Katedra Nauk Ścisłych
Zadanie przygotowawcze do egzaminu z matematyki dla ZSZ C5
1
2
1
2
1 −1
2
0
−1
0
1
1
2
1 −3
1
1. Obliczyć: a)
, b)
.
2
3
1 −1
−1
2
1 −3
1
−1 2
1
2 −3
1 −1
6 12
0
−1 2
2 5
2. Obliczyć: a) A−1 · BT , gdy A =
, B =
; b) AT · B−1, gdy A = −6
0
6 ,
−2 3
6 9
12
6 −6
1 −1 2
−1 2 1
B = 1
0 3 , c) A−1BT , gdy A =
0 3 1 ,
2
1 1
1 1 2
0 6 −6
1
4 −2
1 −1 1
B = 12
6
0 , d) A · B−1, gdy A =
2 −1
3 , B =
2 −1 2 ,
−6 6
12
−1
2
4
−1
2 1
1 −3
1
1
4 −1
e) A−1 · B, gdy A = −1 −1
3 , B = 4
1
2 , f) . A−1BT , gdy
2 −1 −1
2 −2 −1
1 2 −1
A =
2 3
1 , B =
9 −18 27 .
−1 1
1
2x + 3y = 13
3. Rozwiązać układ równań i w przypadku istnienia rozwiązania wykonać sprawdzenie: a) 3x + 5y = 21
x − 4y = −10,
2x − 3y = −5
2x + 3y = 4
x + 2y − z = 10
b)
3x + 4y = 18
c)
3x − 4y = −11 d)
2x + y + 3z = 7,
4x − y = 4,
2x + y = 0,
2x − 3y + z = 0
2x − y + 2z = 1
2x − y + 4z = −1
e)
x − 2y + 3z = −5 f)
3x + 2y − z = 9
g)
x − 4y + z = 4
3x + y − 2z = 9,
4x + 2y − z = 11,
2x − 2y + 3z = 1,
2x − y + 4z = 4
2x − y + 4z = 4
2x − y + 2z = −2
h)
x − 4y + z = −6 i)
x − 4y + z = −6 j)
x + 2y − 3z = 8
2x − 2y + 3z = 1,
3x − 5y + 5z = −2
3x − 4y − z = −4,
2x + y − 2z = −1
3x + y − z = −4
2x + y − 3z = −9
k)
x + 3y − z = −3 l)
2x − 3y + 2z = −2 m)
x + 2y − z = 0
2x + 4y + 5z = 3,
5x − 2y + z = −8,
4x − y − 7z = −27.
4. Wyznaczyć ekstremum funkcji f określonej wzorem: a) f (x, y) = x2 + 2y2 + xy − x − 3y + 1, 3
b) f(x, y) = x2 + 2y2 − xy − 5x + 6y + 7,c) f (x, y) = x2 + 5xy + 2y2 + 2x − y + 12, 2
50
20
d) f (x, y) = e−x x − y2 + 2 , e) f (x, y) = ex 2x + y2 − 1 , f) f (x, y) = xy +
+
x
y
5. Obliczyć: a)
(3x − 2y + 1) dxdy, gdy D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2 i 1 ≤ y ≤ 2}, b) (x − y + 1) dxdy,
D
D
gdy D jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (−1, 0) i (−1, −2), c) (2x + 2y − 1) dxdy, gdy D jest
D
trójkątem o wierzchołkach (1, 1),(3, 1) i (3, 3).
6. Obliczyć: a)
(x − 2y) dx + ydy, gdzie AB jest odcinkiem o końcach w punktach A = (−1, 1), AB
B = (4, 3) skierowanym od punktu A do punktu B, b) (y + z) dx + (x + z) dy + (x + y) dz, gdzie AB
AB jest odcinkiem o końcach w punktach A = (−1, 2, 3), B = (2, −1, 1) skierowanym od punktu A do
punktu B, c)
(x − 3y) dx + (x + y) dy, gdzie K = {(2t, t) : 0 t 1} skierowanym zgodnie ze wzrostem K
1
parametru t, d)
2xdx + ydy, gdzie K jest ćwiartką okr ęgu o równaniu x2 + y2 = 1 skierowanym od K
punktu (1, 0) do punktu (0, 1) .
x − 1
7. Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego: a) x2y + y = 0, b) y =
, c) xy + 2y − 1 = 0,
y
d) y = xy, e) y − x2 − 1 y = 0, f) 1 + y2 + 1 + x2 y = 0, g) y = ex+2y.
8. Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego spełniającą podany obok warunek początkowy: a) y = 2x ,y (0) = 1, b) y − 4y = 7 − 12x , y (0) = 0, c) y − y = 1 − x2, y (0) = 0, d) y = ex+2y, y
y (0) = 0.e) y − 3y = 2x + 5, y (0) = 1; f) y + 2y = x2, y (0) = −1; g) y + 3y = sin x, y (0) = 2;2
h) y − y = e2x, y (0) = 1, i) y + 7y = 5 sin 2x + 9 cos 2x, y (0) = 2, j) y − y = 2 sin 3x, y (0) = 5
9. Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego: a) y + 4y + 3y = 9x + 9, b) y + 5y + 4y = 12x + 7, c) y − 2y = 6 − 12x, d) y − 4y + 4y = x − 1, e) y + 9y = 18x − 9, f) y − 5y + 6y = −2 + x2, g) y − 4y + 13y = sin 2x, h) y − 5y = 0, i) y − 7y + 6y = 2x − 1, j) y + 4y + 3y = x − 1.
10. Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego spełniająca podany warunek początkowy: a) y−4y+3y = 0,y (0) = 2, y (0) = 4; b) y+4y = 0, y (0) = 1, y (0) = −1, c) y−2y+2y = 0,y (0) = 0, y (0) = −1; d) y − y = 3x + 1, y (0) = 0, y (0) = −2; e) y − y − 12y = −12x − 13, y (0) = 3, y (0) = 2.
f) y + 9y = 9x + 9,y (0) = 2, y (0) = −2; g) y + 3y − 4y = −4x + 7,y (0) = 2, y (0) = −1, 19
4
h) y + y − 6y = 2x − 1, y (0) =
, y (0) = − .
9
3
Odpowiedzi
13
6
0 0
2 −7 10
−27
−3
2
2
2
−4 0
3
1
1
1. a) 28 b) −64. 2. a)
. b)
5 −3 5 . c)
4
1
2 . d)
−1 3
2
2
2
.
−4
0 2
−6
3
0
9
−3
5
2
2
2
7
−7
1
2
2
2
−23
15
7
e)
−25
8
8
8
. f)
12 3. a) (2, 3). b) Sprzeczny. c) (−1, 2). c) Zbiorem rozwiązań jest 25
−15
9
−8
8
8
8
19 5
23
−7t + 4, y = 5t + 13, t : t ∈ R . e)
,
, −
. f) (2, 1, −1). g) (1, −1, −1). h) (1, 2, 1).
3
3
3
3
12 12
12
i) Zbiorem rozwiązań jest
−15t + 22, −2t + 16, t : t ∈ R . j) (1, 2, −1). k) (1, −1, 1). l) Sprzeczny.
7
7
7
7
m) Zbiorem rozwiązań jest {(−5t + 9, t, −3t + 9) : t ∈ R}. 4. a) Minimum równe −1 w punkcie (1, 1).
b) Minimum równe −1 w punkcie (2, −1).c) Funkcja nie ma ekstremum. d) Maksimum równe e w punkcie
(−1, 0). e) Minimum równe −2
√
w punkcie −1, 0 .f) Minimum równe 30 w punkcie (5, 2). 5. a) 2. b) 1.
e
2
1
1
1
1
c)14. d) 0. 6. a) 21 .b) −2. c) . d) − . 7. a) y = Ce 1x . b) y2 = x2 − 2x + C. c) y =
x2 + C .
2
2
2
2x2
1
√
d) y = Ce 1 x2
x−1
2
e) y = C
. f) y = tg (C − arctg x). g) y = − ln (C − 2ex) . 8. a) y = 2x2 + 1, b) x+1
2
1
2
17
26
y = −1 + 3x + e4x. c) y = 1 + x2 + 2x − ex. d) y = − ln 3 − 2e2x . e) y = − x −
+
e3x.
2
3
9
9
1
1
1
5
3
1
21
f) y = x2 − x+ − e−2x. g) y =
sin x−
cos x+
e−3x. h) y = e2x. i) y = cos 2x+sin 2x+e−7x.
2
2
4
4
10
10
10
3
1
j) y = − cos 3x − sin 3x + ex. 9. a) y = −1 + 3x + C
5
5
1e−x + C2e−3x. b) y = 3x − 2 + e−4xC1 + C2e−x.
1
c) y = 3x2 + C1 + C2e2x. d) y = x + C
4
1e2x + C2xe2x. e) y = 2x − 1 + C1 cos 3x + C2 sin 3x.
1
5
17
8
9
f) y =
x2 +
x −
+ C
cos 2x +
sin 2x + C
6
18
108
1e2x + C2e3x. g) y = 145
145
1e2x cos 3x + C2e2x sin 3x.
3
13
1
2
1
7
h)y = −
x2 −
x + C
x +
+ C
x − + C
10
25
1e5x + C2. i) y = 3
9
1e6x + C2ex. j) y = 3
9
1e−x + C2e−3x.10.
1
a) y = ex + e3x. b) y = cos 2x − sin 2x. c) y = − sin x · ex.d) y = ex − 3x − 1. e) y = e−3x + e4x + x + 1.
2
1
1
f) y = cos 3x − sin 3x + x + 1. g) y = 2ex + e−4x + x − 1. h) y = e2x + e−3x − x + .
3
9
2