Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek: Inżynieria Środowiska.

Lista zadań nr 2 do kursu Fizyka 1. Rok. ak. 2011/12

Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz obszerniejsze listy zadań do kursu są dostępne na stronie

http://www.if.pwr.wroc.pl/index.php?menu=studia&left_menu=jkf. Student jest zobowiązany do wydrukowania

ww. tabel i przynoszenia na zajęcia. Lista nr 2 ma za zadanie zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-

fizycznej i nabycie umiejętności rozwiązywania prostych równań ruchu w oparciu o II zasadę dynamiki.

10. Dynamika rzutu ukośnego. Ciało o masie m wyrzucono przy powierzchni ziemi pod kątem

ostrym α do poziomo nadając mu prędkość początkową v0.

A) Wyznaczyć składowe wektora prędkości początkowej ciała.

B) Przyjmując, że:

• ciało wyrzucono z początku prostokątnego układu współrzędnych OXYZ,

• ciało porusza się w płaszczyźnie OXY, przy czym oś OX jest pozioma a OY pionowa,

• jedyną siłą działającą na ciało jest stała siła ciężkości (siła grawitacyjna) Q1,

d V

d R

i korzystając z II zasady dynamiki ( m

= F

)2 oraz wzoru

= V :

wypadkowa

d t

d t

a) wyznaczyć współrzędne wektorów: siły ciężkości Q = [ Q x, Q y] i przyspieszenia chwilowego ciała a = ( a x, a y) w przyjętym układzie współrzędnych,

b) podać wektorową postać równania ruchu ciała (zastosować II zas. dynamiki) a następnie

sformułować matematyczne skalarne postacie równań ruchu w kierunku osi OX i OY,

c) całkując równanie ruchu z punktu b) i korzystając z podanych warunków początkowych

wyznaczyć

zależności

od

czasu

składowych

wektora

prędkości

chwilowej

V( t) = [ V x ( t), V y( t)] = V x ( t) i + V y ( t) j, d) wyznaczyć zależność od czasu t długości | V( t)| = V( t) wektora prędkości chwilowej, e) całkując równanie ruchu z punktu c) i korzystając z podanych warunków początkowych

wyznaczyć

zależności

od

czasu

składowych

wektora

(promienia)

wodzącego3

R( t) = [ X ( t), Y( t)] = X( t) i + Y ( t) j, f) wyprowadzić równanie toru (trajektorii) ruchu ciała, tj. zależność Y( X),

g) wyznaczyć zasięg ruchu, czas t w wznoszenia się na największą wysokość Y max, wartość Y max, czas t s spadku z wysokości Y max, całkowity czas t c ruchu; czy prawdą jest, że t w = t s?

h) wyznaczyć zależność przyspieszenia stycznego a s( t) od czasu4,

1 Na oznaczenia wielkości fizycznych wektorowych będą używane zamiennie symbole: F, f (duża/mała litera ze strzałką nad nią) lub F, f (duża/mała litera pisane czcionką pogrubioną (bold)). Długości wektorów będą oznaczane symbolami F, f.

d A

d A

d A

d A

2

y

Wyrażenie typu m

= B jest równoważne układowi 3 równań skalarnych:

x

m

= B , m

= B ,

z

m

= B .

d t

d

x

t

d

y

t

d

z

t

3 Wektor wodzący – dla danego punktu A to wektor zaczepiony w początku prostokątnego układu współrzędnych i o końcu w

punkcie A. W fizyce wektor wodzący jest wektorem położenia ciała względem początku układu współrzędnych. Długość wektora wodzącego, czyli promienia wodzącego, jest odległością punktu od początku układu współrzędnych.

