ag stalowy
Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciągającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 215 MPa. Szukana siła P przyłożona jest w śro-dku ciężkości dwuteownika.
10 cm
P
L200x100x10
I120
10 cm
Rozwi ˛
azanie
Rozpatrywany przekrój ściągu jest przekrojem złożonym z dwóch kształtowników: dwuteownika I120 i kątownika nierównoramiennego L200x100x10. Wartości charakterystyk geometrycznych użytych kształtowników zaczerpnięto z „Tablic do projektowania konstrukcji stalo-wych”, W. Bogucki i M. Żyburtowicz, wyd. 6, Warszawa, 1995r. Poniżej, i na stronie następnej, zamieszczono potrzebne do rozwiązania rozpatrywanego zadania wielkości charakterystyczne w takim układzie współrzędnych, jaki przyjęty jest w „Tablicach”.
- dwuteownik I120:
Y
h = 120 mm
bf = 58 mm
X
h
A = 14,2 cm2
Ix = 328 cm4
Iy = 21,5 cm4
bf
1
- kątownik nierównoramienny L200x100x10:
η
Y
α
b = 200 mm
a = 100 mm
ex = 2,01 cm
ey = 6,93 cm
ξ
b
tg α = 0,263
A = 29,2 cm2
X
Ix = 1219 cm4
Iy = 210 cm4
e y
Iη = 135,2 cm4 = Imin
ex
a
W celu obliczenia maksymalnej dopuszczalnej wartości siły P należy obliczyć ekstremalne naprężenia w ściągu, traktując wartość siły P jako znaną, a następnie tak obliczone naprężenie porównać z wartością dopuszczalną.
W poniższym przykładzie zaprezentowane są dwa sposoby obliczenia napręże ń normalnych.
W pierwszym naprężenia określa się korzystając ze wzoru na naprężenia normalne względem osi głównych centralnych, w drugim z bardziej ogólnego wzoru na naprężenia normalne wzglę-
dem osi centralnych.
Niezależnie od przyjętego sposobu rozwiązanie zadania rozpoczą ć należy od określenia charakterystyk geometrycznych rozpatrywanego przekroju złożonego.
2
1. Wyznaczenie środka ciężkości
W celu wyznaczenia środka ciężkości przyjęto wstępny ukłąd współrzędnych Y1OZ1.
2,01 cm
10 cm
O = CI
Z1
CL
10 cm
Y1
6,93 cm
12 cm
10 cm
W tym układzie obliczone są momenty statyczne Sy i S :
1
z1
1
Sy = 14,2 · 0 + 29,2 ·
· 12 + 2,01
= 0 + 29,2 · 8,01 = 233,9 cm3
1
2
Sz = 14,2 · 0 + 29,2 · (10 − 6,93) = 0 + 29,2 · 3,07 = 89,64 cm3
1
Pole przekroju A ma zaś wartość
A = 14,2 + 29,2 = 43,4 cm2
Tak więc, środek ciężkości C ma następujące współrzędne w układzie Y1OZ1: S
89,64
y
z1
c =
=
= 2,066 cm
A
43,4
S
233,9
z
y1
c =
=
= 5,389 cm
A
43,4
3
2. Wyznaczenie centralnych momentów bezładności
Przyjmijmy nowy centralny układ współrzędnych YcCZc.
