4. CA LKA POWIERZCHNIOWA SKIEROWANA 1. Obliczyć ca lke powierzchniowa zorientowana
,
,
,
a) RR yxdzdx + xz2dxdy po górnej stronie górnej po lowy elipsoidy x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0; S
a2
b2
c2
b) RR (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy po górnej stronie p lata S
x = v cos u
S :
y
= v sin u ,
u ∈ (0, π), v ∈ (0, 1).
z
= v
2. Dwoma sposobami (korzystajac i nie korzystajac z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego)
,
,
obliczyć ca lke RR x2dydz + y2dzdx + z2dxdy po zewnetrznej stronie sfery
,
S
,
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
3. Obliczyć RR x2dydz + y2dzdx + z2dxdy, gdzie S jest zewnetrzna strona brzegu sześcianu S
,
,
,
0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a.
4. Obliczyć ca lke,
Z Z
xzdydz + x2ydzdx + y2zdxdy,
S
gdzie S jest zewnetrzna strona brzegu obszaru zamknietego znajdujacacego sie w pierwszym
,
,
,
,
,
,
oktancie i ograniczonego powierzchniami z = x2 + y2, x2 + y2 = 1, x = 0, y = 0, z = 0.
→
5. Obliczyć strumień pola wektorowego F = [x, −1, y] przez cześć zewnetrznej strony po-
,
,
wierzchni ostros lupa o wierzcho lkach O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 1), która otrzy-
,
mamy przez usuniecie ściany AOC.
,
→
6. Obliczyć cyrkulacje pola wektorowego W = [y, −z, x] wzd luż krzywej bedacej brzegiem
,
,
,
powierzchni S = {(x, y, z) ∈
3
R : z = 3 − px2 + y2 i z ≥ 1} skierowanej zgodnie z ru-chem wskazówek zegara patrzac od dodatniego kierunku osi OZ. Wynik sprawdzić stosujac
,
,
twierdzenie Stokesa.
7. Stosujac wzór Stokesa obliczyć H ydx + zdy + xdz, gdzie C jest okregiem powsta lym z
,
C
,
przeciecia sfery x2 + y2 + z2 = a2 p laszczyzna x + y + z = 0 zorientowanym przeciwnie do
,
,
ruchu wskazówek zegara dla obserwatora patrzacego od dodatniej strony osi OX.
,
8. * Niech V ⊂
3
R
bedzie obszarem spe lniajacym za lożenia tw.Gaussa-Ostrogradskiego
,
,
ograniczonym powierzchnia zamknieta S. Niech f, g ∈ C2(V ) ∩ C1(V ).
,
,
,
Udowodnić, że
Z Z Z
Z Z Z
Z Z
a)
gfx dx
g f dx
f gn
i
1dx2dx3 = −
xi
1dx2dx3 +
idS
dla i = 1, 2, 3.
V
V
S
Z Z
Z Z Z
b)
(f ∇g − g∇f ) n dS =
(f ∆g − g∆f ) dxdydz,
S
V
gdzie n = (n1, n2, n3) oznacza pole wersorów normalnych zewnetrznych do S.
,
9. * Niech V bedzie obszarem jak w zadaniu 8 i niech F, G beda polami wektorowymi, przy
,
,
,
czym F, G ∈ C2(V ) ∩ C1(V ). Uzasadnić, że Z Z Z
Z Z Z
Z Z
G · rotF dxdydz =
F · rotG dxdydz +
(F × G) · ndS
V
V
∂V
gdzie n oznacza pole wersorów normalnych zewnetrznych do S.
,
Wskazówka: zastosować wzór Gaussa-Ostrogradskiego do do odpowiedniej funkcji .
10. Niech F - j.w.. Uzasadnić wzór:
∆F = −rotrotF + ∇divF,
gdzie ∆F = (∆P, .∆Q, ∆R) dla F = (P, Q, R).
11. * Wykazać, że dla każdego g ladkiego pola wektorowego F o nośniku zwartym w 3
R
zachodzi wzór:
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
|∇F |2 =
|rotF|2 +
|divF|2.
R3
R3
R3
Wskazówka: rozpoczać od wzoru z zadania 9, potem skorzystać z zadania 10 oraz 8b.
,