Zadanie 2 - instrukcja
Magdalena Rucka
Dana jest belka wspornikowa.
1. Wymodelować belkę za pomocą układu o jednym stopniu swobody (układ bez tłumienia), wyznaczyć wartości liczbowe masy m oraz sztywności k.
2. Obliczyć częstotliwość drgań własnych nietłumionych oraz porównać ją z częstotliwością uzyskaną dla modelu ciągłego.
3. Obliczyć częstotliwość drgań własnych tłumionych.
4. Napisać w środowisku MATLAB program rysujący wykres przemieszczenia w funkcji czasu u( t) dla drgań nietłumionych i tłumionych. Wykreślić wykresy dla 3 różnych zestawów warunków początkowych. Warunki początkowe dobrać samodzielnie.
Dane:
b = ……….. [cm]
h = ……….. [cm]
d = ……….. [cm]
L = ……….. [m]
E = ……….. [GPa]
= ……….. [kg/m3]
u 0 = ……….. [m]
v 0 = ……….. [m/s]
= ………..
Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Zadanie 2 - instrukcja
Magdalena Rucka
Rozwiązanie:
Układ ciągły można zamienić na układ dyskretny o jednym stopniu swobody poprzez skupienie masy m 3.516 EI
Częstość kołowa drgań nietłumionych dla modelu ciągłego:
n
2
L
k
Częstość kołowa drgań nietłumionych dla modelu dyskretnego o jednym stopniu swobody:
n
m
Częstość kołowa drgań tłumionych dla modelu dyskretnego o jednym stopniu swobody: 2
1
d
n
- częstość kołowa drgań własnych nietłumionych [rad/s]
n
- częstość kołowa drgań własnych tłumionych [rad/s]
d
- masa na jednostkę długości [kg/m]
m - masa skupiona [kg]
- bezwymiarowa liczba tłumienia Drgania swobodne zapoczątkowane są poprzez wytrącenie układu z pozycji równowagi, to znaczy przez przyłożenie w czasie t = 0 przemieszczenia początkowego u(0) u i/lub prędkości początkowej u(0) u .
0
0
u(0)
Drgania nietłumione opisane są równaniem: u( t) A cos t B sin t A u
B
n
n ,
(0),
n
u u
Drgania nietłumione opisane są równaniem: u( t)
nt
e
A cos t B sin t A u ,
n
B
.
d
d ,
0
0
0
d
Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Zadanie 2 - instrukcja
Magdalena Rucka
a) Obliczyć masę skupioną m (z ¼ długości belki) b) Obliczyć moment bezwładności przekroju I x
3
L
c) Obliczyć podatność belki wspornikowej
(wykresy momentów zginających + całkowanie graficzne).
11
3 EIx
1
d) Obliczyć sztywność belki k
11
k
e) Obliczyć częstość kołową drgań własnych nietłumionych
(układ o 1 stopniu swobody)
n
m
f) Obliczyć częstotliwość drgań
n
f
n
2
3.516 EI
g) Obliczyć częstość kołową drgań własnych nietłumionych modelu ciągłego:
n
2
L
h) Obliczyć częstość kołową drgań własnych tłumionych 2
1
d
n
(układ o 1 stopniu swobody)
i) W programie MATLAB narysować wykres krzywej opisującej drgania swobodne nietłumione u(0)
u( t) A cos t B sin t A u
B
n
n ,
(0),
n
j) W programie MATLAB narysować wykres krzywej opisującej drgania swobodne tłumione u u
u( t)
nt
e
A cos t B sin t A u ,
n
B
d
d ,
0
0
0
d
k) Skomentować wpływ różnych warunków początkowych na wykresy drgań Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Katedra Mechaniki Budowli i Mostów