Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

n!

−1

− −

f ( x, y) =

1

−

F r ( x) f ( x) ( ) − ( )

( ) 1 − ( )

≤

rs

[ F y F x ] s r f y [ F y ] n s x y ( r − )

1 !( s − r − )

1 !( n − s)!

x 2

1

F ( x) = ∫

= 1−

x ≥ 1

t 3

x 2

1

n=4

2

2  1

1 

2

f ( x, y) = 12





−

x ≤

y x, y > 1

14

3 

2

2 

3

x  x

y  y

∞ ∞

2

∞ ∞









ODP = ∫ ∫ x

2 2  1

1 

12

−

dydx =

48

1

2

1 dydx

3

3 

2

2 

∫ ∫





−

+

=

2

4 

4

2

2

4 

y

x

y

x

y

x y

x

x y

y

1 x





1 x





∞

= ∫ 48 1

96 1

48 1 

1

96 1

48 1

1 560 − 672 + 240

1 128

16



−

+

 = 16 ⋅ −

+

=

=

=

 6

3

4

5

2

7

x 3 x

x 5 x

x 7 x 

8

5 8

7 8

8

35

8 35

35

1

Zadanie 2

∞

EM

E

X

X

P N

n

N = ∑

(min( ,...,

(

)

0

n )

=

n=0

dla

n

n 1

+

− t( n+ )

1

n ≥

1 P(min < t) = 1 − P (min > t) = 1 − P

( X > t) = 1 − e

− t( n+ )

1

f

( t) = ( n + )

1 e

min

∞

n

∞

n

1

EM

(

0)

1

N = P N =

+

λ

−

∑

e λ = −

e λ +

λ

−

∑

e λ = n − = m =

1 !

(

)

1 !

n= n

1

+ n

n=

n

1

+

∞

m+1

∞

m+2

−

= λ

e

+ ∑ λ

− λ

−

e

= λ

e

+ 1 ∑ λ

− λ

−

e

= λ

e

+ 1 (

− λ

−

1 − e

−

λ

e

λ

)

m

λ

m

λ

m= (

2)!

(

2)!

0

+

m=0

+

EN = λ

E( M N

E M N N

n P N

n

nE M

N

n P N

n

N

) ∞

∞

= ∑ ( N

= ) ( = ) = ∑ ( N

= ) ( = ) =

n=0

n=1

∞

n

∞

n

= ∑ n λ − λ

−

e

=

λ

1 −

λ

e

− ∑ 1

− λ

−

e

= − λ

e

− 1

1

( − λ −

1 − e

−

λ

e

λ

)

n

n

n

n

λ

n=

1 !

1 !

1

+

n=1

+

−

1

1

1

1

+

λ

− λ

− λ

− λ

− λ

− λ

− λ

− λ

λ 1

−

ODP = 1 − e

− + e + e − λe −1+ e + λe = e + e − = 1−

( λ

1 − e

)

λ

λ

λ

λ

λ

Zadanie 3

∞

∞ x

n

λ

P( S ≤ x) = ∑ P( S ≤ x N = n) P( N = n) = P( N = 0) + ∑ ∫

n−1 − λt

t

e

dt 1

( − q) n

q =

n

n=

( )

0

n=1

Γ

0

x ∞

n

= P( N = 0) + 1

( − q)∫ ∑ λ

n−1 − λt

n

t

e

q dx

( n

)

1 !

n

0

=1

−

1

4

4

4

2

4

4

4

3

A

∞

m+1

∞

m

A = n −

λ

t

λ q

1 = m = ∑

m − λt

m+1

t e

q

= λq ∑ ( )

− λtq λtq − λt

− λt −

e

e

e

=

1

(

q)

λqe

m

m

m=

!

!

0

m=0

x

ODP = 1 − q + 1

( − q)∫

− λt −

1

(

q

λqe

) dt = ...