2,01 cm
5,389 cm
10 cm
O = CI
2,066 cm
Z1
Zc
C
CL
10 cm
Y1 Y
6,93 cm
c
12 cm
10 cm
Dla tak przyjętego układu współrzędnych obliczane są, przy pomocy wzorów Steiner’a, cen-tralne momenty bezwładności:
Iy = 328 + 14,2 · (−5,389)2 + 210 + 29,2 · (−5,389 + 8,01)2 =
c
= 328 + 412,4 + 210 + 29,2 · 2,6212 = 1151 cm4
Iz = 21,5 + 14,2 · (−2,066)2 + 12194 + 29,2 · (−2,066 + 3,07)2 =
c
= 21,5 + 60,58 + 1219 + 29,2 · 1,0042 = 1331 cm4
Aby obliczyć dewiacyjny moment bezwładności Iy z rozpatrywanego przekroju potrzebna jest c
c
znajomość dewiacyjnego momentu bezwładności kątownika nierównoramiennego wchodzą-
cego w skład przekroju złożonego (dla dwuteownika jest on oczywiście równy zeru, gdyż dwuteownik jest figurą symetryczną). Nieznany moment kątownika można łatwo obliczy ć wykorzystując inne wielkości charakterystyczne kątownika. W tym celu wystarczy przekształci ć znany wzór na wartośc kąta nachylenia osi głównych:
−2I
1
tg 2α =
xy
=⇒
I
(I
I
xy = −
x − Iy ) · tg 2α
x − Iy
2
Wartości Ix i Iy są dane, zaś kąt α obliczamy następująco:
tg α = 0,263
=⇒
α = 14, 74o
Stąd wartość biegunowego momentu bezwładności kątownika nierównoramiennego wchodzą-
cego w skład przekroju złożonego jest równa:
1
Ixy = − (1219 − 210) · tg(2 · 14,74o) = −285,1 cm4
2
4
Inna metoda obliczenia nieznanej wartości Ixy polega na wykorzystaniu zależności pomiędzy warościami momentów bezwładności:
- wzoru na promień koła Mohra
J
2
2
2
2
x − Jy
J
J
J
+
1 − J2
1 − J2
J 2 =
=⇒ J 2 =
−
x − Jy
2
xy
2
xy
2
2
- niezmiennika sumy momentów bezwładności
Jx + Jy = J1 + J2 =⇒ J1 = Jx + Jy − J2
Po podstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy:
J1 = 1219 + 210 − 135,2 = 1293,8 cm4
1293,8 − 135,2 2
1219 − 2102
J 2 =
−
= −284,7 cm42
xy
2
2
Jak widać wyniki otrzymane dwoma metodami różnią się. Jest to spowodowane zaokrągleniami wartości tg α oraz Jmin charakteryzujących przekrój kątownika L200x100x10, które zostały wykorzystane do obliczenia Jxy. Zakładając, że obie te wielkości charakterystyczne obarczone są identycznym błędem zasadne jest przyjęcie do dalszych oblicze ń średnią arytmetyczną tych dwóch wartości.
−285,1 − 284,7
Jxy =
= −284,9 cm4
2
Tak więc, można już obliczyć wartość momentu dewiacyjnego Iy z rozpatrywanego przekroju c
c
złożonego:
Iy z = 0 + 14,2 · (−5,389) · (−2,066) + 284,9 + 29,2 · 1,004 · 2,621 = 519,8 cm4
c
c
Dalszy algorytm postępowania uzależniony jest od przyjętego sposobu rozwiązywania. W przypadku obliczania napręże ń normalnych względem osi głównych centralnych należy w pierwszej kolejności wyznaczyć te osie.
SPOSÓB A - obliczenia przy użyciu wzorów określonych dla osi głównych centralnych 3.A. Wyznaczenie głównych centralnych osi i momentów bezładności Kąt nachylenia osi głównych Y i Z obliczamy następująco:
−2I
−2 · 519,8
tg 2α =
y z
c
c
=
= 5,790
=⇒
2α = 80,20o
=⇒
Iy − Iz
1151 − 1331
c
c
=⇒
α = 40,10o
5
2,01 cm
Z
10 cm
O = CI
Zc
C
CL
10 cm
Y
Y
6,93 cm
c
12 cm
10 cm
Zaś w celu obliczenia momentów głównych centralnych korzystamy z poniższego wzoru: 1
1 q
I1,2 =
(I + I ) ±
(I − I )2 + 4I 2
2
y
z
y
z
c
c
2
c
c
y z
c
c
W rozpatrywanym przypadku
1
1 q
I1,2 =
(13314 + 1151) ±
(1331 − 1151)2 + 4 (−519,8)2 =
2
2
= (1241 ± 527,5) cm4
Tak więc, maksymalny główny centralny moment bezwładności I1 odpowiadający momentowi Iz (gdyż Iz > Iy ) oraz moment minimalny I2 = Iy mają wartości: c
c
I1 = 1241 + 527,5 = 1768 cm4
= Iz
I2 = 1241 − 527,5 = 713,2 cm4
= Iy
Sprawdzenie poprawności obliczeń można wykonać na dwa sposoby: Iy + Iz = I1 + I2
c
c
1331 cm4 + 1151 cm4 = 1768 cm4 + 713,2 cm4
2482 cm4 = 2482 cm4
Iy Iz − (Iy z )2 = I1I2
c
c
c
c
1331 cm4 · 1151 cm4 − (−519,8 cm4)2 = 1768 cm4 · 713,2 cm4
1261194 cm8 = 1261194 cm8
Równoznaczność otrzymanych wyników z lewej i prawej strony potwierdza poprawność obliczeń.
