Kierunek Informatyka i Ekonometria

ANALIZA MATENATYCZNA

Przestrzenie metryczne

1. Pojęcia podstawowe

Dany jest niepusty zbiór X.

Definicja 1. Dowolną funkcję % : X × X −→ [0 , ∞) , która dla x, y, z ∈ X spełnia warunki: 1. %( x, y) = 0 wtedy gdy x = y

2.

%( x, y) = %( y, x) (własność symetrii)

3.

%( x, y) ¬ %( x, z) + %( z, y) (nierówność trójkąta) nazywamy metryką lub odległością w zbiorze X, a parę ( X, %) nazywamy przestrzenią metryczną .

Uwaga 1. Jeśli ( X, %) jest przestrzenią metryczną to dla dowolnego niepustego zbioru E ⊂ X

para ( E, %) jest przestrzenią metryczną.

Niech u ∈ X i niech r > 0. Wówczas zbiór

K( u, r) = {x ∈ X : %( x, u) < r} nazywamy kulą otwartą o środku w punkcie u i promieniu r.

Niech E ⊂ X będzie zbiorem niepustym. Wówczas:

Mówimy, że E jest zbiorem otwartym gdy dla dowolnego u ∈ E istnieje r > 0 takie że K( u, r) ⊂

E.

Mówimy, że E jest zbiorem domkniętym gdy zbiór E0 = X \ E jest zbiorem otwartym.

Mówimy, że punkt x ∈ E jest punktem wewnętrznym zbioru E gdy istnieje r > 0 takie, że K( x, r) ⊂ E. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru E nazywamy wnętrzem zbioru E i oznaczamy int E.

Mówimy, że punkt x ∈ X jest punktem brzegowym zbioru E gdy dla dowolnego r > 0 zbiór K( x, r) ma punkty wspólne z E i z jego uzupełnieniem E 0 = X \ E.

Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru E nazywamy brzegiem zbioru E i oznaczamy

∂E. Jest to zbiór domknięty.

Zbiór E= E S ∂E nazywamy domknięciem zbioru E.

Zbiór E jest domknięty wtedy, gdy zawiera swój brzeg.

Mówimy, że punkt x ∈ X jest punktem skupienia zbioru E gdy dla dowolnego r > 0 zbiór K( x, r) zawiera punkty zbioru E różne od x. Zbiór punktów skupienia zbioru E oznaczamy E d i nazywamy także pochodną zbioru E. Jest to zbiór domknięty. Ponadto E= E S Ed.

Mówimy, że punkt x ∈ E jest punktem izolowanym zbioru E gdy istnieje r > 0 takie, że K( x, r) ∩ E = {x}.

2. Ciągi punktów w przestrzeni metrycznej ( X, %)

Niech {xk} , k = 1 , 2 , 3 , ... będzie ciągiem punktów z przestrzeni X, niech x ∈ X będzie ustalone.

Definicja 2. Jeśli lim %( xk, x) = 0 to mówimy, że ciąg punktów {xk} jest zbieżny do punktu k→∞

x i piszemy

lim xk = x.

k→∞

Uwaga 2. lim xk = x wtedy gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje m ∈

takie, że dla k > m

k→∞

mamy xk ∈ K( x, ε) a więc kula K( x, ε) zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu {xk}.

1

Uwaga 3. Każdy podciąg ciągu zbieżnego do punktu x jest zbieżny do x.

Twierdzenie 1. Zbiór E ⊂ X jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu punktów {xk} ⊂ E zbieżnego do punktu x mamy x ∈ E, to znaczy granica każdego zbieżnego ciągu punktów z E należy do E.

Twierdzenie 2. Punkt x ∈ X jest punktem brzegowym zbioru E wtedy gdy istnieją dwa ciągi punktów {xk} ⊂ E i {yk} ⊂ E0 = X \ E zbieżne do punktu x.

Twierdzenie 3. Punkt x ∈ X jest punktem skupienia zbioru E wtedy gdy istnieje ciąg {xk} ⊂

E \ {x} zbieżny do punktu x.

Liczbę δ( E) = sup{%( x, y) : x ∈ E i y ∈ E} nazywamy średnicą zbioru E.

Mówimy, że zbiór E jest ograniczony gdy jego średnica δ( E) jest skończona, (to znaczy, że zbiór E jest zawarty w pewnej kuli).

