Trzy użyteczne twierdzenia z rachunku
różniczkowego odwzorowań
ÃLukasz Woźny ∗
9 lutego 2006
Twr. 1 (O różniczkowalności zÃlożenia odwzorowań) Niech T 1 : U →
R m, gdzie U ⊂ R n jest otwartym podzbiorem przestrzeni R n, oraz niech T 2 : V → R k, gdzie V jest otwartym podzbiorem przestrzeni R m i T 1( U) ⊂ V , beda odwzorowaniami różniczkowalnymi odpowiednio w x i T
,
,
1( x) . W´
owczas
zÃlożenie T 2 ◦ T 1 : U → R k jest odwzorowaniem różniczkowalnym w x oraz ( T 2 ◦ T 1) 0( x) = T 0 2( T 1( x)) T 0 1( x) .
Twr. 2 (O lokalnej odwracalności odwzorowania różniczkowalnego)
Niech T : U → R n, gdzie U jest otwartym podzbiorem przestrzeni R n, bedzie
,
odwzorowaniem różniczkowalnym w sposób ciagÃly w pewnej kuli K( x
,
0 , r) ⊂
U oraz det T 0( x 0) 6= 0 . Wówczas:
• istnieje takie otoczenie O = K( x 0 , ε) , gdzie ε < r, punktu x 0 , że odwzorowanie ˜
T : O → V , gdzie ˜
T = T |O i V = T ( O) jest odwracalne;
• odwzorowanie ˜
T − 1 : V → O odwrotne do odwzorowania ˜
T jest różnicz-
kowalne w punkcie y 0 = T ( x 0) oraz ( ˜
T − 1) 0( y 0) = ( T 0( x 0)) − 1 .
Twr. 3 (O pochodnej funkcji uwikÃlanej) Niech X = R n, Y = R m, H : O → Y , gdzie O ⊂ X × Y jest otwartym podzbiorem R n × R m, be-
,
dzie odwzorowaniem klasy C 1 . Niech H0x i H0y oznaczaja macierze pochod-
,
nej odwzorowania H po x i y. Jeśli istnieje taki punkt ( x 0 , y 0) ∈ O, że H( x 0 , y 0) = 0 oraz det H0y( x 0 , y 0) 6= 0 , to odwzorowanie H lokalnie gene-ruje odwzorowanie F pewnej kuli K( x 0 , r) w Y (czyli H( x, F ( x)) = 0 dla x ∈ K( x 0 , r)) , które jest różniczkowalne, a pochodna odwzorowania uwikÃla-nego w punkcie x 0 dana jest wzorem:
F 0( x 0) = −H0y( x 0 , y 0) − 1 H0x( x 0 , y 0) .
Opracowane na podstawie:
Dubnicki W., J. KÃlopotowski, T. Szapiro, Analiza matematyczna. Podrecz-
,
nik dla ekonomistów, Warszawa 1999.
∗ lukasz.wozny@sgh.waw.pl.
1