Z3/1. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 1
1
Z3/1. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 1
Z3/1.1. Zadanie 1
Wyznaczyć analitycznie reakcje w prętach podporowych numer 1, 2 i 3 tarczy sztywnej przedstawio-nej na rysunku Z3/1.1.
24,0 kN
16,0 kN
8,0 kN
1,0
1
2
3
[m]
3,0
1,0
1,0
Rys. Z3/1.1. Tarcza sztywna
Z3/1.2. Analiza kinematyczna tarczy sztywnej
Tarcza sztywna przedstawiona na rysunku Z3/1.1 posiada trzy stopnie swobody. Trzy pręty podporowe numer 1, 2 i 3 odbierają razem trzy stopnie swobody. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4).
Tarcza sztywna jest podparta trzema prętami podporowymi, których kierunki nie przecinają się w jed-nym punkcie. Został tym samym spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla poje-dynczej tarczy sztywnej.
Ponieważ tarcza sztywna przedstawiona na rysunku Z3/1.1 spełnia warunek konieczny i dostateczny geometrycznej niezmienności jest więc ona układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczal-nym.
Z3/1.3. Analiza statyczna tarczy sztywnej
W pręcie podporowym jak wiadomo działa jedna reakcja, której kierunek pokrywa się z kierunkiem pręta podporowego. Rysunek Z3/1.2 przedstawia założone zwroty reakcji w prętach podporowych numer 1, 2 i 3.
Reakcję w pręcie podporowym numer 1 wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił
działających na tarczę sztywną na oś poziomą X. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Reakcja ta ma wartość
X = R −8,0=0
1
.
(Z3/1.1)
R =8,0 kN
1
Reakcja ta na więc zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/1. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 1
2
24,0 kN
16,0 kN
8,0 kN
1,0
R1
1
Y
2
3
[m]
X
R
R
2
3
3,0
1,0
1,0
Rys. Z3/1.2. Założone zwroty reakcji podporowych
24,0 kN
16,0 kN
8,0 kN
1,0
R1
1
A
2
3
Y
[m]
X
R
R
2
3
3,0
1,0
1,0
Rys. Z3/1.3. Punkt przecięcia kierunków reakcji w prętach podporowych numer 1 i 3
Reakcję w pręcie podporowym numer 2 najwygodniej możemy wyznaczyć z równania sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną względem punktu A przedstawionego na rysunku Z3/1.3. Punkt ten jest punktem przecięcia się kierunków reakcji w prętach podporowych numer 1 i 3. Dzięki temu momenty od reakcji w prętach podporowych numer 1 i 3 wynoszą zero. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Reakcja w pręcie podporowym numer 2 ma więc wartość
M = R ⋅4,0−24,0⋅1,016,0⋅1,0−8,0⋅1,0=0
A
2
.
(Z3/1.2)
R =4,0 kN
2
Ostatecznie zwrot tej reakcji jest taki sam jak przyjęty na początku obliczeń.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/1. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 1
3
24,0 kN
16,0 kN
8,0 kN
1,0
R1
1
B
Y
2
3
[m]
X
R
R
2
3
3,0
1,0
1,0
Rys. Z3/1.4. Punkt przecięcia kierunków reakcji w prętach podporowych numer 1 i 2
24,0 kN
16,0 kN
8,0 kN
1,0
8,0 kN
1
2
3
[m]
4,0 kN
36,0 kN
3,0
1,0
1,0
Rys. Z3/1.5. Siły działające na tarczę sztywną w równowadze Reakcję w pręcie podporowym numer 3 najwygodniej możemy wyznaczyć z równania sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną względem punktu B przedstawionego na rysunku Z3/1.4. Punkt ten jest punktem przecięcia się kierunków reakcji w prętach podporowych numer 1 i 2. Dzięki temu momenty od reakcji w prętach podporowych numer 1 i 2 wynoszą zero. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Reakcja w pręcie podporowym numer 3 ma więc wartość
M =− R ⋅4,024,0⋅3,016,0⋅5,0−8,0⋅1,0=0
A
3
.
(Z3/1.3)
R =36,0 kN
3
Ostatecznie zwrot tej reakcji jest taki sam jak przyjęty na początku obliczeń.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tarczę sztywną na oś pionową Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Równanie to ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/1. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 1
4
Y = R R −24,0−16,0=4,036,0−40,0=0
2
3
.
(Z3/1.4)
Równanie (Z3/1.4) jest spełnione. Możemy więc stwierdzić, że reakcje działające w prętach podporowych numer 2 i 3 zostały wyznaczone poprawnie. Rysunek Z3/1.5 przedstawia wszystkie siły działające na tarczę sztywną będące w równowadze.
Dr inż. Janusz Dębiński