1.Krzywizna linii pionu i powierzchni ekwipotencjalnych

Slajd 2:

Pomiary geodezyjne realizowane są po zorientowaniu instrumentów geodezyjnych względem linii

pionu. Oznacza to że pionowa oś obrotu instrumentu w wyniku "spoziomowania" zostaje ustawiona

stycznie do kierunku linii pionu w punkcie stanowiska. Z kolei płaszczyzna koła poziomego ustawiona

zostaje stycznie do powierzchni geopa przechodzącego przez stanowisko pomiarowe podobnie jak oś

celowa instrumentu. Stąd wpływ kształtu powierzchni ekwipotencjalnych oraz kształtu linii pionu

będzie miał wpływ na wyniki pomiarów geodezyjnych i będzie zauważalny szczególnie w pomiarach

precyzyjnych. Wpływ ten należy zatem uwzględniać w tego rodzaju pomiarach.

Równanie [1] opisuje położenie wektora przyspieszenia ciężkościowego czyli wektora określającego

kierunek linii pionu, prostopadłego po powierzchni ekwipotencjalnej W=const. Z kolei równanie [2]

opisuje wektor normalny do dowolnej powierzchni. Aby oba wektory były do siebie musi zachodzić

warunek równoległości [3]. Z niego można utworzyć np. warunek [4].

Rysunek pierwszy przedstawia linię y=f(x) na płaszczyźnie XOY. Krzywiznę κ takiej linii w punkcie P

przedstawia się jak odwrotność jej promienia ρ w postaci równania [5]. W zagadnieniach

geodezyjnych dotyczących linii pionu interesująca będzie płaszczyzna pionowa YOZ lub XOZ,

zawierająca ten kierunek. Zatem dla linii pionu w analogii do dowolnej linii y=f(x) będzie tym razem

np. x=f(z), czyli krzywizna analogicznie będzie miała postać [6].

Slajd 3:

Wcześniej uzyskany warunek [4] należy zróżniczkować tak, aby uzyskać postać dla krzywizny [6]. Po

zróżniczkowaniu otrzymamy postać [7]. Dalek należy uwzględnić fakt, że w rozpatrywanym układzie

współrzędnych WX=Wy=0 i dx/dz=0, a zatem część składników wzoru [7] wyzeruje się i prawa strona

zredukuje się do postaci Wxz/Wz. Przekształcając tą postać i uwzględniając, że Wz = -g otrzymamy

zależność na krzywiznę linii pionu [9] w płaszczyźnie XOZ. Analogicznie będzie wyglądała zależność na

krzywiznę l.p. w płaszczyźnie YOZ [10]. Będą to krzywizny rzutów l.p. na płaszczyznę odpowiednio

południka i I wertykału [10].

Slajd 4:

Krzywizna linii pionu w obu ww. płaszczyznach będzie miała wpływ na wartość współrzędnych ϕ,λ co

wynika z ich definicji (współrzędne astronomiczne). Wartości tych współrzędnych będą zatem

zmieniały się wzdłuż linii pionu. Stąd istnieje potrzeba ich redukcji na jeden ustalony poziom. Wartość

tej redukcji będzie zależna od krzywizny linii pionu i zapewne proporcjonalna do długości drogi

redukcji (wysokości H punktu nad przyjętym poziomem redukcji) (rysunek). Wyobraźmy sobie, że w

punkcie P na f.p.Z. zmierzono współrzędne ϕ,λ. Na powierzchni odniesienia np. na geoidzie

współrzędne te będą się różniły się od tych z f.p.Z. o niewielki kąt δϕ dla współrzędnej ϕ i równie

mały kąt δλ dla współrzędnej λ. Wartość tych kątów można obliczyć za pomocą ustalonej wcześniej

krzywizny [10] odpowiednio dla obu składowych otrzymując odpowiednie zależności w postaci [11].

Wzory te dotyczą sytuacji rzeczywistego pola ciężkościowego, gdzie linia pionu jest krzywą

przestrzenną. W normalnym polu ciężkościowym ze względu na kształt elipsoidy i jednorodny rozkład

masy linia pionu będzie krzywą płaską posiadającą krzywiznę jedynie w płaszczyźnie południka.

Zatem w tym polu krzywizna l.p. w płaszczyźnie I wertykału jest zerowa [12] a zatem nie będzie

zmiany długości λ. Krzywiznę l.p. w płaszczyźnie południkowej będzie można zapisać w postaci

wielkości pola normalnego [13].

