Zestaw zadań z pliku Pim0001.jpg

Zad. 1. E( x) = 1 . 18 , σ( x) = 0 . 37

Zad. 2. 0 . 96 < E( x) < 1 . 39

Zad. 3. 0 . 27 < σ( x) < 0 . 61

Zad. 4. H 0 : E( x) = 2 , H 1 : E( x) < 2 (bierzemy taką H 1, bo średnia wyszła < 2).

Statystyka t = − 7 . 02. Kwantyl ( t 9)0 . 05 = − 1 . 83. Obszar krytyczny lewostronny. t należy do obszaru krytycznego.

Odrzucamy hipotezę zerową mówiącą, że E( x) = 2 na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że E( x) < 2 na poziomie istotności α = 0 . 05.

Zad. 5. Rachunki te same co wyżej.

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej głoszącej, że E( x) < 2 na rzecz hipotezy alternatywnej mówią-

cej, że E( x) ­ 2 na poziomie istotności α = 0 . 05.

Zad. 6. H 0 : σ 2( x) = 0 . 25 , H 1 : σ 2( x) < 0 . 25 (przyjmujemy taką H 1, bo S 2( x) = 0 . 14.

Statystyka Q 2 = 4 . 96. Kwantyl ( χ 2)

9 0 . 05 = 3 . 32. Obszar krytyczny lewostronny.

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej głoszącej, że σ 2( x) = 0 . 25 na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że σ 2( x) < 0 . 25 na poziomie istotności α = 0 . 05.

Zad. 7. θ 0 = 1 . 49 , θ 1 = 1 . 28.

Zad. 8. σ( θ 0) = 0 . 16 , σ( θ 1) = 0 . 49.

p

Zad. 9. a = θ 1 = 1 . 28 , σ( a) = σ( θ 1) = 0 . 49 , b = θ 0 + θ 1 x = 2 . 99 , σ( b) =

σ 2( θ 0) + θ 2 σ 2( x) + x 2 σ 2( θ

1

1) = 0 . 57.

Zad. 10. Tn( s) = x − 1 = 0 . 18.

Zestaw zadań z pliku smopIIegz1.jpg

Zad. 1. H 0 : Rozkłady zmiennych X i Y są rozkładami normalnymi. H 1 : Rozkłady zmiennych X i Y nie są rozkładami normalnymi.

Statystyki: X : Q 1 = 0 . 20 , Q 2 = − 1 . 07 , Y : Q 1 = − 0 . 78 , Q 2 = − 0 . 48 . Żadna z wartości Q 1 , 2 nie mieści się w obustronnym przedziale krytycznym ( −∞, − 3) ∪ (3 , ∞).

Nie ma podstaw do odrzucenia H 0 głoszącej, że rozkłady zmiennych X i Y są rozkładami normalnymi na rzecz H 1 mówiącej, że rozkłady zmiennych X i Y nie są rozkładami normalnymi na poziomie istotności α = 1 / 9.

Zad. 2. H 0 : Rozkłady zmiennych X i Y są identyczne. H 1 : Rozkłady zmiennych X i Y nie są identyczne.

Statystyka: liczba k par xi > yi jest równa 2. Obszar krytyczny obustronny: k ¬ 2 lub k ­ 8, bo: P ( k ¬ 2) =

0 . 055 , P ( k ¬ 3) = 0 . 172, zaś α/ 2 = 0 . 06. k = 2 należy do obszaru krytycznego.

Odrzucamy hipotezę zerową mówiącą, że rozkłady zmiennych X i Y są identyczne na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że rozkłady zmiennych X i Y są różne na poziomie istotności α = 0 . 12.

Zad. 3. 1 . 17 < E( Y ) < 1 . 88 , 0 . 19 < var( Y ) < 1 . 00.

Zad. 4. H 0 , H 1 : jak w zadaniu 2.

q

Statystyka testowa: D

n 1+ n 2

n

= 0 . 5. Kwantyl:

y

1 ,n 2

n

0 . 95 = 0 . 61. Obszar krytyczny prawostronny.

1 n 2

Nie ma podstaw do odrzucenia H 0 głoszącej, że rozkłady zmiennych X i Y są identyczne na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że rozkłady zmiennych X i Y są różne na poziomie istotności α = 0 . 05. Śmiechu warte!

Za słaby test - na oko widać, że rozkłady są istotnie różne!

Zad. 5. H 0 : σ 2( X) = 0 . 25 , H 1 : σ 2( X) 6= 0 . 25.

