(A. Lenarcik, 28 XI 2011)
1. Mamy już pojęcie pochodnej. Jak możemy je dalej rozwijać? Podstawowe pytanie, to czy operację obliczania pochodnej można odwrócić? Czyli, dla danej funkcji f , co wstawić do “okienka”, aby otrzymać równość prawdziwą: 0 = f .
0
0
0
0
0
Przykłady: (a)
= 0,
(b)
= 1,
(c)
= x,
(d)
= sin x,
(e)
= cos x.
W (a) możemy wstawić stałą, w (b) x, w (c) 1 x 2, w (d) − cos x, w (e) sin x.
2
Mamy tutaj do czynienia z najprostszym równaniem różniczkowym y0 = f ( x) ,
(1)
gdzie y = y( x) oznacza niewiadomą funkcję. Można rozważać bardziej rozbudowane równania różniczkowe.
Np. (1) y00 = x,
(2) y0 = y,
(3) y00 = −y,
(4) y00 = y.
Przez wstawienie sprawdzamy, że rozwiązaniem (1) jest 1 x 3, w (2) ex, w (3) sin x oraz cos x, w (4) ex oraz e−x.
6
Rozwiązywanie równania różniczkowego często nazywamy “całkowaniem”, zaś rozwiązania–“całkami”. Gdy mówimy o równaniach różniczkowych, to zadajemy sobie dwa podstawowe pytania: (I) czy rozwiązanie istnieje? (II) jeżeli istnieje, to czy rozwiązanie jest jednoznaczne; ewentualnie jak dużo jest rozwiązań?
2. Na początek zajmiemy się najprostszym równaniem (1). Każde jego rozwiązanie nazywamy pierwotną funkcji f ( x). Pierwotną zazwyczaj oznaczamy F ( x). Pierwotne odgadywaliśmy w przykładach (a-d). Nasuwa się pytanie: czy odgadliśmy wszystkie pierwotne? Ogół pierwotnych danej funkcji f ( x) (czyli ogół rozwiązań równania (1)) nazywamy całką oznaczoną funkcji f ( x) i oznaczamy Z
f ( x) dx .
3. Aby odpowiedzieć na pytanie: jak dużo pierwotnych ma dana funkcja f ( x), udowodnimy następujący FAKT. Jeżeli pochodna funkcji określonej w przedziale jest zerem, to funkcja ta jest stała.
Fakt ten jest intuicyjnie jasny. Do precyzyjnego dowodu wystarczy twierdzenie Lagrange’a. Gdyby dla pewnych punktów dziedziny zachodziło f ( a) 6= f ( b), to w przedziale ( a, b) istniałby punkt c taki, że f 0( c) = ( f ( b) − f ( a)) /( b −
a) 6= 0, co przeczy założeniu. Zatem funkcja musi być stała. Warto zauważyć, że założenie, aby funkcja była określona w przedziale jest istotne. Weźmy funkcję f ( x) = |x|/x określoną dla x 6= 0. Funkcja ta jest równa 1 dla x > 0 oraz
− 1 dla x < 0. Łatwo zauważyć, że pochodna jest zerem w całej dziedzinie, ale funkcja nie jest stała.
4. Załóżmy zatem, że F ( x) jest pewną pierwotną danej funkcji f ( x), zaś F 1( x) jest inną pierwotną tej samej funkcji.
Zakładamy, że obie pierwotne są określone w tym samym przedziale. Ponieważ F 0( x) = f ( x) i F 0( x) = f ( x), więc 1
( F 1( x) − F ( x)) 0 = F 0( x) − F 0( x) = f ( x) − f ( x) = 0. Widzimy, że różnica F
1
1( x) − F ( x) (określona w przedziale) ma pochodną zerową, zatem na mocy FAKT-u jest stała. Czyli F 1( x) − F ( x) = C. Skąd F 1( x) = F ( x) + C .
Wynika stąd, że jeśli odgadniemy jedną pierwotną, to wszystkie inne pierwotne otrzymamy przez dodanie stałej.
Mamy więc formułę na całkę oznaczoną (ogół pierwotnych):
Z
f ( x) dx = F ( x) + C .
Dla (b-e) możemy napisać: R 1 dx = x + C, R x dx = 1 x 2 + C, R sin x dx = − cos x + C, R cos x dx = − sin x + C.
2
5. Dzięki powyższemu, możemy uzyskiwać wzory na całki z wyprowadzonych wzorów na pochodne. Sprawdźmy, że ( xp) 0 = pxp− 1 dla dowolnego p rzeczywistego. Mamy x = e ln x ( x > 0), czyli xp = ep ln x, więc p
( xp) 0 = ep ln x 0 = ep ln x( p ln x) 0 = xp
= pxp− 1 .
x
Różniczkując xp+1 otrzymamy ( p + 1) xp. Dzielimy przez p + 1. Sprawdzamy, że xp+1 /( p + 1) jest pierwotną dla xp.
