Wykład pierwszy

Przestrzeń probabilistyczna. Model klasyczny i geometryczny

Rachunek prawdopodobieństwa - dziedzina matematyki zajmująca się zdarzeniami poja-wiającymi się przy wykonywaniu doświadczeń losowych, to znaczy doświadczeń, których wyniku nie da się z góry przewidzieć i które mogą być powtórzone w tych samych wa-runkach.

Przykłady doświadczeń losowych: rzut monetą lub kostką, losowanie karty z talii, wynik pomiaru wzrostu przypadkowo wybranego studenta, wystąpienie mutacji genetycznej.

Zbiór zdarzeń elementarnych

Definicja 1. Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego nazywamy zbiorem zdarzeń elementarnych i oznaczamy symbolem Ω.

Przykład 1. Rzucamy jeden raz kostką. Wtedy Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} jest zbiorem skoń-

czonym.

Przykład 2. Rzucamy monetą symetryczną tak długo dopóki nie wypadnie orzeł. Wtedy Ω = {O , RO , RRO , . . . R . . . R O, . . .} jest zbiorem przeliczalnym nieskończonym.

|

{z

}

n−1

Przykład 3. Rzucamy punkt materialny na kwadrat [0; 1] × [0; 1]. Wtedy Ω = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1} jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Zdarzenia losowe

Przykład 4. Zauważmy, że w przykładzie 1 oprócz zdarzeń elementarnych można roz-patrywać np. zdarzenia postaci A = {2, 4, 6} - wypadnie parzysta liczba oczek, B = {1, 2} - wypadnie liczba oczek mniejsza od 3.

Wtedy A i B są zdarzeniami losowymi nieelementarnymi. Zauważmy, że A ⊂ Ω, B ⊂ Ω, czyli zdarzenia losowe A i B są podzbiorami zbioru Ω.

Ogólnie: podzbiór zbioru Ω jest zdarzeniem losowym, jeśli spełnia pewne warunki okre-

ślone w poniższej definicji.

Definicja 2. Rodzinę F podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-ciałem zdarzeń, jeśli speł-

nione są warunki:

1. ∅ ∈ F ;

2. Jeśli A ∈ F , to A0 ∈ F ;

∞

[

3. Jeśli An ∈ F dla n ∈ N, to

An ∈ F .

n=1

1

Definicja 3. Zdarzeniem losowym nazywamy każdy element σ-ciała zdarzeń.

Definicja 4. Zdarzeniem pewnym nazywamy zdarzenie Ω.

Zdarzeniem niemożliwym nazywamy zdarzenie ∅.

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie A0 = Ω − A.

Przykład 4. Rozważmy jednokrotny rzut monetą symetryczną.

Wtedy Ω = {O, R}. Rodzina wszystkich zdarzeń losowych ma postać

F = {∅, Ω, {O}, {R}}.

Definicja 5. Przestrzeń (Ω, F ) nazywamy przestrzenią mierzalną.

Prawdopodobieństwo

Definicja 6. Prawdopodobieństwem w przestrzeni mierzalnej (Ω, F ) nazywamy każdą funkcję P : F →

+

R

∪ {0} taką, że

1. P (Ω) = 1;

∞

!

∞

[

X

2. P

Ai

=

P (Ai) dla każdego przeliczalnego ciągu zdarzeń (Ai)∞ takiego,

i=1

i=1

i=1

że Ai ∩ Aj = ∅ gdy i 6= j.

Warunki zawarte w powyższej definicji noszą nazwę aksjomatów teorii prawdopodobień-

stwa. Zostały sformułowane w 1933 roku przez Kołmogorowa.

Definicja 7. Trójkę (Ω, F , P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa:

Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Jeśli A, B, A1, . . . , An ∈ F , to: 1. P (∅) = 0;

n

!

n

[

X

2. Jeśli Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j, to P

Ai

=

P (Ai);

i=1

i=1

3. P (A0) = 1 − P (A);

4. A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B);

5. P (B − A) = P (B) − P (A ∩ B);

6. A ⊂ B ⇒ P (B − A) = P (B) − P (A);

7. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B);

2

8. Wzór włączeń i wyłączeń:

X

X

P (A1 ∪ · · · ∪ An) =

P (Ai) −

P (Ai ∩ Ak) + · · · +

1≤i≤n

1≤i<k≤n

+(−1)n−1 · P (A1 ∩ · · · ∩ An).