Dla x ∈ X liczbę %( x, E) = inf{%( x, y) : y ∈ E} nazywamy odległością punktu x od zbioru E.

Jeśli B jest niepustym podzbiorem X to liczbę %( E, B) = inf {%( x, y) : x ∈ E i y ∈ B}

nazywamy odległością zbiorów E i B.

3. Zupełność, zwartość i spójność

Dana jest przestrzeń metryczna ( X, %) i niepusty zbiór A ⊂ X.

Definicja 3. Mówimy, że ciąg punktów {xk} ⊂ X spełnia warunek Cauchyego gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje l ∈

takie, że dla m, n > l mamy %( xm, xn) < ε.

Twierdzenie 4. Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej spełnia warunek Cauchyego.

Definicja 4. Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest zupełna gdy każdy ciąg punktów tej przestrzeni spełniający warunek Cauchyego jest zbieżny do pewnego punktu x ∈ X.

Definicja 5. Mówimy, że zbiór A jest zwarty gdy każdy ciąg punktów {xk} ⊂ A zawiera podciąg

{xk } zbieżny do pewnego punktu x ∈ A.

n

Twierdzenie 5. Jeśli zbiór A jest zwarty to jest ograniczony i domknięty.

Twierdzenie 6. Każdy odcinek domknięty [ a, b] ⊂

jest zwarty.

Twierdzenie 7. Zbiór liczb rzeczywistych

jest przestrzenią zupełną.

Definicja 6. Mówimy, że zbiór A jest spójny gdy nie istnieją zbiory otwarte i rozłączne U i V takie, że A T U 6= ∅, A T V 6= ∅ i A ⊂ U S V . W przeciwnym przypadku zbiór A nazywamy niespójnym.

Twierdzenie 8. Zbiór A ⊂

jest spójny wtedy gdy jest przedziałem..

4. Przekształcenia ciągłe przestrzeni metrycznych

Dana są przestrzenie metryczne ( X, % 1) i ( Y, % 2) i funkcja f : X −→ Y nazywana także przekształceniem lub odwzorowaniem X w Y .

Definicja 7. Mówimy, że przekształcenie f jest ciągłe w punkcie x ∈ X gdy dla dowolnego ciągu punktów xk przestrzeni X jeśli lim xk = x to lim f ( xk) = f ( x) . Jeśli f jest ciągłe w każdym k→∞

k→∞

punkcie x ∈ X to mówimy, że f jest przekształceniem ciągłym przestrzeni X w Y .

2

Zbiór przekształceń ciągłych przestrzeni X w Y oznaczamy C( X, Y ), a zbiór przekształceń ciągłych przestrzeni X w zbiór liczb rzeczywistych

oznaczamy C( X).

Twierdzenie 9. Przekształcenie f jest ciągłe w punkcie x 0 ∈ X wtedy gdy dla dowolnego ε > 0

istnieje δ > 0 (zależna od x 0 ) taka, że dla każdego x ∈ K( x 0 , δ) mamy f( x) ∈ K( f( x 0) , ε) , to znaczy f ( K( x 0 , δ)) ⊂ K( f( x 0) , ε) .

Twierdzenie 10. Jeśli f : X −→ Y jest ciągłe i A jest zwartym podzbiorem X to jego obraz f ( A) jest zwartym podzbiorem Y .

Twierdzenie 11. Jeśli f : X −→ Y jest ciągłe i A jest spójnym podzbiorem X to jego obraz f ( A) jest spójnym podzbiorem Y .

Uwaga 4. Ciągły obraz zbioru zwartego (spójnego) jest zbiorem zwartym (spójnym).

5. Funkcje o wartościach rzeczywistych

Dana jest przestrzeń metryczna ( X, %) i niech E będzie niepustym podzbiorem X. Załóżmy, że dana jest funkcja

f : E −→ . Wprowadzamy oznaczenia:

zbiór wartości funkcji f na zbiorze E: f ( E) = Wf ( E) = {f( x) : x ∈ E}.

kres dolny i kres górny wartości funkcji f na E:

mf ( E) = inf Wf ( E) = inf {f( x) : x ∈ E}

Mf ( E) = sup Wf ( E) = sup {f( x) : x ∈ E}.

poziomica funkcji f to zbiór

Ps( f ) = {x ∈ E : f( x) = s} = f − 1( {s}) dla s ∈ .

