WNUM S1 – 17 listopada 2009 r. (wtorek)

Zadanie 1 (12 pkt): Porównać błędy wyznaczenia wartości wyrażenia:

⎛ x ⎞

y =

⎜⎜ 1

ln

⎟⎟ dla x , x >1

1

2

⎝ x 2 ⎠

za pomocą dwóch algorytmów:

⎡ x 1⎤

x

A :

→ v

1

=

→ y = ln

1 ⎢

⎥

1

( v)

x

⎣ ⎦

x

2

2

⎡ ⎤

=

1

x

⎡ 1

v

ln( 1

x )⎤

→

→

= −

2

A :

y

v

v

⎢ ⎥

⎢

⎥

x

=

⎣ 2

v

⎦

⎣ 2 ln( x 2 )

2

1

2

⎦

Naszkicować granicę zbioru wartości x , x > 1

1

2

, dla których dokładniejszy jest algorytm 1

A .

Rozwiązanie: Analiza 1

A daje następujący wynik:

⎛ x

⎞

⎡ ⎛

⎞

⎤

~ y = ln 1

1

(1+η ) (1+η )

x

=

⎜⎜

⎟⎟

⎢ln 1 + ln(1+η )

⎜⎜

⎟⎟

⎥(1+η ) = y +η 1+η

d

l

d

l

[

d ](

) l

x

x

⎝ 2

⎠

⎣ ⎝ 2 ⎠

⎦

⎛

~

η ⎞

η

y = y 1 + d 1

(1+η

y 1

η

l )

⎛

⎞

=

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜ + d + l ⎟⎟

⎝

y ⎠

⎝

y

⎠

δ [

η

⎛ 1

⎞

⎛ 1

⎞

~

~

y

η

δ

1]

d

=

+

⇒

≤ ⎜

+ ⎟

1

=

+1

l

[ y 1]

eps

eps

⎜

⎟

⎜⎜

⎟⎟

y

y

⎝

⎠

⎝ y

⎠

Analiza 2

A daje następujący wynik:

~ y =

2

[ln( x 1)(1+η1)−ln( x 2)(1+η2)](1+η = ln x −ln x + ln x η −ln x η 1+η

o )

([ ( 1) ( 2) ( ( 1) 1

( 2) 2)]( o)

ln

~

η ln

η

y =

2

[ y + (ln( x 1)η −

1

ln( x 2 )η2 )](1+

x

x

η

y

1

1

2

2

1

η

o )

⎡

( ) − ( )

⎤

= ⎢ +

+ o⎥

⎣

y

⎦

δ [

ln

η − ln

η

⎛ ln

+ ln

⎞

1

1

2

2

1

2

⎛ ln

+ ln

⎞

~

~

y

η

δ

2 ]

( x )

( x )

=

+

⇒

≤ ⎜

+ ⎟

1

=

1

2 +1

o

[ y 2]

( x )

( x )

( x )

( x )

eps

eps

⎜

⎟

⎜⎜

⎟⎟

y

y

⎝

⎠

⎝

y

⎠

⎛ 1

⎞

⎛ ln( x 1)+ ln( x 2 ) ⎞

Lepsze gwarancje daje

+1

<

+

1

A , jeśli

eps

1 eps

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

, tzn.:

⎝ y

⎠

⎝

y

⎠

1

ln( x +

1 )

ln( x 2 )

+1 <

+1, czyli ln( x +

x

>

1 )

ln( 2 ) 1

y

y

1

Zadanie 2 (8 pkt): Wyznaczyć parametry lokalnej zbieżności, C and ρ , nastepującego algorytmu iteracyjnego (AI):

1

y

=

−

−

x ∈ ,

0 4

i 1

y

+

for

( )

i

[exp( yi) x]

2

przeznaczonego do wyznaczania y = ln( x).

Rozwiązanie: Wartość y = ln( x) jest jedynym punktem stacjonarnym AI. Prawą stronę AI: 1

ϕ( y = − exp

−

i )

yi

[ ( yi) x]

2

rozwijamy w szereg Taylor: 1

ϕ( y

ϕ y ϕ y

ϕ y

i ) =

( )+ (′ )Δ +

i

(′ ) 2

Δ + ...

2

i

gdzie:

1

1

ϕ( y) = y and ϕ (′ y) = 1− [exp( y)− ]

0 = 1 − exp( y) ≠ 0

2

2

Wnioskujemy stąd, że:

y + Δ

≅ y + ϕ′ y Δ

i +1

( ) i

⎛

1

⎞

Δ

≅

+

ϕ

1

(′ y)Δ ≡ ⎜1− exp( y)⎟Δ

i

i

i

⎝

2

⎠

a w konsekwencji:

1

1

ρ = 1 and C = 1− exp( y) = 1− x 2

2

Zbieżność jest zagwarantowana, ponieważ dla x ∈ ( , 0 4): C ∈ ( ,

0 )

1 , tzn. C < 1.

2