukcji obsługi, można rozpocząć użytkowanie programu, uruchamiając go
kliknięciem myszką w ikonę programu na pulpicie lub w folderze Geodezja
założonym podczas instalacji. Wszystkie dane, wyniki pomiarów i obliczeń oraz szkice są
grupowane w ramach obiektu pomiarowego o nazwie wybranej przez użytkownika. Po
pierwszym uruchomieniu programu lista obiektów jest pusta (rys. 8.23 a), a więc pierwszą
czynnością jest utworzenie nowego obiektu. Po naciśnięciu przycisku pojawia się
pole dialogowe (rys. 8.24), w którym wpisujemy nazwę obiektu np. Kraków i naciskamy
na klawiaturze komputera klawisz [Enter]. Obiekt zostaje utworzony i następuje
wyświetlenie głównego okna programu z wybraną nazwą obiektu na pasku tytułowym oraz
pozycjami menu (rys. 8.25).
Rys. 8.25. Główne menu programu WinKalk
Z reguły prace wykonywane za pomocą programu
rozpoczynamy od wpisania do bazy danych numerów
i współrzędnych punktów znanych np. należących do
osnowy wykorzystywanej do nawiązania pomiarów.
Chcąc wprowadzić nowe punkty do bazy danych obiektu
wybieramy z menu Punkty opcję Wpis (rys. 8.26).
Rys. 8.24. Wprowadzenie nazwy
Następuje wówczas wyświetlenie tabeli Nowy punkt
obiektu
221
Rys. 8.26. Opcja Wpis
punktów
(rys. 8.27), w komórkach której wpisuje
się numer punktu, współrzędne
i ewentualny kod. Przeglądanie danych
dotyczących punktów w oknie Punkty
Rys. 8.28. Edycja punktów wpisanych do bazy danych
może nastąpić po uruchomieniu
obiektu
polecenia: Punkty/Edycja (rys. 8.28).
W oknie tym znajduje się szereg przycisków, przy użyciu których można dokonać
następujących operacji:
Raport - edycja punktów w postaci stabelaryzowanego pliku RTF lub
drukowanie wykazu współrzędnych punktów,
szkic położenia punktów w wybranej skali,
wstawianie, usuwanie i odświeżanie danych,
kasowanie wszystkich punktów,
zamykanie okna,
filtrowanie punktów na podstawie ich numerów, kodów lub typów,
wyświetlanie punktów bliskich, mieszczących się w kole o zadanym promieniu,
poszukiwanie punktu o wybranym numerze,
zmiana atrybutów: numeru, kodu lub typu punktu,
statystyka punktów (ilość i zakresy współrzędnych),
przegląd punktów w dodatkowej bazie danych (po jej podłączeniu).
8.13.2. Obliczenie współrzędnych punktów posiłkowych
Spośród licznych zadań z rachunku
współrzędnych, do rozwiązania których możemy
wykorzystać program WinKalk, ograniczymy się do
przykładu obliczenia współrzędnych grupy punktów
posiłkowych podanego w ust. 8.4.
Rys. 8.27. Okienko wpisu nowego
punktu do bazy danych
222
Dane:
Punkt X Y
4950, 7251,
541
12 84
4964, 7064,
542
44 95
Rys. 8.29. Okno Domiary do
wpisu danych i obliczenia
współrzędnych punktów
posiłkowych
Po utworzeniu obiektu i
3 22,4
zapisaniu współrzędnych
7
2 15,6 punktów nawiązania 541, 542 w
bazie danych, w menu Pomiary
541
542
1
otwieramy zadanie Domiary ,
po czym w tabeli pokazanej na
rys. 8.29 wpisujemy oznaczenia
punktów: początkowego i
5
końcowego wyznaczających linię
4
pomiarową. Każdorazowe
wprowadzenie numeru punktu i naciśnięcie klawisza [Enter] powoduje automatyczne
ukazanie się w żółtych polach się jego współrzędnych pobranych z bazy. Jeśli nie ma
innego punktu zaczepienia (z miarą bieżącą 0,00), to zostaje nim domyślnie punkt
początkowy. Po wpisaniu symbolu punktu końcowego i naciśnięciu klawisza [Enter]
zostanie obliczona długość boku 541-542 ze współrzędnych. Należy także wpisać obok
pomierzoną długość boku 541-542 ( w przykładzie: 187,50 m).
Po wprowadzeniu w komórkach tabeli dla każdego punktu posiłkowego numeru
punktu, miary bieżącej i domiaru z odpowiednim znakiem (w prawo +, w lewo ),
następuje obliczenie współrzędnych danego punktu. Dla punktów na prostej nie musimy
przy tym wpisywać rzędnej 0,00. Ostateczne obliczenie zadania nastąpi po naciśnięciu
przycisku - Oblicz wszystko , zaś po uruchomieniu przycisku Raport zostanie
wyświetlone zestawienie rozwiązań zadania w postaci pliku RTF (załącznik 1). Wśród
wyników obliczeń podawana jest także odchyłka pomiędzy odległością pomierzoną i
obliczoną ze współrzędnych i odchyłka dopuszczalna. W razie przekroczenia odchyłki
maksymalnej na ekranie pojawia się odpowiednie ostrzeżenie.
