Statystyka Matematyczna i Ekonometria

spotkanie 3

Zad. 1. Załóżmy, że 30% właścicieli komputerów używa systemu Mac, 50% Windowsa a 20% Linuksa. Zaobserwo-

wano, że 65% użytkowników Maca ulega zarażeniu wirusem. W wypadku Windowsa i Linuksa procent infekcji

wynosi odpowiednio 82% i 50%. Wybieramy losowo jedną osob ę, która okazuje si ę mieć zainfekowany kom-

puter. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to użytkownik Windowsa.

Zad. 2. Weźmy pod uwag ę rzut symetryczną kostką, gdzie Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Zdefiniujmy zdarzenia A = {2, 4, 6}

i B = {1, 2, 3, 4}. Obliczyć prawdopodobieństwa: Pr( A), Pr(B), Pr( AB). Pokazać analitycznie, że zdarzenia

A i B są niezależne. Przeprowadzić również dowód empiryczny, wykonując odpowiedni eksperyment kompu-

terowy, polegający na pobieraniu losowej próby (z przestrzeni zdarzeń) i obliczeniu: b

Pr( A), b

Pr(B), b

Pr( AB).

Wykorzystać do tego generator liczb pseudolosowych (w opcjach Excela wybrać rozkład dyskretny). Porównać

wyniki dla różnych wartości próby n (n = 10, 100, 1000). Skonfrontować wyniki z wartościami prawdopodo-

bieństwa obliczonego analitycznie.

Zad. 3. Niech X i Y b ędą zmiennymi losowymi o rozkładzie normalny N (0, 1) i N (0, 4) odpowiednio. Narysować

obie funkcje g ęstości. Wykorzystując interpretacj ę geometryczną prawdopodobieństwa oraz wspomagając si ę

wykresami, podać prawdopodobieństwa lub zdefiniować relacj ę (>, <, =, , )

a) Pr(X > 0) = . . .

b) Pr(Y 0) = . . .

c) Pr(X 2) . . . Pr(X < −2)

d) Pr(0 < Y 3) . . . Pr(2 < Y 5)

e) Pr(−1 < X 1) . . . Pr(0 < X 2)

f) Pr(0 < Y 2) . . . Pr(0 < X 2)

g) Pr( 3 ln(2) < Y < 1.5) . . . Pr( 3 ln(2) < X < 1.5)

8

8

Wykorzystując funkcj ę ROZKŁ.NORMALNY.S() obliczyć powyższe prawdopodobieństwa.

Zad. 4. Salon samochodowy rejestruje dzienną sprzedaż nowego modelu samochodu Shinari. Wyniki obserwacji do-

prowadziły do wniosku, że rozkład liczby sprzedanych samochodów w ciągu dnia można przybliżyć rozkładem

Poissona:

λxe−λ

Pr(X = x|λ) =

,

x = 0, 1, 2, . . .

x!

z parametrem λ = 5. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że salon:

• nie sprzeda ani jednej sztuki;

• sprzeda dokładnie 5 sztuk;

• sprzeda przynajmniej jedną sztuk ę;

• sprzeda przynajmniej 2 sztuki ale mniej niż 5;

• sprzeda 5 sztuk przy założeniu, że sprzedał już ponad 3 sztuki.

Zad. 5. Pewien bank ma atrakcyjny program kart kredytowych. Klienci, którzy spełniają wymagania, mogą otrzy-

mać taką kart ę na preferencyjnych warunkach. Analiza danych historycznych pokazała, że 35% wszystkich

wniosków zostaje odrzuconych ze wzgl ędu na niespełnienie wymagań. Załóżmy, że przyj ęcie lub odrzucenie

wniosku jest zmienna losową o rozkładzie Bernoulliego. Jeśli prób ę losową stanowi 20 wniosków:

a) narysować rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej;

b) jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dokładnie trzy wnioski zostaną odrzucone;

c) jakie jest prawdopodobieństwo tego, że 10 wniosków zostanie przyj ętych;

1

d) jakie jest prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej 10 wniosków zostanie przyj ętych.

Zad. 6. Właściciel restauracji wie z doświadczenia, że tylko 70% klientów, którzy rezerwują stolik na wieczór, rze-czywiście przychodzi na kolacj ę. Pewnego dnia właściciel zdecydował si ę przyjąć 20 rezerwacji, chociaż w

restauracji jest tylko 15 stolików. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na kolacj ę zgłosi si ę wi ęcej niż 15 klientów. Porównać rozwiązanie dokładne z przybliżonym, korzystając z centralnego twierdzenia granicznego.

Zad. 7. Niech X b ędzie liczbą litrów paliwa tankowaną przez losowo wybranego klienta pewnej stacji benzynowej.

Zakładamy, że średnia i odchylenie standardowe wynoszą odpowiednio 15 i 5. Jakie b ędzie prawdopodobień-

stwo tego, że w próbie losowo wybranych 50 klientów (a) średnia liczba litrów przekroczy 25 (b) średnia liczba litrów b ędzie w przedziale [10, 20].

2