Zadanie 1. Stosuj¡c iteracyjn¡ metod¦ Jacobiego znajd¹ przybli»one rozwi¡zanie ukªadu równa«
1
2
3 x
1
4
2
8
y
=
2
.
3
6
3
z
3
Wykonaj trzy pierwsze kroki iteracyjne zaczynaj¡c od przybli»enia pocz¡tkowego. Sprawd¹ czy metoda ta b¦dzie zbie»na dla podanego przykªadu?
Zadanie 2. Wykonaj dwa kroki iteracji Gaussa-Seidla nie wykorzystuj¡c wzorów macierzowych, dla poni»szego ukªadu równa« i wektora startowego:
4
−1
2
1
0
A−
→
x = b,
A =
−1
2
−1
1
0
,
~b =
~
x0 =
.
2
−1
2
1
0
Korzystaj¡c z wzorów macierzowych udowodnij, »e metoda Gaussa-Seidla b¦dzie w tym przypadku zbie»na.
Zadanie 3. Wykonaj dwa kroki iteracji Gaussa-Seidla dla poni»szego ukªadu równa« i wektora startowego:
2
−1
1
1
0
B
~
x = b,
B =
−1
2
−1
,
~b =
1
~
x
0
.
0 =
2
−1
2
1
0
Zadanie 4. a) Przedstaw graczn¡ interpretacj¦ metody siecznych rozwi¡zywania równa« nieliniowych. Korzystaj¡c z tej interpretacji wyprowad¹ wzór tej metody. b) Napisz w j¦zyku Matlaba algorytm dla tej metody.
Zadanie 5. a) Przedstaw graczn¡ interpretacj¦ metody stycznych rozwi¡zywania równa« nieliniowych. Korzystaj¡c z tej interpretacji wyprowad¹ wzór tej metody. b) Napisz w j¦zyku Matlaba algorytm dla tej metody.
Zadanie 6. a) Przedstaw graczn¡ interpretacj¦ metody stycznych rozwi¡zywania równa« nieliniowych. Korzystaj¡c z tej interpretacji wyprowad¹ wzór tej metody. b) Wykonaj dwa pierwsze kroki tej metody dla równania x2 − 3x = −2 dla startowej warto±ci x = 3.
Zadanie 7. a) Przedstaw graczn¡ interpretacj¦ metody siecznych rozwi¡zywania równa« nieliniowych. Korzystaj¡c z tej interpretacji wyprowad¹ wzór tej metody. b) Wykonaj dwa pierwsze kroki tej metody dla równania x2 − 3x = −2 dla startowych warto±ci x1 = 4 i x2 = 3.
Zadanie 8. Wykonaj dwa kroki metody Newtona dla ukªadu równa«: x
+
y
=
4
x2
+
y2
=
16
przyjmuj¡c za wektor startowy [3; 1]. Czy widzisz jaki powinien by¢ ko«cowy wynik po wielu krokach iteracji?
Zadanie 9. Wykonaj dwa kroki metody Newtona dla ukªadu równa«: x2
+
y
=
4 .
x
−
y2
=
2
przyjmuj¡c za wektor startowy [2.5; 0.5]. Czy widzisz ju» jakie jest prawdziwe rozwi¡zanie ukªadu?
Zadanie 10. Wykonaj dwie iteracje wielowymiarowej metody Newtona dla poni»szego ukªadu równa«. Za wektor startowy przyjmij: [1;0].
1
−
4y2
=
4 .
x
+
y
=
2
Źadanie 11. Oblicz caªk¦ 5(3x2 + 2x − 1)dx metod¡ trapezów z liczb¡ w¦zªów n = 4. Przedstaw interpretacj¦ graczn¡
2
metody trapezów dla tego przykªadu. Przybli»ony wynik caªki porównaj z jej rzeczywist¡ warto±ci¡ wyliczon¡ analityczne.
Źadanie 12. Policz caªk¦ 5 x2dx korzystaj¡c z kwadratury Newtona-Cotesa dla n = 3. Odpowiednie wspóªczynniki 2
kwadratury: A0 = A3 = b−a, A
.
8
1 = A2 = 3(b−a)
8
Źadanie 13. Policz caªk¦ 9(x + 2)dx korzystaj¡c z kwadratury Newtona-Cotesa dla n = 3. Odpowiednie wspóªczynniki 3
kwadratury: A0 = A3 = b−a, A
.
