Kierunek Informatyka i Ekonometria

Pytania na egzamin ustny z analizy matematycznej

1. Podać definicję granicy ciągu punktów z rozszerzonej prostej. Podać twierdzenie o trzech ciągach i twierdzenie o granicy ciągu monotonicznego.

2. Podać definicję zbieżności szeregu liczbowego o wyrazach an i warunek konieczny zbieżności takiego szeregu. Podać wybrane kryteria zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych.

3. Podać definicję metryki i przestrzeni metrycznej. Podać definicję zbioru otwartego, domkniętego, punktu skupienia i brzegu zbioru.

4. Podać definicję przestrzeni zwartej, spójnej i zupełnej. Podać odpowiednie przykłady.

5. Podać definicję przekształcenia ciągłego przestrzeni metrycznych i twierdzenie o równoważnych określeniach ciągłości. Co to jest przekształcenie jednostajnie ciągłe.

6. Podać twierdzenia o własnościach przekształceń ciągłych, w szczególności twierdzenie o własnościach funkcji ciągłej określonej na zbiorze zwartym oraz na zbiorze spójnym. Podać interpretację geometryczną ciągłości.

7. Podać definicję pochodnej funkcji f ( x) w punkcie x 0

i jej interpretację geometryczną.

8. Podać warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum w punkcie funkcji różniczkowalnej.

9. Podać definicję zbieżności jednostajnej i punktowej ciągu funkcyjnego. Sformułować twierdzenie dotyczące własności granicy ciągu funkcyjnego.

10. Podać definicję wielomianu Taylora i szeregu Taylora funkcji. Podać przykład zastosowania.

11. Podać definicję funkcji pierwotnej dla funkcji

f ( x) . Jakie funkcje mają funkcje pierwotne.

Czy funkcja pierwotna jest wyznaczona jednoznacznie.

12. Podać definicję całki oznaczonej z funkcji ciągłej w przedziale [ a, b]. Podać interpretację całki oznaczonej i wymienić jej zastosowania.

13. Sformułować twierdzenie Fubiniego i twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej.

Opisać na przykładzie ich zastosowanie.

14. Podać definicję funkcji Gamma i opisać jej podstawowe własności. Podać definicję funkcji Beta.

15. Podać definicję różniczki odwzorowania f :

n → k i jej związek z pochodnymi cząstkowymi.

16. Podać warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych klasy C 2.

17. Sformułować twierdzenie Lagrange’a o ekstremum warunkowym funkcji różniczkowalnej. Opisać metodę wyznaczania największej i najmniejszej wartości takiej funkcji na zbiorze zwartym.

18. Podać definicję funkcji wypukłej i opisać jej własności. Sformułować twierdzenia o równoważnych określeniach wypukłości.

19. Sformułować twierdzenia o wartościach funkcji wypukłej na zbiorze zwartym i wypukłym.

20. Podać definicję stopy wzrostu funkcji i elastyczności funkcji. Opisać ich własności.

Pytania dodatkowe i dowody twierdzeń

∞ 1

1. Udowodnić, że

X

= ∞ .

k

k=1

2. Udowodnić twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

3. Udowodnić, że zbiór A ⊂

jest spójny wtedy, gdy jest przedziałem.

4. Udowodnić twierdzenie o własnościach funkcji ciągłej określonej na zbiorze zwartym (spójnym).

5. Udowodnić warunek Fermata dla ekstremum funkcji jednej zmiennej.

6. Udowodnić podstawowe własności funkcji εf ( x).

7. Wykazać twierdzenie o jednostajnej ciągłości funkcji z ograniczoną pochodną.

8. Udowodnić twierdzenie o związku wypukłości funkcji i wypukłości jej nadwykresu.

Z

√

Γ( x)Γ( y)

9. Wykazać, że

e−x 2 dx =

π lub

B( x, y) =

dla x > 0 i y > 0.