Statystyka Q 2 = 3 . 17. Kwantyle: ( χ 2)

)

9 0 . 05 = 3 . 32 , ( χ 2

9 0 . 95 = 16 . 91. Obszar krytyczny obustronny.

Odrzucamy hipotezę zerową głoszącą, że σ 2( X) = 0 . 25 na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że σ 2( X) 6=

0 . 25 na poziomie istotności α = 0 . 10.

Zad. 6. H 0 : σ 2( X) = σ 2( Y ) , H 1 : σ 2( X) < σ 2( Y ).

Statystyka F = 4 . 22. Kwantyl: F (9 , 9)0 . 95 = 3 . 18. Obszar krytyczny prawostronny.

Odrzucamy hipotezę zerową głoszącą, że σ 2( X) = σ 2( Y ) na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że σ 2( X) < σ 2( Y ) na poziomie istotności α = 0 . 05.

Zad. 7. H 0 : E( X) = E( Y ) , H 1 : E( X) < E( Y ).

Statystyka t = − 2 . 04. Kwantyl: ( t 18)0 . 1 = − 1 . 33. Obszar krytyczny lewostronny.

Odrzucamy hipotezę zerową głoszącą, że E( X) = E( Y ) na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że E( X) < E( Y ) na poziomie istotności α = 0 . 1.

Zad. 8. H 0 : Klasyfikacje - ze względu na zmienną X/Y oraz ze względu na poprawę lub jej brak - są niezależne.

H 1 : Klasyfikacje są zależne - para (Y, brak poprawy) jest mniej prawdopodobna niż dla klasyfikacji niezależ-

nych.

Statystyka - tabela liczności:

Y

X

suma

brak poprawy

m 1 = 2

m 2 = 5

m = 7

poprawa

n 1 − m 1 = 8

n 2 − m 2 = 5

n − m = 13

suma

n 1 = 10

n 2 = 10

n = 20

1

Obszar krytyczny: małe wartości m 1, tj. m 1 ∈ { 0 , 1 }, bo: P ( m 1 ¬ 1) = 0 . 029 ¬ α = 0 . 05 ¬ P ( m 1 ¬ 2) = 0 . 175 .

Nie ma podstaw do odrzucenia H 0 mówiącej, że klasyfikacje - ze względu na zmienną X/Y oraz ze względu na poprawę lub jej brak - są niezależne, na rzecz hipotezy alternatywnej głoszącej, że klasyfikacje są zależne (para (Y, brak poprawy) jest mniej prawdopodobna niż dla klasyfikacji niezależnych), na poziomie istotności α = 0 . 05.

Zad. 9. H 0 , H 1 : jak w zadaniu 8.

Statystyka: X 2 = 0 . 88. Kwantyl ( χ 2)

1 0 . 95 = 3 . 84. Obszar krytyczny prawostronny.

Nie ma podstaw do odrzucenia H 0 - podobnie jak w zad. 8.

Zad. 10. H 0 : Zmienne X, Y nie są skorelowane. H 1 : Zmienne X, Y są skorelowane.

Rangi: rX : (4 , 9 , 2 , 8 , 7 , 5 , 6 , 1 , 10 , 3) , rY : (9 , 5 , 6 , 8 , 1 , 10 , 4 , 3 , 2 , 7). Współczynnik korelacji: ρ = − 0 . 25. Statystyka: t = − 0 . 73. Kwantyle: ( t 8)0 . 025 = − 2 . 31 , ( t 8)0 . 095 = 2 . 31. Obszar krytyczny obustronny.

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej, że zmienne X, Y są nieskorelowane, na rzecz hipotezy alternatywnej głoszącej, że zmienne X, Y są skorelowane, na poziomie ufności α = 0 . 05.

Zestaw zadań z pliku smopIIegz2.jpg

Zad. 1. H 0 : Rozkłady zmiennych X i Y są rozkładami normalnymi. H 1 : Rozkłady zmiennych X i Y nie są rozkładami normalnymi.

Statystyki: X : Q 1 = 0 . 02 , Q 2 = − 0 . 57 , Y : Q 1 = − 0 . 39 , Q 2 = − 0 . 82 . Żadna z wartości Q 1 , 2 nie mieści się w obustronnym przedziale krytycznym ( −∞, − 3) ∪ (3 , ∞).

Nie ma podstaw do odrzucenia H 0 głoszącej, że rozkłady zmiennych X i Y są rozkładami normalnymi na rzecz H 1 mówiącej, że rozkłady zmiennych X i Y nie są rozkładami normalnymi na poziomie istotności α = 1 / 9.

