DRGANIA UKŁADÓW O KILKU STOPNIACH SWOBODY
Zadanie
Dla układu dwóch mas połączonych sprężynami jak na rysunku: ułożyć równania ruchu, wyznaczyć częstości własne, znaleźć rozwiązanie ogólne, narysować postacie własne, wyznaczyć wartości amplitud i faz. Tarcie pominąć.
x1(t)
x2(t)
k
2k
k
m1
m2
Równania ruchu
Układ ma dwa stopnie swobody, zatem otrzyma się dwa równania ruchu. Jako współrzędne uogólnione przyjmuje się przemieszczenie każdej z mas od położenia równowagi statycznej.
d
∂
∂
∂
∂
∂
∂
( Ek )− Ek + Ep =
d
Ek
Ek
Ep
0,
(
)−
+
=0
dt ∂ ˙ x
∂ x
∂ x
dt ∂ ˙ x
∂ x
∂ x
1
1
1
2
2
2
Ep=1 kx 2+1 kx 2+1 2k ( x − x )2 , Ek =1 m ˙ x 2+ 1 m ˙
x 2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
∂ Ep
∂
=
d
Ek
kx + 2k ( x − x )(−1)=3kx −2kx , (
)= m ¨ x
∂ x
1
2
1
1
2
dt ∂ ˙
x
1
1
1
1
∂ Ep
∂
=
d
Ek
kx + 2k ( x − x )=3kx −2kx , (
)= m ¨ x
∂ x
2
2
1
2
1
dt ∂ ˙
x
2
2
2
2
∂ Ek
∂ Ek
m ¨ x +3kx −2kx =0
=
=0
1
1
1
2
∂ x
∂ x
1
2
m ¨
x −2kx +3kx =0
2
2
1
2
jeśli równania ruchu są
[ m 0
prawidłowo napisane to
1
][ ¨ x 1]+[ 3k −2k][ x 1]=[0]
0
m
¨ x
−2k
3k
x
0
wyrazy macierzy
2
2
2
zaznaczone kółkiem są
Postacie rozwiązań
jednakowe, wynika to ze
sprężyny sprzęgającej oba
x = A sin(ω t +ϕ )
¨ x =− A ω 2 sin(ω t+ϕ ) 1
1
0
1
1
0
0
stopnie swobody
x = A sin (ω t +ϕ )
¨ x =− A ω 2sin (ω t+ϕ ) 2
2
0
2
2
0
0
[ m 0
1
][ A 1](−ω2)sin(ω t+ϕ)+[ 3k −2k][ A 1]sin(ω t+ϕ)=[0]
, dzielimy przez :
sin (ω t +ϕ )≠0
0
m
A
0
0
−2k
3k
A
0
0
0
2
2
2
[−ω2 m 0
0
1
][ A 1]+[ 3k −2k][ A 1]=[0]
0
−ω 2 m
A
−2k
3k
A
0
0
2
2
2
[−ω2 m +3k −2k
0
1
][ A 1]=[0] (∆)
−2k
−ω 2 m +3k A
0
0
2
2
Zagadnienie własne
Równanie macierzowe oznaczone (
∆
) nosi nazwę zagadnienia własnego. Istnieje niezerowe rozwiązanie (A1≠0 i A2≠0) gdy wyznacznik macierzy ℂ wynosi zero.
[−ω2 m+3k −2k
0
1
][ A 1]=[0] (∆)
−2k
−ω 2 m +3k A
0
0
2
⏟ 2
ℂ
det (ℂ)=0
⇔
(−ω 2 m +3k)(−ω 2 m +3k)−(−2k )(−2k)=0
0
1
0
2
m m ω 4−3k m ω 2−3k m ω 2+ 9k2−4k2=0
1
2
0
2
0
1
0
po uporządkowaniu otrzymuje się równanie charakterystyczne (częstości), z którego wyznacza się kwadraty częstości drgań własnych i następnie częstości.
