PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI 1.4 WYKŁAD

 Dr Wojciech J. Krzysztofik

1.4. WIDMO ENERGII SYGNAŁU

Niech funkcje f (t) i f (t) b

1

2

ędą bezwzględnie całkowalne, oraz

niech istnieją całki z modułu tych funkcji.

Można wówczas zapisać następującą relację:

∞

∞

F (

1 ω) ⋅ F (

2 ω) = ( ∫

− ω

j τ

f (

1 τ) ⋅ e

τ

d ) ⋅ ( ∫

− ω

f (

2 τ) ⋅ e j zd )

z

−∞

−∞

Podstawmy: z = t-τ; dz = dt

∞

∞

∞

F ( )

ω ⋅F ( )

ω = f ( )

τ ⋅ e−jωτ ⋅[ f (t − τ) ⋅ e−j (ωt−τ)dt] ⋅ dτ = [f ( ) τ ⋅ f (t − )

τ ⋅ dτ e

] −j t

ω dt

∫

∫

∫

1

2

1

2

1

2

−∞

−∞

−∞

Po dokonaniu odwrotnego przekształcenia ℑ-1 {.} otrzymamy:

∞

∞

∫ f (1τ)⋅ f (t

2

− τ) ⋅ τ = 1

d

∫F (1ω)⋅F (2ω)⋅ ω

e j t ω

d

2π

−∞

−∞

 Dr inż. W.J. Krzysztofik

2

1.4 Podstawy Telekomunikacji

1.4. WIDMO ENERGII SYGNAŁU

Dla t=0, po zamianie τ na t otrzymujemy

∞

∞

∫ f (t)

1

⋅ f (

2 −t) ⋅

= 1

dt

∫F (1ω)⋅F (2ω)⋅ ω

d

2π

−∞

−∞

Obliczmy

∞

∞

∞

ℑ{f −

= ∫ − ⋅ − ω = − ∫

⋅ ω

= ∫

⋅ ω

= −ω = ∗ ω

2 (

t)}

f ( t) e j tdt

f (t) e j tdt

f (t) e j tdt F (

)

F ( )

2

2

2

2

2

−∞

−∞

−∞

Zatem

∞

∞

∫ f (t)

1

⋅ f (t)

2

⋅ = 1

dt

∫F (1ω)⋅F (2−ω)⋅ ω

d

2π

−∞

−∞

 Dr inż. W.J. Krzysztofik

3

1.4 Podstawy Telekomunikacji

1.4. WIDMO ENERGII SYGNAŁU

Przyjmujemy teraz f (t) = f(t); f (t)= f*(t), wówczas: 1

2

∞

∞

RÓWNOŚĆ PARSEVAL’A

dla ciągłego

∫

2

2

f(t) ⋅

= 1

dt

∫ (

F ω) ⋅ ω

d

( 2.2.18)

przekształcenia Fourier’a

2π

−∞

−∞

GĘSTOŚĆ WIDMOWA

ENERGIA SYGNAŁU

ENERGII

 Dr inż. W.J. Krzysztofik

4

1.4 Podstawy Telekomunikacji

1.4.1. SZEROKOŚĆ PASMA

Należy podkreślić, że wszelkie problemy dotyczące szerokości widma mogą być rozstrzygnięte tylko na drodze UMOWY, gdyż teoretycznie – widmo sygnału jest rozłożone w całym przedziale ω∈

ω (- ∞, ∞).

Powszechnie przyjmuje się, że graniczną częstotliwością widma jest taka częstotliwość, dla której w przedziale (-ω

, ω

) zawarte jest 99 % energii.

dmax ,

gmax

Korzystając z RÓWNOŚCI PARSEVAL’A można zapisać: ωgmax

∞

1

∫

2

2

(

F ω) ⋅ ω

d = 9

,

0 9 ∫ f(t) dt

( 2.2.19)

2π −ωdmax

−∞

 Dr inż. W.J. Krzysztofik

5

1.4 Podstawy Telekomunikacji

1.4.1. SZEROKOŚĆ PASMA

Dolną i górną częstotliwość graniczną wyznaczamy, odpowiednio:

DOLNĄ ωd

ωd

∞

1 ∫

2

2

(

F ω) ⋅ ω

d = 0

,

0 05 ∫ f(t) dt

(

2π −ω

2.2.20)

d

−∞

GÓRNĄ ωg

ωg

∞

1 ∫

2

2

(

F ω) ⋅ ω

d = 9

,

0 95 ∫ f(t) dt

( 2.2.21)

2π ωd

−∞

Znajomość szerokości pasma B =

Znajomość szerokości pasma B = ω - ω

ω g

d

Znajomość szerokości pasma

g - ωd

zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów technicznych.

zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów technicznych.

