26 listopada 2012 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 10
Zadanie 1 Sprawdzić czy podane odwzorowania są liniowe:
a) f
3
3
1 : R −→ R ,
f 1( x, y, z) = ( y − x, x + z, y − z);
b) f
3
3
2 : R −→ R ,
f 2( x, y, z) = ( y + x + z, 3 x − 2 y − z, 2 z + 4 y); c) f
3
4
3 : R −→ R ,
f 3( x, y, z) = ( x − y − 2 , 2 + y − z, z + y, x − 2 y); d) f
2
2
4 : R −→ R ,
f 4( x, y) = ( x 2 − y 2 , 2 xy);
e) f
2
3
5 : R −→ R ,
f 5( x, y) = ( x + 2 y, 1 − x − y, 3 x + y 2); f) f
4
3
6 : R −→ R ,
f 6( x, y, z, t) = ( x + y, x + z, x + t); g) f
4
4
7 : R −→ R ,
f 7( x, y, z, t) = (2 x − 2 y, 2 z + 2 t, x + y − z − t, x − y + 2 t); h) f
4
2
8 : R −→ R ,
f 8( x, y, z, t) = ( x − y + 2 z, 4 x − y + 3 z − t); i) f
n
m
9 : R
−→ R ,
f 9( x 1 , x 2 , . . . , xn) = ( x 1 , x 1 + x 2 , x 1 + x 2 + x 3 , . . . , x 1 + . . . + xn); j) f
n
m
10 : R
−→ R ,
f 10( x 1 , x 2 , . . . , xn) = ( x 1 − x 2 , x 3 − x 4 , x 5 − x 6 , . . . , xn− 1 − xn).
Dla tych odwzorowań, które są liniowe, wyznaczyć Ker f , Im f , ich bazy i wymiary oraz macierze tych odwzorowań.
Zadanie 2 Dla podanych odwzorowań liniowych wyznaczyć Ker f , Im f , ich bazy i wymiary.
a) f
3
2
1 : R
−→ R ponadto wiadomo, że f(1 , 1 , 1) = (1 , − 2), f(1 , 2 , 0) = (3 , − 4), f (0 , 1 , 0) = (1 , − 3);
b) f
3
3
2: R
−→ R ponadto wiadomo, że f(0 , 3 , 1) = ( − 1 , 4 , − 2), f(1 , 0 , 0) = (1 , 0 , − 2), f (1 , 1 , 0) = (0 , 1 , − 3).
Zadanie 3 Znaleźć macierz odwzorowania f:
2
2
R −→ R , gdzie f jest symetrią względem
prostej: a) y = x, b) y = −x w bazie standardowej.
Zadanie 4 Znaleźć macierz odwzorowania f :
2
2
R −→ R , gdzie f jest obrotem wokół
początku układu współrzędnych o kąt α (przyjąć kartezjański, prostokątny układ współ-
rzędnych).