Ps( f ) 6= ∅ ⇐⇒ s ∈ Wf ( E).

Definicja 8. Funkcja f przyjmuje w punkcie x 0 ∈ E wartość największą (najmniejszą) w zbiorze E gdy dla dowolnego

x ∈ E mamy f( x) ¬ f( x 0) (f( x) ­ f( x 0) ).

Uwaga 5. Jeśli funkcja f

przyjmuje w punkcie x 0 ∈ E wartość największą (najmniejszą) w

zbiorze E to Mf ( E) = f ( x 0) (mf ( E) = f ( x 0) ).

Definicja 9. Mówimy, że funkcja f ma maksimum (minimum) w punkcie P ∈ E gdy istnieje r > 0 takie, że dla każdego

x ∈ K( P, r) T E mamy f( P ) ­ f( x) (f( P ) ¬ f( x) ). Jeśli funkcja f ma maksimum lub minimum w punkcie P to mówimy, że f ma ekstremum w P .

Definicja 10. Mówimy, że funkcja f ma maksimum (minimum) właściwe w punkcie P ∈ E

gdy istnieje r > 0 takie, że dla każdego

x ∈ K( P, r) T E i x 6= P mamy f( P ) > f( x) (f ( P ) < f ( x) ). Jeśli funkcja f ma maksimum lub minimum właściwe w punkcie P to mówimy, że f ma ekstremum właściwe w P .

Twierdzenie 12. Jeśli E jest zbiorem zwartym i f ∈ C( E) to Mf ( E) i mf ( E) są skończone i są jednocześnie odpowiednio wartością największą i najmniejszą funkcji f na zbiorze E.

Twierdzenie 13. Jeśli E jest zbiorem zwartym i spójnym oraz f ∈ C( E) to Wf ( E) = [ mf ( E) , Mf ( E)] .

Wniosek 1. Niech a, b ∈ . Jeśli f : [ a, b] −→

jest ciągłe to f ([ a, b]) jest domkniętym

odcinkiem w , którego końcami są najmniejsza i największa wartość funkcji f na [ a, b] odpowiednio.

Twierdzenie 14. Jeśli P jest przedziałem w

i f : P −→

jest ciągłe to f ( P ) jest

odcinkiem w

, którego końcami są odpowiednio kres dolny i kres górny zbioru wartości funkcji

f na P .

3

6. Przekształcenia jednostajnie ciągłe

Dana są przestrzenie metryczne ( X, % 1) i ( Y, % 2) i funkcja f : X −→ Y .

Definicja 11. Mówimy, że przekształcenie f jest jednostajnie ciągłe gdy dla dowolnych ciągów punktów uk i vk przestrzeni X jeśli lim % 1( uk, vk) = 0 to lim % 2( f ( uk) , f ( vk)) = 0 .

k→∞

k→∞

Twierdzenie 15. Przekształcenie f jest jednostajnie ciągłe wtedy gdy dla dowolnego ε > 0

istnieje δ > 0 (zależna tylko od ε) taka, że dla dowolnego x ∈ X mamy f( K( x, δ)) ⊂ K( f( x) , ε) .

Wniosek 2. Jeśli przekształcenie f jest jednostajnie ciągłe to jest ciągłe.

Twierdzenie 16. Jeśli X jest zwarta i przekształcenie f jest ciągłe to f jest jednostajnie ciągłe.

7. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów funkcyjnych

Dana jest przestrzeń metryczna ( X, %) i niech E będzie niepustym podzbiorem X.

Niech

( E)

oznacza zbór funkcji określonych na E o wartościach rzeczywistych. Dla

f, g ∈

( E) określamy

M ( f, g) = M|f−g|( E) = sup {|f( x) − g( x) | : x ∈ E}

Załóżmy, że dany jest ciąg funkcji fn ∈

( E) i funkcja f ∈

( E).