0

ODP = 1 − q + q(

− λx 1

( − q

1 − e

) )

− λ 1

( − q) x

= 1− qe

Zadanie 4

Musi być: EE( N N

2

= EN

X

)

X

hiper

18

EN

X

= 15⋅

= 9

30

12

EN = 15 ⋅

= 6

2

30

i sprawdzamy:

5

E( )

A = 8 −

6 ≠ 9

36

25

1

E( B) =

− 6 ≠ 9

3

9

25

6

25

2

E( C) =

+ =

+ = 9

3

9

3

3

25

1

E( D) =

+ 6 ≠ 9

3

3

5

E( E) = 8 +

6 ≠ 9

36

czyli odpowiedź C prawidłowa

Zadanie 5

P(

1

S

,

0 S

0

P S

,

0 S

0 θ f ( θ)

8 >

6 =

) = ∫ ( 8 > 6 = )

0

P( S > ,

0 S = 0 θ = P S = 0 θ P X + X > 0 θ = 1

( − θ) 1 − 1

( − θ)

8

6

) ( 6

) ( 1

)

6

2

[

2 ]

P( S = 0 θ) 6

= P X = 0 θ = 1

( − θ)

6

(

)

6

P( X + X > 0 θ = 1− 1

( − θ)

1

)

2

2

1

LICZ = P( S

,

0 S

0

1

(

θ)

1

(

θ) 12 θ 1

(

θ)

..

8 >

= ) = ∫[ − 6

6

− − 8 ] 2 − =

0

P(

1

1

S

0

P S

0 θ f ( θ)

1

(

θ) 12 θ 1

(

θ)

MIAN

6 =

) = ∫ ( 6 = )

= ∫ − 6

2

−

=

0

0

1

1

LICZ = 1 − θ = t = ∫ ( 6

t − 8

t )12 1

( − 2

t) t = ∫ ( 7

12 t −

9

12 t )(1− 2 t + 2

t ) =

0

0

1



8

9

11

12 1

= ∫ 7

t

t

t

t

12 t −

8

24 t +

9

12 t −

9

12 t +

10

24 t

−

11

12 t

= 12

24

24

12



−

+

−

 =

8

9

11

12

0



0

3

8

24

99 −176 + 144 − 66

1

= − +

−1 =

=

2

3

11

66

66

1

1

1

MIAN = ∫ 6

t 12 1

( − 2

t) t = ∫

7

12 t (1− 2 t + 2

t ) = ∫

7

12 t −

8

24 t +

9

12 t =

0

0

0

1

1

 2 8

t

24 9

t

12 10 

1

=

t



−

+

 =

8

9

10

30



0

1

5

ODP =

30 =

66

11

Zadanie 6

6 ( N

np

i −

i )2

2

χ = ∑

np

i=1

i

n=6

6

2

χ = ∑ ( n

n

n

n

i − )2

1

= ∑ 2 i − 2∑ i + 6 = ∑ 2 i − 6

i=1

P( 2

χ > 1 ,

5 0863) = P(∑ 2

n

i

> 2 ,

1 0863)

możliwe tylko gdy któreś 6 lub któreś 5

=P(jakaś liczba wypadła 6 razy)+P(jakaś wypadła 5 razy i raz inna)=

wybo}rl iczby

}

mi }

ejsce

liczba

6

6 ⋅ 6 ⋅ 5

1

30

31

=

+

=

+

=

6

6

5

5

5

6

6

6

6

6

Zadanie 7

∂

5

(2 Y βx

x Y

x

i −

i )

5

2

= −∑ x

β

i

= 0 → ∑ i i = ∑ i

∂ β

ε

ε

ε

i=

var

var

var

1

i

i=1

i

i

∑ x Y

i i

var

β =

εi

2

∑ xi

var εi

∂2

2

= −∑.... − 2 xi > → βˆ

0

= β

∂ β 2

var εi

2

5

2

∑ xi = ∑ i = 15

2

2

var εi

i=1 iσ

σ

2

5

ˆ

β = ∑ iY σ

Y

i

= ∑ i = Y

2

iσ

15

i= 15

3

1

1 + 5



2 

5

∑

σ

βi + 0

ˆ





15

β ≅ N β;

ˆ

2

β





β

E =

= β

=

= β



15 

3 σ

5

15

→

2

2

∑





iσ

σ

15

2

ˆ





ˆ

σ

X = β − β ≅ N

;

0

var

2

β =

=

σ =





15

25 ⋅ 9

25 ⋅ 9

15





P( X < zσ )



zσ 15 





= P N <

= 9

,

0 5 → z 15 = 9

,

1 6 → z = 5

,

0 1







σ



Zadanie 8

.