m m ω 4−3k( m + m )ω 2+5k2
⏟=0
1
2
⏟ 0
1
2
⏟ 0
a
b
c
δ = b 2−4ac=(−3k ( m + m ))2−4 ( m m )(5k2)=9k2( m + m )2−20m m k 2
1
2
1
2
1
2
1
2
ω
2
−
= b−√δ
0(1)
2a
ω
2
−
= b+√δ
0(2)
2a
3k ( m + m )−√9k2( m + m )2−20m m k 2
ω
2=
1
2
1
2
1
2
,
ω
=√ω 2
0(1)
2m m
0 (1 )
0 (1 )
1
2
3k ( m + m )+√9k2( m + m )2−20m m k 2
ω
2=
1
2
1
2
1
2
,
ω
=√ω 2
0(2)
2m m
0 (2)
0(2)
1
2
Częstości są zawsze dodatnie a numeruje się je od wartości najniższej.
Równania w zagadnieniu własnym są zależne i nie pozwalają na wyznaczenie obu amplitud A1 i A2.
Można jednak wyznaczyć z nich zależność amplitudy drugiej masy od pierwszej. Z (∆ ) otrzymujemy:
(−ω 2 m +3k ) A −2kA =0
0
1
1
2
−2kA +(−ω 2 m +3k) A =0
1
0
2
2
A
−ω 2 m + 3k
2
−
=
0
1
=
2k
A
2k
2
1
−ω m +3k
0
2
Dla każdej z częstości wyznaczamy zależność amplitud, można do tego wybrać dowolne z powyższych równań.
A
−ω 2 m +3k
2 (1 ) =
0 (1 )
1
=µ
=µ
>0 ( zawsze dodatni)
A
2k
(1) ,
A 2(1)
(1) A 1 (1) ,
µ(1)
1 (1)
A
−ω 2 m +3k
2 (2) =
0(2)
1
=µ
A
2k
(2) ,
A 2(2)=µ(2) A 1(2) , µ(2)<0 ( zawsze ujemny)
1 (2 )
Rozwiązanie ogólne
x ( t )= A
)+ A
)
1
1(1)sin (ω 0(1) t +ϕ (1)
1(2) sin (ω 0(2) t +ϕ (2)
x ( t )= A
)+ A
)
2
2 (1) sin (ω 0 (1) t +ϕ (1 )
2(2) sin (ω 0(2) t +ϕ (2)
[ x ( t)1]=[ A 1(1)]sin(ω
)+[ A 1(2)]sin(ω
)
x ( t )
A
0 (1) t +ϕ (1)
A
0(2) t +ϕ (2 )
2
2 (1)
2 (2 )
[ x ( t)1]=[1 ] A
)+[1 ] A
)
x ( t )
µ
1 (1) s in (ω 0 (1) t +ϕ (1)
µ
1 (2)s in (ω 0(2) t +ϕ (2 )
(
⏟
(
⏟
2
1)
2)
I postać własna
II postać własna
Ruch każdej z mas jest złożeniem dwóch ruchów harmonicznych. Jeśli częstości ω0(1) i ω0(2) są współmierne to ruch danej masy jest okresowy, jeśli są niewspółmierne to nieokresowy.
Jednoczesny ruch obu mas z tą samą częstością nazywamy postacią drgań własnych.
Amplituda drugiej masy odniesiona jest do amplitudy masy pierwszej poprzez współczynnik μ(i) (i=1,2), pozwala to na porównanie wychyleń mas w danej postaci.
Postacie własne
x1(t)
x2(t)
Układ w stanie
Układ jest w stanie
równowagi statycznej.
m1
m2
A1(1)
A2(1)= μ(1)A1(1)
I postać własna –
drgania obu mas w
fazie z częstością ω0(1)
(obie masy przemieszczają
m1
m2
się jednocześnie raz w
prawo raz lewo).
A
A
II postać własna –
1(2)
2(2)= μ(2)A1(2)
drgania obu mas w
przeciw-fazie z
częstością ω0(2)
m1
m2
(obie masy przemieszczają
się do siebie i od siebie).