Zad. 2. H 0 : Rozkłady zmiennych X i Y są identyczne. H 1 : Rozkłady zmiennych X i Y nie są identyczne.

Statystyka: liczba k par xi > yi jest równa 4. Obszar krytyczny obustronny: k ¬ 2 lub k ­ 8, bo: P ( k ¬ 2) =

0 . 055 , P ( k ¬ 3) = 0 . 172, zaś α/ 2 = 0 . 06. k = 4 nie należy do obszaru krytycznego.

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej, że rozkłady zmiennych X i Y są identyczne na rzecz hipotezy alternatywnej głoszącej, że rozkłady zmiennych X i Y są różne na poziomie istotności α = 0 . 12.

Zad. 3. 1 . 00 < E( Y ) < 1 . 76 , 0 . 23 < var( Y ) < 1 . 17.

Zad. 4. H 0 , H 1 : jak w zadaniu 2.

q

Statystyka testowa: D

n 1+ n 2

n

= 0 . 4. Kwantyl:

y

1 ,n 2

n

0 . 95 = 0 . 61. Obszar krytyczny prawostronny.

1 n 2

Nie ma podstaw do odrzucenia H 0 głoszącej, że rozkłady zmiennych X i Y są identyczne na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że rozkłady zmiennych X i Y są różne na poziomie istotności α = 0 . 05.

Zad. 5. H 0 : σ 2( X) = 0 . 25 , H 1 : σ 2( X) 6= 0 . 25.

Statystyka Q 2 = 11 . 50. Kwantyle: ( χ 2)

)

9 0 . 05 = 3 . 32 , ( χ 2

9 0 . 95 = 16 . 91. Obszar krytyczny obustronny.

Odrzucamy hipotezę zerową głoszącą, że σ 2( X) = 0 . 25 na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że σ 2( X) 6=

0 . 25 na poziomie istotności α = 0 . 10.

Zad. 6. H 0 : σ 2( X) = σ 2( Y ) , H 1 : σ 2( X) < σ 2( Y ).

Statystyka F = 1 . 35. Kwantyl: F (9 , 9)0 . 95 = 3 . 18. Obszar krytyczny prawostronny.

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej głoszącej, że σ 2( X) = σ 2( Y ) na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że σ 2( X) < σ 2( Y ) na poziomie istotności α = 0 . 05.

Zad. 7. H 0 : E( X) = E( Y ) , H 1 : E( X) < E( Y ).

Statystyka t = − 1 . 40. Kwantyl: ( t 18)0 . 1 = − 1 . 33. Obszar krytyczny lewostronny.

Odrzucamy hipotezę zerową głoszącą, że E( X) = E( Y ) na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że E( X) < E( Y ) na poziomie istotności α = 0 . 1.

Zad. 8. H 0 : E( X) = E( Y ) , H 1 : E( X) 6= E( Y ).

s 2 = 0 . 74 , s 2 = 0 . 38. Statystyka: F = s 2 /s 2 = 1 . 97. Kwantyl: F (1 , 18) b

w

b

w

0 . 95 = 4 . 41. Obszar krytyczny prawo-

stronny.

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej głoszącej, że E( X) = E( Y ) na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że E( X) 6= E( Y ) na poziomie istotności α = 0 . 05.

Zad. 9. f ( x) = Ce−Cx dla x ­ 0 i f ( x) = 0 dla x < 0.

P

Funkcja wiarygodności: L( C) = Q n

f ( x

xi

i

. Logarytm funkcji wiarygodności: l( C) = ln L =

i=1

i|C ) = C ne−C

n ln C − C P n

x

= n − P n

x

i=1

i. Szukamy maksimum funkcji l( C ):

∂l

∂C

|C|

i=1

i = 0. Mamy C > 0, bo z definicji

f ( x) ­ 0. Jest to maksimum, bo ∂ 2 l = − n < 0. Przeto: C =

n

= 1 = 1 . 01.

∂C 2

C 2

P

x

x

i

i

Zad. 10. Korzystamy ze wzoru (29) ze strony 21 w skrypcie. Dostajemy: var( z) = 5 . 6 , var( t) = 7 . 02 , cov( z, t) =

− 6 . 27. Zgodnie z oczekiwaniem dostajemy:

cov( z, t)

ρ( z, t) =

= − 1 ,

p var( z) var( t)

2

co odpowiada związkowi liniowemu między z a t.

3