124,5
78,1
6
2
47,9
12,4
34,7
0,00
187,5
3
0
23,9
5
4
0
223
Załącznik 1: Raport zadania Domiary w postaci pliku RTF
Data: 15-06-2002
Obiekt C:\WINKALK\Kraków
Strefa układu 65: 1
OBLICZENIE PUNKTÓW POMIERZONYCH METOD DOMIARÓW
Punkt początkowy: 541 X=4950,12 Y=7251,84
Punkt końcowy: 542 X=4964,44 Y=7064,95
Punkt zaczepienia: 541 X=4950,12 Y=7251,84
Długość linii pomiarowej 187,50
Odchyłka rzeczywista fl=-0,06 Odchyłka dopuszczalna fmax=0,13
Nr Bieżąca Domiar X Y
1 34,75 4952,77 7217,20
2 47,93 -15,68 4938,15 7202,87
3 47,93 -22,47 4931,38 7202,35
4 78,12 23,94 4979,95 7175,80
5 124,56 12,40 4971,99 7128,63
8.13.3. Obliczanie ciągów poligonowych
Dla przykładu obliczmy ciąg
pp
sytuacyjny, obustronnie nawiązany (do
1055
104-
tego samego boku kierunkowego)
21-00
pokazany na rys. 8.30. Ciąg został
pomierzony na obiekcie o nazwie
Zerwana . W menu System
p 5
pp
159-
wybieramy polecenie Zmiana obiektu ,
98-46-
1056 62-40
72 przez co pojawi się znane okienko
187-
Wybór obiektu . Na liście alfabetycznej
p 4
194-14-
37-50
p 1
wybieramy obiekt (rys. 8.23 b)
45
190-82-
i kursorem myszki naciskamy przycisk
30
[OK.], przechodząc do głównego okna
p 2
65-34- programu. Po wprowadzeniu w menu
40
p 3 Punkty/Wpis numerów i
Rys. 8.30. Szkic ciągu
współrzędnych punktów nawiązania
ciągu (1055, 1056) wchodzimy do menu Pomiary , po czym uruchamiamy polecenie
Poligon (rys. 8.22 a). W tabeli, która się wówczas pojawi (rys. 8.32), wybieramy opcję
Nawiązanie 2-stronne oraz rodzaj kątów Lewe . Nad tabelą jako nawiązanie
początkowe (punkt nawiązania kierunkowego) podajemy numer punktu 1056, zaś pod nią
symbol 1055 jako punkt kierunkowego nawiązania końcowego ciągu. Naciśnięcie klawisza
[Enter] po wprowadzeniu oznaczenia punktu powoduje każdorazowo automatyczny wpis
jego współrzędnych z bazy danych. Obecnie przystępujemy do wpisania danych w tabeli,
rozpoczynając zapis od punktu wierzchołkowego (1056) pierwszego kąta (98,4672g), który
zapisujemy obok w tym samym wierszu oraz długość boku (1056-p 1) - 104,28 m.
Podobnie zapisy dla pozostałych danych wprowadzamy do kolejnych wierszy tabeli.
Ostatnim zapisanym punktem jest punkt 1055 z wpisanym kątem 104,2100g, lecz bez wpisu
boku. Po wprowadzeniu powyższych danych kursorem myszki naciskamy znajdujący się
nad tabelą przycisk Oblicz wszystko (z wizerunkiem kalkulatora), otrzymując
odchyłki i pytanie czy należy je rozrzucić.
224
Rys. 8.31. Określenie odchyłki kątowej i liniowej ciągu oraz potwierdzenie jej rozrzucenia
Po dwukrotnym potwierdzeniu uzyskamy wyrównane współrzędne punktów
poligonowych. Zadanie można także wydrukować w postaci stabelaryzowanego pliku RTF
(patrz załącznik 2), który łatwo można skopiować do edytora tekstu Word, zaś za pomocą
klawisza wyświetlić szkic ciągu w wybranej skali (rys. 8.33). Szkic jest kartometryczny
i istnieje możliwość wprowadzania na jego rysunek innych punktów ze współrzędnych oraz
rysowania dodatkowych elementów sytuacyjnych. Służą do tego celu przyciski
narzędziowe pojawiające się po naciśnięciu klawisza . Zmiany wprowadzone na
standardowym szkicu trzeba zapisać na dysku, dobierając dla nowego szkicu odpowiednią
nazwę. Ponowny dostęp do zmodyfikowanego szkicu uzyskujemy po uruchomieniu ciągu
poleceń: System/Szkic/Szkic/Otwórz .