W przypadku drgań z pierwszą postacią własną (odpowiadającej najniższej częstości własnej) obydwie masy przemieszczają się równocześnie w tym samym kierunku, natomiast podczas drgań z drugą postacią własną ( z wyższą częstością własną) masy przemieszczają się zawsze w kierunkach przeciwnych.
Wyznaczenie amplitud A1(1), A1(2) i faz ϕ1, ϕ2
Z zagadnienia własnego, oprócz częstości (ω0(1) i ω0(2)) wyznaczyć można jedynie współczynniki wielokrotności amplitudy masy drugiej do pierwszej (μ(1) i μ(2)) dla tych częstości.
Aby wyznaczyć wartości amplitud i faz potrzeba wykorzystać warunki początkowe: x ( t =0)= x ,
˙ x ( t=0)= v
1
10
1
10
x ( t =0)= x ,
˙ x ( t=0)= v
2
20
2
20
Podstawiamy je do rozwiązania ogólnego i jego pochodnej: x ( t )= A
)+ A
)
1
1(1) sin (ω 0(1) t +ϕ (1)
1(2) sin (ω 0 (2 ) t +ϕ (2)
x ( t )= A
)+ A
)
2
2 (1 )sin (ω 0 (1 ) t +ϕ (1)
2(2) sin (ω 0(2 ) t +ϕ (2)
˙ x ( t)= A
ω
)+ A
ω
)
1
1(1)
0 (1) cos (ω 0(1) t +ϕ (1)
1(2)
0 (2) cos(ω 0(2 ) t +ϕ (2)
˙ x ( t )= A
ω
)+ A
ω
)
2
2 (1 )
0(1) cos(ω 0 (1) t +ϕ (1 )
2(2)
0 (2) cos(ω 0(2) t +ϕ (2)
x = A
+ A
10
1 (1 )s in ϕ (1)
1 (2 )s in ϕ (2)
x = A
+ A
20
2(1) sin ϕ (1)
2(2) sin ϕ (2)
v = A
ω
+ A
ω
10
1(1)
0(1) cos ϕ (1)
1 (2 )
0(2) cos ϕ (2)
v = A
ω
+ A
ω
20
2(1)
0 (1)cos ϕ (1)
2(2)
0(2) cos ϕ (2)
oznaczmy:
A = A
1
1(1)s in ϕ (1)
x = A + A
10
1
2
A = A
2
1(2) s in ϕ (2)
x = A µ + A µ
20
1
(1)
2
(2 )
B = A
1
1(1) cosϕ (1 )
v ( t )= B ω
+ B ω
10
1
0 (1)
2
0(2 )
B = A
2
1(2) cos ϕ (2 )
v ( t )= B ω
µ + B ω
µ
20
1
0 (1 )
(1)
2
0 (2)
(2 )
mamy układ 4 równań z 4 niewiadomymi, po przekształceniach x µ −
wyznaczamy A1, A2, B1, B2:
(
x
A = 10
2)
20
1
µ −µ
(2 )
(1 )
x − x µ(
A = 20
10
1)
2
µ −µ
i następnie A
(2)
(1)
1(1), A1(2) oraz ϕ1, ϕ2 z zależności:
2
v µ(
v
v
2
2
10
20
B = 10 2)− v 20
1
A
=√ A + B =
1
√( x µ − x )2+( µ − )
1 (1)
1
1
10
(2)
20
ω
(2)
ω
ω
0 (1 )
0 (1)
0(1)(µ(2)−µ(1))
µ −µ
(2)
(1)
v − v µ(
B = 20
10
1)
2
2
ω
(µ −µ )
0 (2)
(2)
(1)
v
v
A
=√ A 2+ B 2=
1
√( x − x µ )2+( 20 − 10 µ ) 1 (2 )
2
2
µ −µ
20
10
(1)
ω
ω
(1)
(
0 (2)
0(2)
2)
(1)
A
x µ(
tg ϕ = 1 = 10 2)− x 20 ω
1
B
v µ − v
0(1)
1
10
(2)
20
A
x − x µ(
tg ϕ = 2 = 20
10
1) ω
2
B
v − v µ
0(2 )
2
20
10
(1)