i) wyznaczyć zależność przyspieszenia normalnego a n( t) od czasu,

2

V ( t )

j) promień krzywizny ρ ( t) toru w danym punkcie trajektorii określa wzór ρ( t) =

a ( t ) ;

n

wyznaczyć ρ ( t) toru ciała wykonującego rzut ukośny,

k) pokazać, że w trakcie ruchu wartość sumy 2

V ( t ) + 2 gY ( t ) jest stała, tj. nie zależy od czasu t;

korzystając z tego wyniku obliczyć wartość prędkości z jaką ciało uderzy o powierzchnię,

l) obliczyć pochodne względem czasu wyznaczonych zależności V x ( t), V y( t), X ( t) i Y( t), m) obliczyć wybrane wartości wyznaczonych wcześniej wielkości kinematycznych dla m = 0,2

kg, v0 = (3, 4) = 3i +4j; wartości prędkości podano w jednostkach SI.

11. Dynamika rzutu poziomego. Ciało o masie m rzucono poziomo z wysokości y 0 przy powierzchni

ziemi nadając mu prędkość początkową v

≠

0 = (vx0

0, vy0 = 0) = vx0i. Wykonać samodzielnie

polecenia pkt. A) i B) z zadania 10 wzorując się na rozwiązaniu poprzedniego zadania. Obliczyć

wybrane wartości wyznaczonych wcześniej wielkości kinematycznych dla m = 0,3 kg, v0 = (5, 0) =

5i; wartości prędkości w SI. Jak zmienią się wyniki zadania, jeśli opisane ciało wyrzucimy

z prędkością v

≠

≠

0 = (vx0 0, vy0 0) = vx0i + vy0j dla vy0 > 0 lub vy0 < 0?

12. Dynamika ruchu ciała po równi pochyłej. Ciało o masie m spoczywające (v0 = 0) początkowo na

równi o wysokości H zaczyna zsuwać się wzdłuż równi. Współczynnik tarcia wynosi µ. W

prostokątnym układzie współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY

jest do niej prostopadła:

a) wyznaczyć współrzędne wektorów sił przyłożonych do ciała: ciężkości Q = [ Q x, Q y], tarcia

T = [ T x, T y] i siły reakcji równi R = [ R x, R y] oraz wektora przyspieszenia chwilowego ciała a =

( a x, a y) w przyjętym układzie współrzędnych,

b) podać wektorową postać równania ruchu ciała (zastosować II zas. dynamiki) a następnie

sformułować matematyczne postacie skalarnych równań ruchu w kierunku osi OX i OY,

c) całkując równanie ruchu z punktu b) i korzystając z podanych warunków początkowych

wyznaczyć zależności od czasu składowych wektora prędkości chwilowej V( t) = [ V x ( t), V y( t)], d) wyznaczyć zależność od czasu t długości | V( t)| = V( t) wektora prędkości chwilowej, e) całkując równanie ruchu z punktu c) i korzystając z podanych warunków początkowych

wyznaczyć zależności od czasu składowych wektora (promienia) wodzącego R( t) = [ X ( t), Y( t)], f) wyznaczyć czas ruchu ciała po równi oraz wartość prędkości końcowej ciała,

g) ile wynosi ρ ( t) toru ciała zsuwającego się po równi5,

h) wyznaczyć zależność przyspieszenia stycznego a s( t) i przyspieszenia normalnego a n( t) od czasu, i) jak zmienią się wyniki zadania, jeśli ciało ruszy z prędkością v0 ≠ 0 w dół lub w górę równi?

Wrocław, 26 września 2011

W. Salejda

d V

4 Wskazówka: a ( t) =

.

s

d t

5 Wskazówka: Wektor prędkości chwilowej dowolnego ruchu płaskiego można zawsze przedstawić w postaci

V

V = V ⋅

= V ⋅τ, gdzieτ jest wersorem (V > 0) w każdym punkcie toru stycznym do trajektorii o zwrocie i kierunku V ; V

dτ

wektor przyspieszenia całkowitego a = a + a , gdzie a jest wektorem prostopadłym do a i a =

. Czy w

s

n

s

n

n

d t

rozpatrywanym ruchu zmienia się wartość i kierunek wersora τ ?