6
4.A. Obliczenie mimośrodów siły
Aby wyznaczyć współrzędne punktu przyłożenia siły we współrzędnych Y CZ, które są jed-nocześnie mimośrodami przyłożenia siły, konieczne jest wyprowadzenie wzoru transformu-jącego znane współrzędne YcCZc na współrzędne szukane. W rozpatrywanym przypadku wzór ten ma postać:
y = yc cos α + zc sin α = yc cos 40,10o + zc sin 40,10o = 0,7649yc + 0,6441zc (?)
z = −yc sin α + zc cos α = −yc sin 40,10o + zc cos 40,10o = −0,6441yc + 0,7649zc Współrzędne punktu P przyłożenia obciążenia w układzie YcCZc mają wartość: yP = −2,066 cm
c
zP = −5,389 cm
c
co oznacza, że mimośrody siły są równe:
yP = 0,7649 · (−2,066) + 0,6441 · (−5,389) = −5,051 cm
= ey
zP = −0,6441 · (−2,066) + 0,7649 · (−5,389) = −2,792 cm
= ez
5.A. Obliczenie sił przekrojowych
Zakłada się, że skłądowe momentu zginającego mają znak dodatni, jeśli wektory, które je reprezentują mają kieruneki zgodne z kierunkami osi. Siła normalna jest zaś dodatnia wtedy, gdy powoduje rozciąganie przekroju. Przy takich założeniach w dowolnym przekroju ściągu występują następujące siły wewnętrzne:
N = P
My = N · ez = −2,792 · P
Mz = −N · ey = 5,051 · P
6.A. Wyznaczenie wzoru na napręzenia normalne
Ponieważ mimośrodowe rozciąganie można traktować jako złożenie dwóch przypadków zgi-nania prostego i rozciągania osiowego, naprężenia normalne można zapisa ć w następującej postaci:
N
M
M
σ
z
y
x = σN + σMz + σMy =
±
y ±
z
x
x
x
A
Iz
Iy
Znak przed składnikami naprężenia zależnymi od momentów zginających ustala się przepro-wadzając następującą analizę:
Załóżmy, że moment Mz jest dodatni. Reguła śruby prawoskrętnej mówi, że taki moment powoduje ściskanie włókien o dodatniej współrzędnej y. Oznacza to, że dla Mz > 0 i y > 0 naprężenie σMz jest ujemne. Ponieważ moment bezwładności x
Iz jest zawsze większy od zera naprężenie normalne zależne od momentu Mz musi być więc opisane wzorem:
M
σM
z
z
= −
y
x
Iz
7
Analogicznie określamy znak we wzorze na naprężenie normalne zależne od momentu My: Załóżmy, że moment My jest dodatni. Reguła śruby prawoskrętnej mówi, że taki moment powoduje rozciąganie włókien o dodatniej współrzędnej z. Oznacza to, że dla My > 0 i z > 0 naprężenie σMy
x
jest dodatnie. Ponieważ moment bezwładności
Iy jest zawsze większy od zera naprężenie normalne zależne od momentu Mz musi być opisane wzorem:
M
σM
y
y
= +
z
x
Iy
Stąd ostatecznie:
N
M
M
σ
z
y
x = σN + σMz + σMy =
−
y +
z
x
x
x
A
Iz
Iy
7.A. Wyznaczenie osi obojętnej
Oś obojętną wyznaczamy wiedząc, że naprężenia na niej panujące są równe zero, stąd: N
M
M
σ
z
y
x = 0
=⇒
−
y +
z = 0
=⇒
A
Iz
Iy
P
5,051P
−2,792P
=⇒
−
y +
z = 0
=⇒
43,4
1768
713,2
=⇒
2,304 · 10 2
3
3
− P − 2,857 · 10− P y − 3,914 · 10− P z = 0
Aby obliczyć współrzędne przecięcia osi głównych centralnych Y i Z przez szukaną oś obojętną należy przekształcić powyższe równanie prostej na postać odcinkową.