8
1 = A2 = 3(b−a)
8
Źadanie 14. Policz caªk¦ ∞ e−xx2dx korzystaj¡c z kwadratury Gaussa-Laguerre'a dla n = 5. Iloczyn skalarny dla wielo-0
´
mianów ortogonalnych Laguerre'a zdeniowany jest jako
∞
(Li, Lj) =
e−xL
0
i(x)Lj (x)dx. Odpowiednie wspóªczynniki i
w¦zªy kwadratury:
i
0
1
2
3
4
Ai
0.52
0.40
0.076
0.0036
0.000023 .
xi
0.26
1.41
3.6
7.1
13
Zadanie 15. Wielomiany Czebyszewa dane s¡ wzorem Tk(x) = cos(k arccos x) a iloczyn skalarny deniuj¡cy je wzorem
´ 1
(Ti, Tj) =
T
dx. Wyprowad¹ posta¢ wielomianów T
−1
i(x)Tj (x)
1
√1−x2
0(x),
T1(x). Korzystaj¡c z formuªy Tk(x) =
2xTk−1(x) − Tk−2(x) wyprowad¹ T4(x). Wiedz¡c, »e wszystkie wspóªczynniki kwadratury Gaussa-Czebyszewa wynosz¡
´ 5
A
x
i = π/(n + 1) oblicz caªk¦
√
dx.
2
1−x2
Zadanie 16. Wielomiany Czebyszewa dane s¡ wzorem Tk(x) = cos(k arccos x) a iloczyn skalarny deniuj¡cy je wzorem
´ 1
(Ti, Tj) =
T
dx. Wyprowad¹ posta¢ wielomianów T
−1
i(x)Tj (x)
1
√1−x2
0(x),
T1(x). Korzystaj¡c z formuªy Tk(x) =
2xTk−1(x) − Tk−2(x) wyprowad¹ T4(x). Wiedz¡c, »e wszystkie wspóªczynniki kwadratury Gaussa-Czebyszewa wynosz¡
´ 1
A
x
i = π/(n + 1) oblicz caªk¦
√
dx dla kwadratury z 4 w¦zªami.
−1
1−x2
Zadanie 17. Wielomiany Czebyszewa dane s¡ wzorem Tk(x) = cos(k arccos x) a iloczyn skalarny deniuj¡cy je wzorem
´ 1
(Ti, Tj) =
T
dx. Wyprowad¹ posta¢ wielomianów T
−1
i(x)Tj (x)
1
√1−x2
0(x),
T1(x). Korzystaj¡c z formuªy Tk(x) =
2xTk−1(x) − Tk−2(x) wyprowad¹ T3(x). Wiedz¡c, »e wszystkie wspóªczynniki kwadratury Gaussa-Czebyszewa wynosz¡
´ 1
A
1+x
√
i = π/n, dla i = 0, · · · , n − 1 oblicz caªk¦
dx. Potrzebne podstawienie y = −1 + 2x.
0
x(1−x)
Źadanie 18. Oblicz caªk¦ 1 x2dx korzystaj¡c z metod a) kwadratury Gaussa-Legendre'a, b) zªo»onej metody trapezów,
−2
obie dla n = 4. Przybli»one warto±ci w¦zªów i wspóªczynników kwadratury Gaussa wynosz¡: xi
Ai
−x0 = x3 ≈ 0.861
A0 = A3 ≈ 0.348
−x1 = x2 ≈ 0.340
A1 = A2 ≈ 0.652
Zadanie 19. Znajd¹ przybli»enie (2 kroki iteracji) warto±ci wªasnych macierzy A i B oraz odpowiadaj¡cych im wektorów wªasnych metod¡ pot¦gow¡:
2
1
2
2
A =
,
B =
.
1
2
2
1
Zadanie 20. Znajd¹ metod¡ Kryªowa wielomian charakterystyczny macierzy A. Rozwi¡» analitycznie uzyskane w ten sposób równanie charakterystyczne.
2
1
2
A =
1
2
1
.
2
1
2
2
Zadanie 21. Dana jest macierz. Znajd¹ wzór wielomianu charakterystycznego tej macierzy korzystaj¡c z metody Kryªowa.
Wylicz nast¦pnie analitycznie warto±ci wªasne tej macierzy.
2
−3
1
A =
−3
−4
−2
.
1
−2
4
Zadanie 22. Oblicz macierz odwrotn¡ do macierzy C korzystaj¡c dwukrotnie z Tw. Cayley'a-Hamiltona (pierwsze zas-tosowanie to metoda Kryªowa):
1
2
2
C =
1
1
1
.
2
2
1
Zadanie 23. Znamy warto±ci wªasne nieosobliwej macierzy A. Wyprowad¹ wzór na warto±ci i wektory wªasne macierzy A−1.
Zadanie 24. Pokaza¢, »e odwrotno±¢ najwi¦kszej warto±ci wªasnej macierzy A jest najmniejsz¡ warto±ci¡ wªasn¡ macierzy A−1.
3