Wielomianem nazywamy funkcję : daną wzorem:
Liczby a nazywamy współczynnikami wielomianu W, to wyraz wolny,
(jeśli tylko
0) najstarszym współczynnikiem lub współczynnikiem wiodącym, zaś jest jego stopniem. Stopień wielomianu oznacza się symbolem
.
Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia. Niekiedy przyjmuje się, że stopień wielomianu zerowego wynosi ∞.
Wielomianu zerowego nie należy mylić z wielomianem stopnia zerowego, czyli wielomianem postaci
, gdzie
0.
Wielomian unormowany to taki wielomian, którego najstarszy współczynnik jest równy jedności.
Działania na wielomianach
Dwa wielomiany uważamy za równe, gdy odpowiednie współczynniki są sobie równe.
Na wielomianach można wykonywać różne operacje, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, złożenie.
Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem.
Dodawanie wykonuje się dodając do siebie współczynniki stojące przy odpowiednich potęgach. Natomiast mnożenie wielomianów polega na przemnożeniu przez siebie wszystkich wyrazów wielomianów.
Przykład:
3
2
8
8
3
7
1
4
9
12
6
5
3
2
9
17
15
13
4
2
5
6
3 · 3
4
6
15
18
9
2
5
6
3
8
20
24
12
6
13
31
23
27
12
Zachodzą zależności:
,
·
Iloraz dwóch wielomianów może nie być wielomianem. Jeżeli jest, mówimy, że wielomian jest podzielny przez inny. Na ogół przy dzieleniu wielomianów pozostaje reszta, podobnie jak przy dzieleniu liczb całkowitych. Dzieląc przez
otrzymujemy:
·
,
MB
WIELOMIANY
gdzie P
i
są wyznaczone jednoznacznie.
Funkcjami wymiernymi nazywa się ilorazy wielomianów, np.:
.
Pełnią one podobną rolę dla wielomianów jak liczby wymierne dla liczb całkowitych.
Sam algorytm dzielenia wielomianów jest analogiczny do dzielenia liczb całkowitych: 1
3
2
8
4 : 4
3
2
8
3
2
2
3
8
2
3
9
2
8
1
9
4
8
Zatem 2
8
4 : 4
3
Wartości wielomianu i pierwiastki.
Wartość wielomianu dla pewnej liczby (lub krotki w przypadku wielomianu wielu zmiennych) nazywa się liczbę, którą otrzymuje się po podstawieniu tej liczby do wielomianu.
Jeśli
3
1 to
1
1
3 · 1
1
1
4.
Jeżeli wartością wielomianu dla liczby jest 0, to mówimy, że jest pierwiastkiem wielomianu. Innymi słowy, pierwiastki wielomianu to jego miejsca zerowe. Aby znaleźć miejsca zerowe, należy rozwiązać równanie: 0.
Twierdzenie Bezout. Liczba rzeczywista jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko
wtedy gdy wielomian da się przedstawić w postaci:
·
,
dla pewnego wielomianu .
Innymi słowy jeśli jest pierwiastkiem wielomianu to jest wielomian jest podzielny przez dwumian
.
Pierwiastek wielokrotny wielomianu to taki pierwiastek tego wielomianu, że wielomian W dzieli się bez reszty przez
, gdzie
2. Największą liczbę o tej własności nazywamy krotnością pierwiastka.
2
MB
WIELOMIANY
Znajdowanie pierwiastków było jednym z najistotniejszych problemów algebry. Dla trójmianu kwadratowego powszechnie znany jest algorytm znajdowania pierwiastków.
Podobne, lecz niestety dużo bardziej skomplikowane wzory są dla wielomianów stopnia 3 i 4
(wzory Cardano i Ferrari – odsyłam tablice i Internet).
Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Jeżeli wielomian
o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny, który można zapisać w postaci nieskracalnego ułamka , gdzie
,
\ 0 , to jest dzielnikiem wyrazu wolnego
, zaś
jest dzielnikiem
najstarszego współczynnika
.
Do znajdowania pierwiastków mogą przydać się wzory skróconego mnożenia, a także intuicja
– czasem po prostu udaje się odgadnąć pierwiastek.
Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynu wielomianów niższego stopnia.
Podstawowe twierdzenie algebry.
Dowolny wielomian stopnia nad ciałem liczb zespolonych ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).
Uwaga: w przypadku liczb rzeczywistych każdy wielomian stopnia ma co najwyżej pierwiastków. Z podstawowego twierdzenia algebry wynika, że każdy wielomian stopnia większego niż 2 można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej 2.
Wzory Viete’a
Jeśli ,
, … są pierwiastkami wielomianu
, to
zachodzą następujące równości:
.
…
…
1
(w każdej sumie występuje
składników, sumujemy wszystkie iloczyny różnych pierwiastków).
W szczególności dla trójmianu kwadratowego zachodzi:
.
3
MB
WIELOMIANY
Natomiast dla wielomianu
:
.
4
MB