Γ( x + y)

10. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji

f ( x) = < Ax, x >

na kuli

K = {x ∈ n : ||x|| ¬ 1 } , gdzie A jest symetryczną macierzą kwadratową stopnia n.

Prowadzący przedmiot

dr Wojciech Hyb

Katedra Zastosowań Matematyki

Egzamin z Analizy Matematycznej

Międzywydziałowe Studium Informatyki i Ekonometrii

zestaw:

2005

1. Obliczyć granicę ciągu {xn} punktów z

4 , jeśli

5 n 2 + 4 n

√

!

n − 4 4 n

3 + 8 + 13 + ... + 5 n − 2

xn =

; n 6 n + 2 n 2 − 3 n ;

;

2 n 2 − n + 3

n + 6

4 n 2 + 5

√

2. Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 2 funkcji f ( x) =

x w punkcie x 0 = 9 i za

√

pomocą tego wielomianu obliczyć w przybliżeniu wartość

8. Podać dokładność otrzymanego

przybliżenia.

3 x 2 − 7 x + 5

3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności, ekstrema i asymptoty funkcji f ( x) =

x − 2

określonej dla x 6= 2.

√

√

4. Dla x, y ∈ + = (0 , ∞) określamy %( x, y) =

x − y . Wykazać, że % jest metryką w

i wyznaczyć kulę o środku y = 9 i promieniu r = 3 w tej metryce.

5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego osiami OX , OY

i wykresem funkcji

x + 4

f ( x) =

dla

x ­ 2

( x − 1)( x 2 + 4)

6. Obliczyć objętość obszaru D ⊂ 3 ograniczonego płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f ( x, y) = e−x

określonej na trójkącie ABC, gdzie

A = (0 , 0) , B = (4 , 0) , C = (0 , 2).

7. Obliczyć całkowitą masę obszaru

E = {( x, y) ∈ 2 : x 2 + y 2 ¬ 25 , x ­ 0 } , który niesie masę o gęstości f ( x, y) = xy 2.

2

1

8. Wyznaczyć ekstrema funkcji

f ( x, y) = x 2 y +

+

określonej dla

x 6= 0 i y 6= 0.

x

y

9. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji

f ( x, y) = 8 x 2 + 6 y 2

na zbiorze

x 4 + y 4 ¬ 100.

Uwaga. Z podanych zadań należy wybrać sześć. Za rozwiązanie każdego z zadań 1 – 9 można uzyskać 10 punktów. Na ocenę dostateczną wystarczy uzyskać 32 punkty z czterech wybranych zadań, w tym co najmniej jedno zadanie z pierwszej części zestawu (zadania 1-4) i dwa zadania z drugiej części (zadania 5-9). Kolejność rozwiązywanych zadań jest dowolna. Należy wyraźnie rozdzielić rozwiązania poszczególnych zadań.

Kierunek Informatyka i Ekonometria

Analiza matematyczna

Zadania przygotowawcze do egzaminu

1. Stosując definicję granicy ciągu wykazać, że

n 2 + 4 n

1

n 3 + 2 n − 4

4 n

a) lim

=

b)

lim

= ∞

c)

lim

= 0.

n−→∞ 3 n 2 − 2 n − 1

3

n−→∞ 2 n 2 − n + 11

n−→∞ n!

2. Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji



e 4 x − 1



1







dla x



x 3 cos

dla x 6= 0



6= 0







a) f ( x) =

x

b) f ( x) =

x

.















4

dla x = 0



0

dla x = 0

3. Zbadać przebieg zmienności funkcji

a) f ( x) = ln2 x − ln x , x > 0

b) f ( x) = x 2 e− 2 x ,

x ∈

2 x 2 + 3 x + 3

c) f ( x) =

określonej dla x 6= 1.

x − 1

4. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f ( x), gdy

1

a) f ( x) = x 3 ln x

dla

x ∈

, 2

2

b) f ( x) = x 2 e− 2 x

dla

x ∈ [0 , ∞)

1

c) f ( x) = x 2 x

dla

x ∈

, 1 .

