Analiza zespolona
WYKŁAD 12 (17.12.2013r.)
Twierdzenie 54:
Niech Ω ≔
, \{ }, ⊂
, kwadrat normalny o środku w i boku długości 2 . Jeśli jest holomorficzna w Ω, to rozwija się w sąsiedztwie
, \{ } w szereg Laurenta.
Ponadto, jeśli jest holomorficzna w samym kole
, , to rozwija się w kole
, w szereg
potęgowy.
Dowód:
Wyprowadzimy drugą część tezy. Niech
∈
, . Ze wzoru całkowego Cauchy’ego mamy: 1
= 2
−
.
Dla ∈ |" | mamy:
1
1
1
1
1
1
− = − + − = − ∙
=
=
1 + −
− ∙
−
1 − −
−
1
)
−
(
)
−
(
= − % & − ' = % − (+
(*
(*
przy czym
−
| − | | − |
, − , = | − | ≤
< 1.
Zatem powyższy szereg jest zbieżny jednostajnie na |" |. Zatem: 1
)
−
(
)
1
= 2
% − (+ = %/2
− (+ 0 − ( =
(*
(*
)
= % 1(
−
(
(* 1
1( = 2
− (+ ∎
Wniosek 55:
Funkcja całkowita (czyli holomorficzna określona na ℂ) rozwija się w szereg potęgowy, zbieżny na całej płaszczyźnie i o środku w dowolnym punkcie
)
(
= %
4!
−
(,
∈ ℂ.
(*
Wynika to z twierdzenia 54, bo możemy wziąć dowolnie duże.
Angelika Mirowska
)
(
678 = % 4! ,
∈ ℂ
(*
)
−1 (
9 4 = %
:(+
24 + 1 !
,
∈ ℂ
(*
) −1 (
;<9 = %
:(
24 !
,
∈ ℂ
(*
Twierdzenie 57 (Liouvilla):
Jeśli jest całkowita i ograniczona, to jest stała.
Dowód:
Z dowodu twierdzenia mamy
)
= % 1( −
( ,
∈ ℂ
(*
@ A
gdzie 1( =
?
:=>
ABCD EFG
.
Z założenia |
| ≤ H, dla ∈ ℂ i pewnej stałej H. Zatem:
|
|
|
1
1
H
4H
1(| ≤ 2 ł. " ∙ sup
A∈| | | −
|(+ ≤ 2 8 ∙ (+ =
(.
Jeśli 4 > 0, to |1(| ≤ QR UVVW 0
=SE
. Zatem 1
S→)
( = 0 dla 4 = 1, 2, …, czyli ≡ 1 . ∎
Twierdzenie 58 (podstawowe twierdzenie algebry): Każdy wielomian zespolony dodatniego stopnia ma pierwiastek.
Dowód:
Niech będzie wielomianem dodatniego stopnia i przypuśćmy, że nie posiada pierwiastków.
Niech Z = @ . Wtedy Z jest całkowita. Mamy limC→) Z
= 0. Zatem istnieje > 0 takie, że
|Z | ≤ 1 gdy | | > . Z kolei koło domknięte 0, jest zwarte, więc Z jako ciągła jest na tym kole ograniczona. Niech |Z
| ≤ H, ∈ 0, . Zatem |Z | ≤ max 1, H , ∈ ℂ. Stąd i z twierdzenia Liouvilla Z jest stała to jest stała. Sprzeczność. ∎
Angelika Mirowska