Definicja 12. Mówimy, że ciąg fn jest zbieżny punktowo do funkcji f na zbiorze E jeśli dla dowolnego x ∈ E mamy

lim fn( x) = f ( x) i piszemy fn → f.

n→∞

Definicja 13. Mówimy, że ciąg fn jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E jeśli lim M ( fn, f ) = 0 i piszemy fn

f na E.

n→∞

Twierdzenie 17. Ciąg fn jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ciąg liczbowy an zbieżny do 0 i taki, że dla dowolnego x ∈ E i n ∈

mamy

|fn( x) − f( x) | ¬ an

Twierdzenie 18. Jeśli ciąg fn jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E to ciąg fn jest zbieżny punktowo do funkcji f na zbiorze E.

Twierdzenie 19. Jeśli ciąg funkcji ciągłych fn jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E to funkcja f jest ciągła na zbiorze E.

Zadania domowe

x

1. Dana jest funkcja f ( x) =

dla x ∈ + = [0 , ∞). Określamy

1 + 4 x

%( x, y) = | f( x) − f( y) | dla x, y ∈ +. Wykazać, że % jest metryką w

+

i wyznaczyć

kulę o środku y = 1 i promieniu r = 0 , 1 w tej metryce.

2. Dane są funkcje f 1( x) = sin x i f 2( x) = cos x określone dla x ∈ [0 , π]. Określamy

%j( x, y) = | fj( x) − fj( y) | dla x, y ∈ [0 , π] oraz j = 1 . 2. Czy %j jest metryką w [0 , π] .

π

Wyznaczyć ewntualnie kulę o środku y =

i promieniu r = 0 , 5 w tej metryce.

2

3. Dla x, y ∈

określamy %( x, y) = e−x − e−y . Wykazać, że % jest metryką w i

wyznaczyć kulę o środku x = 0 i promieniu r = 1 w tej metryce.

4

∞

1

1

4. Dany jest zbiór

[

A =

;

. Wyznaczyć brzeg, domknięcie i wnętrze

2 n+1

2 n

n=1

zbioru A. Czy zbiór A jest zwarty i spójny.

∞

2

5. Dany jest zbiór

[

A =

n ; n +

. Wyznaczyć brzeg, domknięcie i wnętrze

n

n=1

zbioru A. Czy zbiór A jest zwarty i spójny.

6. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji

x

√

a). f ( x) =

dla x ∈ [0 , ∞)

b). f ( x) =

x + 1 dla x ∈ [0 , ∞)

1 + 5 x

sin x

c). f ( x) = ex dla x ∈ ( −∞, 0) , dla x ∈

d). f ( x) =

dla x ∈ (0 , π) .

x

7. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną danego ciągu funkcyjnego w danym zbiorze nx 2

a). fn( x) =

w [0 , 2] i w [0 , ∞)

x 2 + n

x

r

1

b). fn( x) = sin

w [0 , ∞)

c). fn( x) =

x 2 +

w [0 , 3]

n

n

d). fn( x) = x 2 ne−nx

w [0 , ∞) .

Ent( nf ( x))

8. Dana jest funkcja f określona na . Określamy ciąg funkcji

fn( x) =

dla

n

x ∈ . Wykazać, że ciąg fn jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na .

1

ODP. : 1. K(1; 0 , 1) =

; ∞

6

π

π 2 π

2. % 1 nie jest metryką, % 2 jest i K

; 0 , 5 =

;

2

3

3

3. K(0; 1) = ( − ln 2; ∞)

1

1

1

4. ∂A = 0;

, A = 0;

, int A = 0;

, A jest zbiorem spójnym i nie jest zwarty.

2

2

2

∞

2

2

∞

2

5.

[

[ [

∂A = { 1; 3 } [

n +

; n + 1

, A = 1; 3

n ; n +

, int A = A ,

n

3

n

n=3

n=4

A nie jest zbiorem spójnym i nie jest zwarty.

6. W a). , b). i d). funkcje są jednostajnie ciągłe; c). funkcja jest jednostajnie ciągła w ( −∞, 0) i nie jest jednostajnie ciągła w

.

7. a). ciąg jest zbieżny jednostajnie do f ( x) = x 2 w [0 , 2] i jest zbieżny punktowo w [0 , ∞) b). ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji f ( x) = 0 i nie jest zbieżny jednostajnie c). ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji f ( x) = x

d). ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji f ( x) = 0 .

Opracował prowadzący przedmiot

dr Wojciech Hyb

Katedra Zastosowań Matematyki

5