Z
f ( x) dx = F ( x) ⇔ F 0( x) = f ( x) f ( x) - funkcja podcałkowa
F ( x) - funkcja pierwotna funkcji f WZORY PODSTAWOWE
R
1 . xαdx = 1 xα+1 + c, α 6= − 1
α+1
R
R
R
R
dx = 1 dx = x + c (Dla α = 0) 2 . 1 dx =
dx = ln |x| + c
x
x
R
R
3 . axdx = ax + c, a > 0 , a 6= 1
4 . exdx = ex + c
ln a
R
R
5 . sin xdx = − cos x + c 6 . cos xdx = sin x + c R
R
R
R
7 .
1
dx =
dx
= − ctg x + c
8 .
1
dx =
dx
= tg x + c
sin2 x
sin2 x
cos2 x
cos2 x
R
R
R
R
9 .
1
√
dx =
dx
√
= arcsin x + c
10 .
1
dx =
dx
= arctg x + c
1 −x 2
1 −x 2
x 2+1
x 2+1
WŁASNOŚCI
1. Stała całkowania:
Jeżeli funkcja F ( x) jest funkcją pierwotną funkcji f ( x), to każda funkcja postaci F ( x) + c, gdzie c ∈ R jest również funkcją pierwotną funkcji f ( x).
Liczbę c ∈ R nazywamy stałą całkowania.
2. Działania:
R
R
R
( f ( x) + g( x)) dx = f ( x) dx + g( x) dx R
R
k · f ( x) dx = k · f ( x) dx 3. Całkowanie przez części:
R
R
u( x) · v0( x) dx = u( x) · v( x) − u0( x) · v( x) dx 4. Całkowanie przez podstawianie:
(
)
R
t = g( x)
R
f ( g( x)) g0( x) dx =
= f ( t) dt
dt = g0( x) dx
5. Całka logarytmiczna:
R f0( x) dx = ln |f( x) | + c f ( x)
mgr Dorota Grott SNM PG