4

5. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną danego ciągu funkcyjnego

nx 2

a). fn( x) =

dla x ∈ [0 , 2] i dla x ∈ [0 , ∞)

x 2 + n

s

x

1

b). fn( x) = sin

dla x ∈ [0 , ∞)

c). f

x 2 +

dla x ∈ [0 , 3]

n

n( x) =

n

d). fn( x) = x 2 ne−nx

dla x ∈ [0 , ∞).

6. Obliczyć w przybliżeniu wartość sin 0 , 5 z dokładnością 0 , 001.

√

7. Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 2 funkcji

f ( x) = 3 x

w punkcie x 0 = 27 i za

√

pomocą tego wielomianu obliczyć w przybliżeniu wartość 3 26. Podać dokładność otrzymanego przybliżenia.

8. Obliczyć pola obszarów ograniczonych liniami:

a) y 2 = x 2(4 − x 2)

b) y = x 2 sin 2 x

,

y = 0 , x = 0 , x = π 2

c) y = x 3 e− 2 x , y = 0 , x ­ 0

d) y = xp , x = yp , p > 1

2

e) y =

, y = 0 , x = 0 ( x ­ 0).

x 2 + 4 x + 3

9. Obliczyć objętość bryły, która powstaje z obrotu wykresu funkcji f ( x) dookoła osi OX dla x ∈ [ a, b] √

a) f ( x) =

− ln x dla x ∈ [0 , 1]

b) f ( x) = xe− 2 x

dla x ∈ [0 , ∞).

10. Obliczyć długość wykresu funkcji f ( x) lub krzywej danej parametrycznie:

1

a) f ( x) = ln(1 − x 2) dla x ∈ 0 , 2

b) x( t) = a(1 + cos t) cos t , y( t) = a(1 + cos t) sin t , t ∈ [0 , π] gdzie a > 0

c) x( t) = a (cos t + t sin t) , y( t) = a(sin t − t cos t) , t ∈ [0 , 2 π] gdzie a > 0.

11. Zbadać zbieżność szeregów:

∞

n 2

∞ ( − 1) n

∞

1

∞ 1

1

a) X

b) X

c) X

e) X

sin

.

3 n+1

n 2 + 3

n ln n

n

n

n=1

n=1

n=2

n=1

12. Obliczyć pole następujących obszarów płaskich:

|x|

a) E = {( x, y) ∈ 2 : 0 ¬ y ¬ x 2 e−|x|, x ∈ }

b) E = {( x, y) ∈ 2 : 0 ¬ y ¬

, x ∈ }.

1 + x 4

13. Obliczyć objętość następujących obszarów D ⊂ 3 :

1 + 2 x

a) D jest ograniczony wykresami funkcji f ( x, y) = √

i g( x, y) = 0 określonych na

x + y

E = {( x, y) ∈ 2 : 0 ¬ y ¬ x 2 , x ∈ [0 , 1] }

√

b) D jest ograniczony wykresami funkcji f ( x, y) =

1 − y 2 i g( x, y) = 0 określonych na

E = {( x, y) ∈ 2 : 0 ¬ x ¬ y, y ∈ [0 , 1] }

c) D jest częścią kuli x 2 + y 2 + z 2 ¬ 4 R 2 leżącą w walcu x 2 + y 2 = R 2.

14. Obliczyć całkowitą masę obszaru E ⊂ 2 lub E ⊂ 3 który niesie masę o gęstości:

√

a) f ( x, y) =

x gdzie E = 4ABC, A = (0 , − 2) , B = (0 , 4) , C = (0 , 2) b) f ( x, y) = y 2

gdzie E = {( x, y) ∈ 2 : x 2 + y 2 ¬ 16 , y ­ 0 }.

√

c) f ( x, y, z) =

x 2 + y 2 lub f ( x, y, z) = z, E-walec ograniczony powierzchnią x 2+ y 2 = R 2, 0 ¬ z ¬ h.