 Dr inż. W.J. Krzysztofik

6

1.4 Podstawy Telekomunikacji

1.4.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU

Z pojęciem częstotliwości granicznej widma sygnału wiąże się własność sygnałów polegająca na możliwości reprezentowania sygnałów ciągłych (o ograniczonym widmie) za pomocą zbioru dyskretnych próbek.

Niech będą zadane sygnał f (t) i jego widmo F (ω), zawarte w przedziale (-ω , ω ).

g

g

Rozważmy SYGNAŁ SKWANTOWANY czasowo, tzn.

Iloczyn sygnału f(t) oraz okresowego ciągu dystrybucji Delta-Dirac’a f (t) = f (t) δ (t)

p

T

( 2.2.22)

Korzystając z własności iloczynu f (t) i δ(t) można zapisać:

∞

f (t)

f k

( T )

(t

kT )

(

p

= ∑

p

⋅ δ − p

2.2.23)

k=−∞

 Dr inż. W.J. Krzysztofik

7

1.4 Podstawy Telekomunikacji

1.4.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU

f (t)

F (ω)

ℑ { . }

t

ω

δ (t)

δ (t) -

T

ω

ω

T

g

g

∆ω (ω)

p

2π

Tp

t

ω

0 T

2T

3T

….

p

p

p

… -2π/T

0 2π/T 4π/T

….

p

p

p

f (t) = f(t) δ (t)

F (ω)=F(ω) ∗ ∆ω (ω)

p

p

T

p

H(jω)

∆

t

ω

Dr inż. W.J. Krzysztofi

-k

ω -

ω ω

ω

8

T

p

g

g

p

1.4 Podstawy Telekomunikacji

2π

p

Rys. 2.3.1.

Tp

1.4.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU

( 2.2.24 )

Widmo sygnału skwantowanego

∞

F ( )

{f(t)

(t)}

{f(t)}

{

(t)}

(

F

k

)

p ω = ℑ

⋅ δT

= ℑ

∗ ℑ δT

= ωp ⋅ ∑ ω − ωp

k=−∞

Jeżeli widmo sygnału jest ograniczone, to sygnał skwantowany można przedstawić w dziedzinie częstotliwości jak na rys. 15.5.

Jeżeli ∆≥0, to część widma F (ω) w otoczeniu (k ω ), k= 0, ±1, ±2, … będzie p

p

identyczna z widmem sygnału f(t).

DŁUGOŚĆ INTERWAŁU NYQUISTA

( ω = 2π/T )

p

p

( 2.2.25 )

1

ωg

ω − 2ω ≥ 0 →

≥ 2

lub

ω ≥ 2ω

p

g

p

g

T

2π

p

 Dr inż. W.J. Krzysztofik

9

1.4 Podstawy Telekomunikacji

1.4.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU

Sygnał o ograniczonym widmie jest jednoznacznie określony przez swoje wartości f(kT), leżące w równych odstępach czasu T, nie większych niż π/ω , g

gdzie ω jest pulsacją graniczną widma.

g

Sygnał f(t) może być odtworzony na podstawie znajomości sygnału skwantowanego f (t), po przepuszczeniu jego przez idealny filtr p

dolnoprzepustowy H(jω).

Rys. 2.3.2.

H( jω) = 1(ω + ω ) − 1(ω − ω )

g

g

∞

∞

F (

1

(

F

)

ω = [2ω ∑ (

F ω − k

2 ω ]

) ⋅ (

H j )

ω

p ω) =

ω

2 g ∑ (

F ω − k

2 ω )

g

g

g

−∞

−∞

ω

-ω

ω

g

g

 Dr in

ω

ω

ω

ż. W.J. Krzysztofik

s i

n t

10

CHARAKTERYSTYKA

(

h

1

−

g

g

g

= ℑ

ω =

=

⋅

ω

1

t .)4 Podstawy

(

H

{

jTel

) e}komunikacji

Sa{

t}

IMPULSOWA FILTRU

π ω t

g

π

g