W szczególności, dla n=3:

P (A1 ∪ A2 ∪ A3) =P (A1) + P (A2) + P (A3) − P (A1 ∩ A2)+

−P (A1 ∩ A3) − P (A2 ∩ A3) + P (A1 ∩ A2 ∩ A3).

Uwaga. Z definicji prawdopodobieństwa wynika, że dla każdego A ∈ F , P (A) ≥ 0.

Ponadto, ponieważ A ⊂ Ω, więc na mocy własności 4 prawdopodobieństwa mamy P (A) ≤ P (Ω) = 1. Ostatecznie więc dla każdego zdarzenia A

0 ≤ P (A) ≤ 1.

Przykłady określania prawdopodobieństwa

1. Przeliczalny zbiór zdarzeń elementarnych

Twierdzenie 1. Jeśli Ω = {ω1, ω2, . . . } jest zbiorem przeliczalnym oraz {ωi} ∈ F dla każdego i, to dla każdego zdarzenia losowego A ⊂ Ω

X

P (A) =

pi,

{i: ωi∈A}

gdzie pi = P ({ωi}).

1.1 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Niech A będzie skończonym zbiorem. Wtedy A oznacza liczbę elementów zbioru A.

Twierdzenie 2. Jeśli Ω = {ω1, . . . , ωn} jest zbiorem skończonym, {ωi} ∈ F dla każdego i jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to znaczy 1

P (ωi) = Ω

dla każdego ωi ∈ Ω,

to dla dowolnego zdarzenia losowego A ∈ F

A

P (A) =

.

Ω

Klasyczną definicję prawdopodobieństwa podał w 1812 roku Laplace.

3

2. Geometryczna definicja prawdopodobieństwa

Uwaga. Jeśli A ⊂

n

R , to |A| jest miarą Lebesgue’a zbioru A, to znaczy:

jeśli n = 1, to |A|="długość";

jeśli n = 2, to |A|="pole";

jeśli n = 3, to |A|="objętość".

Twierdzenie 3. Niech Ω ⊂

n

R , n ≥ 1, gdzie Ω ma skończoną i niezerową n-wymiarową

miarę Lebesgue’a. Wówczas

|A|

P (A) = |Ω|

dla każdego A ∈ F .

Przykład 5. Rzucamy n razy monetą symetryczną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeden raz wystąpi orzeł?

Rozwiązanie: Przestrzeń zdarzeń elementarnych można zapisać jako

Ω = {(x1, . . . , xn) : xi ∈ {O, R}}.

Zauważmy, że Ω jest zbiorem skończonym i Ω = 2n. Ponadto wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to znaczy

1

P (ωi) = 2n

dla każdego ωi ∈ Ω. Możemy więc korzystać z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Mamy:

A = {(O, R, . . . , R), (R, O, R, . . . , R), . . . , (R, R, . . . , R, O)}, co oznacza, że A = n. Ostatecznie więc

A

n

P (A) =

=

.

Ω

2n

Przykład 6. Dwie osoby X i Y umawiają się na spotkanie między godziną 1100 a 1200, przy czym ta, która przyjdzie pierwsza czeka na drugą 20 minut i odchodzi.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, że się spotkają?

Rozwiązanie: Skorzystamy z geometrycznej definicji prawdopodobieństwa. Niech x-moment przyjścia osoby X;

y-moment przyjścia osoby Y .

Wtedy

Ω = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1},

4

oraz

1

A =

(x, y) ∈ Ω : |x − y| <

.

3

Mamy: |A| = 5 , |Ω| = 1. Zatem

9

|A|

5

P (A) =

=

.

|Ω|

9

2. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia B, ze przyjdą w tym samym momencie?

Rozwiązanie:

B = {(x, y) ∈ Ω : x = y}.

Zatem |B| = 0, co oznacza, że P (B) = 0.

Uwaga: Mimo, że P (B) = 0, to B nie jest zdarzeniem niemożliwym!

5