Wyra żenia algebraiczne, funkcje, nierówności 1. Oblicz wartość wyrażenia: 1 + a + a2
b2 + b + 1
1
1
a)
+
jeśli a =
,
b = − ,
1 + a − a2
b2 − b + 1
3
3
b) (a − 1)3 − 4a(a + 1)(a − 1) + 3(a − 1)(a2 + a + 1) dla a = −2, c) 3(m − 1)2 + (m + 2)(m2 − 2m + 4) − (m + 1)3 dla m = − 1 , 3
(x + y)2 − (x − y)2
d)
jeśli x = 1, 7, y = −0, 7.
4xy
2. Wykazać, że:
a) |x||y| = |xy|,
b) |x − y| 6 |x| + |y|, a + b − |a − b|
a + b + |a − b|
c)
6 a 6
.
2
2
3. Obliczyć x − y, x + y, xy, x . Otrzymane wyniki przedstaw w postaci y
√
a + b c.
√
√
√
√
a) x = 3 + 2 3, y = 2 − 3 3, b) x = 2 −
2, y = 2 +
2,
√
√
c) x = 2 − 5 7, y = 1 −
7.
4. Naszkicować wykresy funkcji:
|x|
1
x + 2
a) x →
,
b) x → 2x2 − 3x + 3, c) x →
,
d) x →
,
x
x
x − 3
e) x → x2 − 2|x|,
f) x → log (x2).
x
5. Wyznaczyć dziedzine funkcji:
√
,
a)x →
x2 − 6x + 8,
b) x → log (x4 − 3x2 + 2x), 2
c) x → (x − 1)x2−3x−4, d) x → plog (x2 − 2x).
2
6. Sprawdzić różnowartościowość funkcji i wyznaczyć (tam gdzie to możliwe) funkcje odwrotne:
2x − 1
2x − 1
√
a)x →
, b) x →
,
c) x → ln(x+ x2 + 1), d) x → x3−x,
x + 2
2x + 1
log x + 2
x →
2
.
log x − 3
2
7. Rozwiazać nierówności:
,
x2 − 3x
2x − 3
x + 1
3
a)
6 0,
b)
> 2,
c) −1 <
<
,
x3 − 4x + 3
x2 − 1
x − 1
x − 3
2 x
d) 2x > 5,
e)
> 2,
f) 32x−7 > 2,
g) log x > 5,
3
2
h) log (2x − 7) < 2, i) 2log x
2
3
6 x,
√
√
j) (ex − 5)(x2 − 6x + 5)(log (2x − 3) − 3) > 0, k)
x3 − 3 x > −2.
2