Rys. 8.32. Okno wprowadzania danych i obliczenia ciągu poligonowego
Oprócz ciągów obustronnie nawiązanych program może również obliczać ciągi
wiszące oraz ciągi bez nawiązania kierunkowego (bez kątów nawiązania na końcach
ciągu), przy zastosowaniu metody wliczeniowej. Zmiany opcji nawiązania dokonuje się
w polu Typ nawiązania okna pokazanego na rys. 8.32.
225
Załącznik 2: Raport zadania Poligon w postaci pliku RTF
Data: 28-05-2002
Obiekt C:\WINKALK\Zerwana
Strefa układu 65: 1
OBLICZENIE WSPÓARZDNYCH PUNKTÓW POLIGONU
Nawiązanie początku ciągu: 1055 X=5418295,27 Y=4559276,48
Nawiązanie końca ciągu : 1056 X=5418114,91 Y=4559118,76
Kąty: Lewe
Odchyłka kątowa: fk = 0,0123
Odchyłki liniowe: fx = -0,01 fy= -0,08 fl=0,08
Liczba kątów = 7 Suma boków = 965,85
Dopuszczalna odchyłka kątowa: fk max = 0,0490
Dopuszczalna odchyłka liniowa: fl max = 0,24
Nr Kąt Bok X Y
1056 98,4672 104,28 5418114,91 4559118,76
p1 187,3750 143,31 5418048,18 4559198,87
p2 190,8230 221,01 5417979,96 4559324,86
p3 65,3440 153,11 5417903,75 4559532,26
p4 194,1445 91,50 5418054,02 4559503,00
p5 159,6240 252,78 5418141,83 4559477,34
1055 104,2100 5418295,27 4559276,48
Rys. 8.33. Szkic obliczonego ciągu poligonowego (skala 1:5000)
8.13.4. Obliczanie współrzędnych punktów pomierzonych metodą biegunową
(tachimetria)
Po wybraniu menu Pomiary/Tachimetria program oblicza współrzędne
prostokątne i wysokości punktów (pikiet) pomierzonych metodą biegunową (np.
tachimetrami elektronicznymi) na podstawie np. kąta poziomego Hz, odległości poziomej
226
lub skośnej i kąta pionowego V. Pole wyboru odpowiedniej opcji znajduje się u góry okna
(rys. 8.35).
Rys. 8.34. Pole wyboru wprowadzania danych dla pomiarów sytuacyjno-wysokościowych
Należy również podać wysokość instrumentu i dla danego stanowiska oraz
wysokość celu s ( H celu ) dla poszczególnych pikiet. Ich numery, współrzędne
i wysokości zostają po obliczeniu wpisane do bazy punktów, skąd mogą być pobrane do
wykonania mapy sporządzanej za pomocą innego programu np. MikroMap. Jeśli w terenie
wykonano tylko pomiar sytuacyjny, wtedy zaznaczamy za pomocą myszki opcję bez H ,
co powoduje zniknięcie z tabeli kolumn związanych z pomiarem wysokościowym.
Rys. 8.35. Okno Tachimetria
Rozpoczynając obliczenie pikiet w ramach określonego obiektu z pomiaru
biegunowego, wybieramy menu Pomiary , a w nim polecenie Tachimetria , po czym
wprowadzamy dane definiujące elementy nawiązania osnowy pomiarowej tj. stanowisko
i jeden lub dwa punkty sąsiednie, na które wykonano orientację stanowiska. Wpisane
zostają: oznaczenia tych punktów, ich współrzędne X, Y oraz wartości kierunków
nawiązań. W przypadku dwóch takich kierunków program podaje odchyłkę pomiędzy
kątem otrzymanym z kierunków orientacyjnych a kątem obliczonym ze współrzędnych
punktów osnowy pomiarowej. Następnie zapisujemy w tabeli numery kolejnych pikiet i ich
domiary biegunowe: kierunek Hz i odległość zredukowaną, co powoduje sukcesywne
obliczanie współrzędnych prostokątnych zdejmowanych punktów.
227
5
6
5
6
6
6
4
5
6
5
1
3
8 m 2
6
6 2
Rys. 8.36. Szkic pikiet
5
5
6
5
5
5
5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
geodezja sprawko 33 wyklad Rysunek geodezyjnygeodezja 17 31ZG zgloszenie prac geodezyjnychGeodezja treści wykładuGeodezja wykład 5 pomiary liniowe i pomiary kątowe (04 04 2011)Notatki z neta notatek pl zaleznosci wyrazajace wzor brunsa oraz podstawowe rownanie geodezji fizy339 prawo geodezyjne i kartograficznewięcej podobnych podstron