Czyli
Z
xp+1
xpdx =
+ C .
(2)
p + 1
Przykładowo dla p = 1 mamy
2
3
Z
√
Z
√
1
x 2
2
xdx =
x 2 dx =
+ C =
x 3 + C .
3
3
2
5. Wzór (2) nie może być stosowany dla p = − 1, czyli dla 1 . W tym przypadku przychodzi nam z pomocą wcześniej x
obliczona pochodna (ln x) 0 = 1 , więc
x
Z
dx = ln x + C .
x
Wzór powyższy ma sens tylko dla x > 0. Jest on jakby niekompletny, gdyż funkcja 1 ma także sens dla x < 0. W
x
przedziale ( −∞, 0) również należałoby wskazać pierwotną dla 1 . Odbijając symetrycznie wykres y = ln x względem x
osi pionowej, otrzymamy y = ln( −x). Przez różniczkowanie sprawdzamy, że (ln( −x)) 0 = 1 · ( −x) 0 = 1 · ( − 1) = 1 .
−x
−x
x
Funkcję
ln x
dla
x > 0
ln( −x)
dla
x < 0
możemy jednolicie zapisać jako ln |x|. Zatem
Z
dx = ln |x| + C .
(3)
x
(Uwaga: powyżej można dopuszczać różne stałe dla argumentów dodatnich i ujemnych).
6. Z wcześniejszych wzorów na pochodne otrzymamy
Z
dx
=
tg x + C ,
(4)
cos2 x
Z
dx
=
− ctg x + C ,
(5)
sin2 x
Z
dx
=
arctg x + C ,
(6)
x 2 + 1
Z
dx
√
=
arcsin x + C .
(7)
1 − x 2
7. UWAGA OGÓLNA. Całkowanie jest na ogół trudniejsze od różniczkowania. Wynika to stąd, że wzory na pochodne są na ogół bardziej złożone niż wynikałoby to z prostych oczekiwań i analogii. W miarę łatwo jest dla sumy funkcji oraz dla funkcji pomnożonej przez stałą. Ponieważ pochodna sumy jest sumą pochodnych oraz stała wychodzi przed pochodną, więc również całka sumy jest sumą całek oraz stała wychodzi przed całkę. Dzięki temu, na przykład, łatwo całkuje się wielomiany:
Z
x 3
x 2
2
7
(2 x 2 − 7 x + 3) dx = 2 ·
− 7 ·
+ 3 x + C =
x 3 −
x 2 + 3 x + C .
3
2
3
2
Ponieważ, jak wiemy, pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych, więc również całka iloczynu nie będzie iloczynem całek. Stoimy zatem przed faktem, że nie mamy (i nigdy mieć nie będziemy!) prostego wzoru na całkę iloczynu. Podobnie dla całki ilorazu oraz dla całki złożenia. Brak takich wzorów powoduje, że sprawne całkowanie staje się czymś w rodzaju “sztuki”. Trzeba nauczyć się odgadywać kierunki postępowania posiadając pewne częściowe narzędzia. Najważniejsze z nich to tzw. całkowanie przez części (namiastka całki iloczynu) oraz całkowanie przez podstawienie (namiastka całki złożenia). Metody te omówimy na najbliższych wykładach.
8. Intuicyjna definicja całki oznaczonej. Całkę oznaczoną obliczamy z funkcji po zadanym przedziale od a do b. Całkę tę oznaczamy
Z
b
f ( x) dx .
a
Jeżeli funkcja f jest nieujemna od a do b, to całkę tę możemy rozumieć jako pole powierzchni pomiędzy wykresem funkcji i osią poziomą ograniczone po bokach przez pionowe proste x = a, x = b. Tą drogą możemy na przykład łatwo odgadnąć całki
Z
1
Z
π p
x dx
oraz
1 − x 2 dx .
0
−π
Pierwsza z nich wynosi 1 (połowa powierzchni kwadratu jednostkowego), zaś druga jest równa π (połowa powierzchni 2
2
koła jednostkowego). Jeżeli funkcja przyjmuje wartości ujemne (pomiędzy a i b), to powierzchnię leżącą poniżej osi poziomej liczymy ze znakiem minus. W ten sposób, na przykład, łatwo możemy odgdnąć, że Z
π
sin x dx = 0
(powierzchnie się redukują) ,
−π
nie znając nawet wartości tej całki w przedziale od 0 do π.