15. Wyznaczyć wszystkie ekstrema funkcji

a) f ( x, y, z) = −x 2 − y 2 − z 2 − xy + xz określonej na

3

b) f ( x, y) = e− 2 x( x 2 − 3 y 2) określonej na 2

c) f ( x, y) = e 2 x+3 y(8 x 2 − 6 xy + 3 y 2) określonej na 2

d) f ( x, y, z) = sin x + sin y + sin z − sin( x + y + z) określonej dla x, y, z ∈ [0 , π].

16. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f na zbiorze E gdy a) f ( x, y) = x 2 + 2 y 2 − 3 x + 2 y + 4 , E = 4ABC , A = (0 , 0) B = (1 , 0) C = (0 , 1) b) f ( x, y, z) = xyz ,

E = {( x, y, z) ∈ 3 : x 2 + y 2 + z 2 ¬ 100 }

c) f ( x, y) = 2 x + 6 y ,

E = {( x, y) ∈ 2 : 3 x + 3 y ­ 4 , x + y ¬ 4 , x ¬ 3 y , y ¬ 3 x }

d) f ( x, y) = 2 bxy − x 2 − y 2

na kole

x 2 + y 2 ¬ 1 , gdzie b jest ustaloną liczbą rzeczywistą dodatnią. Dla jakich wartości b największa wartość tej funkcji jest dodatnia e) f ( x) = ||x|| 2 na kuli E = {x ∈ n : ||x − a|| ¬ 1 } , gdzie a ∈ n \ { 0 } jest dane.

17. Wyznaczyć funkje, których elastyczność jest

a) stała

b) liniowa

c) równa funkcji

wyjściowej.

∞ √

Z

ln u

18. Stosując funkcję Gamma Eulera obliczyć całkę

a)

du

u 2

1

Z

−ax 2 n

b)

e

dm( x) , dla ustalonych a > 0 i n ∈ .

19. Wykazać, że funkcja f ( x, y) = xy − ln( xy) jest wypukła na zbiorze E = (0 , 1] × (0 , 1].

Wyznaczyć najmniejszą wartość tej funkcji na E.

20. Wyznaczyć zbiór wypukły W ⊂

2

na którym funkcja f ( x, y) = x 4 + y 4 + 12 axy jest

wypukła. Wyznaczyć najmniejszą wartość tej funkcji na W .

21. Dana jest funkcja rosnąca lub malejąca f : P 7−→

gdzie P jest przedziałem w

. Dla

x, y ∈ P określamy %( x, y) = | f( x) − f( y) | . Wykazać, że % jest metryką w P . Dla funkcji f ( x) = arc t gx i P =

oraz f ( x) = x− 1 i P = (0 , ∞) wyznaczyć kulę o środku y = 1 i promieniu r = 1 w tej metryce.

22. Dla a = ( x 1 , y 1) ∈ 2 i b = ( x 2 , y 2) ∈ 2 określamy %( a, b) = max {|x 1 − x 2 | , |y 1 − y 2 |}.

Wykazać, że % jest metryką w

2 , a kule w tej metryce są otwartymi kwadratami.

23. Wyznaczyć wnętrze, brzeg, domknięcie i punkty skupienia zbioru A ⊂

gdy

∞ 1

1

a) A = { 0 } [ { 1 } [ [

,

. Czy zbiór A zawiera punkty izolowane.

5 n 4 n

n=1

π

b) A = x ∈

: sin

= 0 . Czy zbiór A jest zwarty, spójny.

x

24. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji

x

a) f ( x) =

dla x ∈ [0 , ∞)

2 + 7 x

1

b) f ( x) = √

dla x ∈ [ a, ∞) , a > 0 ustalone oraz dla x ∈ (0 , ∞) x

c). f ( x) = ex dla x ∈ ( −∞, 0) oraz dla x ∈

sin x

d). f ( x) =

dla x ∈ (0 , π) .

x

Prowadzący przedmiot

dr Wojciech Hyb

Katedra Zastosowań Matematyki