1 H : θ >

1 t ∈ (

)

1

,

0

t > 1 → 0

1

P

(max

θ =

> t) = 1

,

0 25

1





7

7

6



6



t =

K : max >



8



8 

3

2

1

α

1

1

α + β = α, β ≤

8

8

6

max > 1 − α

.

2 H : θ < 1

1

P (max

θ

< t) = 1,

0 25





1

1

6



6



t =

K : max <



8

3

2

1



8 

β

6

max <

β

6

6

6

 1- 

 6

α

β 

α + β −1

1 d

. l

a θ >

1 m

oc = 1 - 







+

= 1+

θ

∀ m

o

c taka s

ama









6

θ

θ





θ





2. oba rosną

6

6

a =

β , b = 1 − α

1

1

6

.

1 θ <

to wtedy trzeba max 6

6

β =

8

8

7

jeśli

6

θ >

to tak samo, bo prawy przedział ma niższe prawdopodobieństwo 8

Z tego:

1

2

β = , α = 0 → K : max > l 1 ub m

ax <

8

2

czyli odpowiedź (B) prawidłowa

Zadanie 9

− λ

P( Z = )

1 = P( X < )

1 = 1 − e

2

− λ

− λ

− λ

2

− λ

P( Z = 2) = P 1

( < X < 2) = 1 − e

−1+ e = e − e

...

...

−( k− )

1 λ

− kλ

P( Z = k) = e

− e

n

−( Zi − )

L = ∏

1 λ

−

e

− Z λ

e i = ∏( − Z λ

e

( λe − )1 = ( e − ) n λ

− λ∑ Z

1 e

i

i

= ( e − ) n

λ

− λS

1 e

i=1

ln L = n ln( eλ − ) 1 − λS

∂

ne λ

ne λ − Se λ + S

=

− S = 0 →

= 0 → eλ ( n − S) = − S

λ

∂

e λ −1

e λ −1

S

e λ =

S − n









 S 

 1 

λ = ln

 = ln

 S − n 



n 

1 −





S 



n 

λˆ = − ln1 −





S 

Zadanie 10

E( W

E W W

P W

E W W

P W

n ) =

( n n− <

n− <

+

n

n− >

n− >

1

)1 ( 1 )1 (

1

)1 ( 1 )1

E(

α

W W

n

n− < )

= 4

1

1

1 =

=

=

1

v = 1

4 −1

3

E(

α

W W

n

n− > )

= 3

1

1

1 =

=

=

1

v = 1

3 −1

2

.

1 P( W

P W

W

P W

P W

W

P W

n <

)1 = ( n <1 n− < n− <

+

n <

n− >

n− >

1

)1 ( 1 )1 (

1

1

)1 ( 1 )1

.

2 P( W

P W

W

P W

P W

W

P W

n >

)1 = ( n >1 n− < n− <

+

n >

n− >

n− >

1

)1 ( 1 )1 (

1

1

)1 ( 1 )1

4

3



 1







 1 



1. p

p

q

n = 1

 − 

  n + 1

 −   

1

−

n 1

−



1 + 1



 



 2



 

4

3

 1 

 1 

2. q

p

q

n = 



n

+ 

1

−



n 1

−

 2 

 2 



15

7

 1

7

pn =

pn− + qn−

p =

q

1

1



16

8

lim 1

 6

8



→

a

l

e p

+ q = 1

1

1

7

1





qn =

pn− + qn−

q =

p

1

1



16

8

8

16

Z tego:

1

7

14

1

p =

1

( − p) → p =

, q =

16

8

15

15

+

lim E( W

n )

1 14

1 1

14

1

28

3

31

=

+

=

+

=

=

3 15

2 15

45

30

90

90