y
z
+
= 1
ay
az
Przy czym
2,304 · 10 2
−
ay = −
= 8,066 cm
−2,857 · 10 3
−
2,304 · 10 2
−
az = −
= 5,886 cm
−3,914 · 10 3
−
Tak więc równanie osi obojętnej ma postać:
y
z
σx = 0
=⇒
+
= 1
8,066
5,886
Z powyższych przekształce ń wynika, że oś obojętna przechodzi przez punkty (5,886 cm;0) i (0;8,066 cm).
8
Z
C
1
2
Y
8.A. Wyznaczenie napręże ń w punktach przekroju najbardziej oddalonych od osi obojętnej
Najbardziej oddalone od osi obojętnej punkty przekroju oznaczono jako 1 i 2. Współrzędne tych punktów w układzie YcCZc wynoszą odpowiednio:
1
y1 = −2,066 +
· 5,8 = 0,834 cm
c
21
z1 = −5,389 −
· 12 = −11,389 cm
c
2
y2 = −2,066 + 10 = 7,934 cm
c
1
z2 = −5,389 +
· 12 + 10 = −11,611 cm
c
2
zaś ich współrzędne w układzie Y CZ obliczam wykorzystując wzór (?) wyprowadzony w po-drozdziale 4.A.:
y1 = 0,7649 · 0,834 + 0,6441 · (−11,389) = −6,698 cm
z1 = −0,6441 · 0,834 + 0,7649 · (−11,389) = −9,904 cm
y2 = 0,7649 · 7,934 + 0,6441 · (−11,611) = −9,249 cm
z2 = −0,6441 · 7,934 + 0,7649 · (−11,611) = 3,006 cm
9
Podstawiając otrzymane współrzędne do wzoru na naprężenia, otrzymujemy maksymalne i mi-nimalne wartości naprężeń w przekroju złożonym.
σ1 = σ
x
x (−6,698 cm; −9,904 cm) =
= 2,304 · 10 2
3
3
− P − 2,857 · 10− P · (−6,698) − 3,914 · 10− P · (−9,904) =
= 7,838 · 10 2
− P = σmax
σ2 = σ
x
x (−9,249 cm; 3,006 cm) =
= 2,304 · 10 2
3
3
− P − 2,857 · 10− P · (−9,249) − 3,914 · 10− P · 3,006 =
= −2,558 · 10 2
− P = σmin
W ten sposób obliczone zostały interesujące nas ekstremalne wartości naprężeń normalnych.
oś obojętna
7,838
-2,558
σ [10 P/cm ]
-2
2
9.A. Obliczenie dopuszczalnej siły P
Dopuszczalną wartość siły P obliczymy porównując największe, niezależnie od znaku, naprę-
żenie w przekroju z naprężeniem dopuszczalnym. Ponieważ oblicze ń dokonywaliśmy w cen-tymetrach musimy przekształcić wartość σdop.
kN
kN
kN
σdop = 215 MPa = 215 · 103
= 215 · 103
= 21,5
m2
104cm2
cm2
10
kN
max σ1; |σ2| = σ1 = 7,838 · 10 2
− P
≤
σ
=⇒
x
x
x
dop = 21,5 cm2
21,5
=⇒
P ≤
= 274,3 kN
7,838 · 10 2
−
Tak więc ostatecznie
Pdop = 274,3 kN
Te same wyniki otrzymać można stosując obliczenia względem osi centralnych, tj. w rozpatrywanym przypadku osi Yc i Zc.
