WYKŁAD

Analiza zespolona

WYKŁAD 10 (03.12.2013r.)

Własność 47:

⊂ ℂ obszar, tzn. otwarty i spójny. Jeśli , : → ℂ różniczkowalne oraz = , to istnieje

∈ ℂ takie, że =

+ .

Dowód:

Ustalmy

∈ G. Dla każdego ∈ G istnieje krzywa regularna Γ o początku w , końcu w i taka, że

|Γ | ⊂ G. Mamy:

=

=

−

−

.

Stąd:

=

+

−

dla ∈ G.

Twierdzenie 48:

Niech

⊂ ℂ zbiór otwarty, : → ℂ funkcja ciągła. Wtedy posiada funkcję pierwotną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej krzywej regularnej Γ zamkniętej i przebiegającej w zachodzi:

= 0.

Dowód:

" ⇒ " wynika z twierdzenia 46.

" ⇐ " Możemy założyć, że jest obszarem. Ustalmy ∈ . Dla każdego ∈ istnieje krzywa regularna # o początku w i końcu w taka, że |# | ⊂ . Kładziemy

≔

% &%

jest dobrze zdefiniowane, istotnie jeśli Γ i Γ są krzywymi regularnymi w , to Γ + −Γ jest krzywą zamknięta. Zatem:

% &% = 0

'() * +

−

= 0

*

=

*

Weźmy

∈ , ∆ ∈ ℂ dostatecznie małe. Mamy

+ ∆ −

=

−

=

−

=

-.∆

-

-./ -, -.∆ 0

-

/ -, -'∆ 0

Angelika Mirowska

Zatem:

+ ∆

∆

∆

&%

/ -, -'∆ 0

/ -, -'∆ 0

/ -, -'∆ 0

( %

+&%

/ -, -'∆ 0

|

∆

∆ | 1 &ł. / ,

∆ 0 ∙ sup| %

| 1

1 |∆ | ∙ sup | %

|

∆

∆

7

∆

7 1 sup | %

| 8999: 0

|∆ |→

z ciągłości f w . ∎

Twierdzenie 49 (Cauchy’ego dla prostokąta): Niech

⊂ zbiór otwarty, < ⊂ prostokąt normalny, : → funkcja holograficzna. Wtedy:

&

0.

=>

Dowód:

Niech ? @ 0. Niech A

&ł. B< , C średnica < . Dzielimy < na cztery prostokąty normalne przystające, jak na rysunku, < , < , <D , <E . Zauważmy, że

∑IJK G =>H

G

Niech < będzie tym prostokątem spośród

-

=> .

< , … , <E , dla którego | G => - | ma największą wartość. Wtedy: H

E

7

7 1 M N

N 1 4 7

7 .

=>

=> -

JK

H

=>

Q

Mamy & B<

P, a średnica < jest równa .

Postępując z < tak, jak z < dostaniemy prostokąt normalny < ⊃ < taki, że SG => S 1 4 TG => T 1 4 TG

T, &ł. B<

P

-

=>U

U, średnica <

QU.

Kontynuując to postepowanie dostaniemy zstępujący ciąg prostokątów normalnych

< ⊃ < ⊃ < ⊃ ⋯ ⊃ < P

Q

W ⊃ ⋯ takich, że SG => S 1 4W TG => T, &ł, B< X

W

X, średnica <W

X.

Ponieważ średnica <W 899: 0, więc w myśl twierdzenia Cantora istnieje ∈ , takie, że W→Y

⋂YWK <W [ \.

Ponieważ jest różniczkowalna w , więc f można zapisać w postaci:

∆

∆

] ∆ ∆

Gdzie 0

^ 0

lim∆ → ^ ∆ . Zatem pisząc ∆

mamy:

^

, ∈ .

Angelika Mirowska

Mamy:

&

(

^

+&

^

& .

=>X

=>X

=>X

Ponieważ ^ jest ciągła i równa zero w zerze, więc istnieje bc taka, że ∈

, b ⇒ |^

| < eQP.

Niech f będzie takie, że <W ⊂ c

, b

g

. Zatem

N

^ −

−

& N ≤ &ł. (B<W + ∙ sup |^

||

| 1

g

=>Xg

∈(=>Xg+

A C

AC ?

?

1 2W

sup |^

| 1

.

g 2Wg ∈i

4Wg AC = 4Wg

g,j

Zatem SG => S ≤ 4Wg ∙ e = ?

EX

. Z dowolności ? mamy G

& = 0 ∎

g

=>

Angelika Mirowska