SPOSÓB B - obliczenia przy użyciu wzorów określonych dla osi centralnych 3.B. Obliczenie mimośrodów siły
Współrzędne punktu P przyłożenia obciążenia w układzie YcCZc mają wartość: yP = −2,066 cm
c
zP = −5,389 cm
c
4.B. Obliczenie sił przekrojowych
Niezmieniając opisanych w punkcie 5.A. założe ń dotyczących znaków sił wewnętrznych można zapisać wartości sił przekrojowych:
N = P
My = −5,389 · P
c
Mz = 2,066 · P
c
5.B. Wyznaczenie wzoru na naprężenia normalne
Wzór na naprężenia normalne w rozpatrywanym układzie współrzędnych ma posta ć: N
J
M
+ J M
J
M + J M
σ
y z
y
y
z
y z
z
z
y
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
x =
+
y −
z
A
J 2 − J J
J 2 − J J
y z
y
z
y z
y
z
c
c
c
c
c
c
c
c
11
Podstawiając znane wartości sił i momentów bezwładności otrzymujemy: P
519,8 · (−P · 5,389) + 1151 · P · 2,066
σx =
+
y +
43,4
519,82 − 1151 · 1331
519,8 · P · 2,066 + 1331 · (−P · 5,389)
−
z =
519,82 − 1151 · 1331
P
−424,2 · P
−6097
=
+
y −
z =
43,4
−1261194
−1261194
= 2,304 · 10 2
4
3
− P + 3,363 · 10− P y − 4,834 · 10− P z
6.B. Wyznaczenie osi obojętnej
W celu wyznaczenia równania osi obojętnej należy przyrówna ć wzór na naprężenia normalne do zera. Niezerowe współrzędne punktów przecięcia osi współrzędnych z osią obojętną mają wartości:
2,304 · 10 2
−
ay = −
= −68,51 cm
c
3,363 · 10 4
−
2,304 · 10 2
−
az = −
= 4,766 cm
c
−4,834 · 10 3
−
oś obojętna
C
1
Zc
Yc
2
12
7.B. Wyznaczenie napręże ń w punktach przekroju najbardziej oddalonych od osi obojętnej
Z zamieszczonego na poprzedniej stronie rysunku widać, że najbardziej oddalonymi od osi obojętnej punktami są punkty 1 i 2, których współrzędne wynoszą: y1 = −2,066 cm + 2,9 cm = 0,8345 cm
z1 = −5,389 cm − 6 cm = −11,389 cm
y2 = −2,066 cm + 10 cm = 7,934 cm
z2 = −5,389 cm + 6 cm + 10 cm = 10,61 cm
Podstawiając obliczone współrzędne do wzoru na naprężenia otrzymujemy naprężenia ekstremalne.
σ1 = σ
x
x (0,8345 cm; −11,389 cm) =
= 2,304 · 10 2
4
3
− P + 3,363 · 10− P · 0,8345 − 4,834 · 10− P · (−11,389) =
= 7,838 · 10 2
− P = σmax
σ2 = σ
x
x (7,934 cm; 10,61 cm) =
= 2,304 · 10 2
4
3
− P + 3,363 · 10− P · 7,934 − 4,834 · 10− P · 10,61 =
= −2,558 · 10 2
− P = σmin
oś obojętna
7,838
-2,558
σ [10 P/cm ]
-2
2
13
8.B. Obliczenie dopuszczalnej siły P
Sprawdzenie warunku nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne prowadzi do obliczenia dopuszczalnej wartości siły P .
max (σmax; |σmin|) 6 σdop
=⇒
1
103 kN
kN
=⇒
7,838 · 10 2
−
P
6
215 MPa = 215 ·
= 21,5
=⇒
cm2
104 cm2
cm2
=⇒
P 6 274,3 kN
=⇒
Pdop = 274,3 kN
Jak łatwo zauważyć zastosowanie ogólniejszego wzoru (obowiązującego w układzie współrzędnych nie będących głównymi) nie wymaga wyznaczania współrzędnych punktu w obróconym układzie współrzędnych oraz obliczania charakterystyk przekroju w osiach głównych. Tak więc zastosowanie sposobu B w rozpatrywanym przypadku jest bardziej racjonalne ze względu na nakład obliczeń.
14