Slajd 5:

Obliczenie pochodnej przyspieszenia normalnego prowadzi do pierwszego składnika wzoru [14],

gdzie γ0 przyspieszenie na elipsoidzie, γe przyspieszenie na równiku elipsoidy, M promień przekroju

południkowego, β - spłaszczenie grawimetryczne elipsoidy. Z kolei kąt zakrzywienia linii pionu czyli

przyrost szerokości można wyznaczyć na podstawie rysunku jako stosunek łuku H do jego promienia

ρ (drugi składnik [14]). Uwzględniając [14] w [15] jako odpowiedniku [11] dla pola normalnego

otrzymujemy poszukiwane zmiany współrzędnych ϕ i λ [16]. Dla uproszczenia nie wpływającego na

dokładność zamiast promienia przekroju południkowego użyto średniego promienia krzywizny

elipsoidy RE. Przyjmując ten promień jako stały oraz stałą wartość spłaszczenia β otrzymujemy

praktyczny wzór na przyrost szerokości ϕ [17]. Wynika z niego, że największy wpływ będzie redukcji

dla punktów na średniej szerokości położonych dodatkowo na o dużej wysokości n.p.m. Dla

wysokości H=1km w takim punkcie na średniej szerokości jej przyrost wyniesie -0.00034″, co

odpowiada "przesunięciu" punktu o 0.5 cm. Stąd wniosek że dla punktów podstawowych osnów

geodezyjnych taka redukcja będzie miała istotny wpływ i należy ją uwzględniać.

Slajd 6:

W podobny sposób można przeanalizować wpływ krzywizny linii pionu na wysokość. Poszukiwany

przyrost wysokości będzie różnica między wysokością H mierzoną wzdłuż linii pionu (łuk) a

wysokością h jako odcinkiem normalnej do elipsoidy. Łuk H otrzymamy na podstawie drugiego

składnika wzoru [14] czyli w postaci [18]. Z kolei z rysunku wynika, że odcinek h obliczymy za pomocą

promienia krzywizny i kąta zakrzywienia czyli przyrostu szerokości [19]. Rozwinięcie sin∆ϕ w szereg i

ograniczenie się do pierwszych dwóch wyrazów daje postać [20]. Stąd różnica wysokości H i h po

uwzględnieniu [16] wynosi w przybliżeniu [21]. Jest to bardzo mały przyrost: dla analogicznego w

poprzednim rozważaniu punktu ale położonego na wysokości najwyższych wzniesień na Ziemi

wartość różnicy wysokości z tytułu zakrzywienia linii pionu wyniesie 0.1 mm. Stąd w praktycznych

zagadnieniach taką redukcję pomijamy.

2. Niwelacyjna i grawimetryczna poprawka pływowa

Slajd 7:

Wychylenie linii pionu wywołane przyciąganiem Słońca i Księżyca zilustrowano na rys. Wektor

ciężkości ziemskiej w punkcie P oznaczono przez g. Przyciąganie Słońca i Księżyca generuje niewielki

wektor przyciągana grawitacyjnego δgSK. Wektor ten działa na kierunku określonym kątem

zenitalnym zSK. Suma wektorów g i δgSK jest równa wektorowi gSK wychylonemu od pierwotnego

kierunku o niewielki kąt υ. Wartość tego kąta łatwo można obliczyć na podstawie g i δgSK [22]. Z kolei

grawitacyjne przyciąganie Słońca albo Księżyca można obliczyć znając masy i rozmiary obu ciał oraz

ich odległości i kierunek działania tego przyciągania [23]. Ostatecznie kierunek linii pionu czyli

kierunek wektora ciężkości po uwzględnieniu przyciągania obu ciał niebieskich musi jeszcze

uwzględniać różne położenie obu ciał względem punktu P. Jest to realizowane dla kierunku danego

azymutu A i azymutu Słońca oraz Księżyca w danym momencie. Wartość wychylenia linii pionu Θ jest

wychyleniem linii w płaszczyźnie azymutu A [24].

Slajd 8:

Niektóre wielkości wzoru [24] są stałe stąd można je obliczyć, podać w postaci współczynników i w

ten sposób uprościć wzór [25]. Zmiennymi pozostają współrzędne Słońca i Księżyca (azymut, kąt

zenitalny) oraz azymut kierunku na powierzchni Ziemi (A). Współrzędne są zmienne w czasie, co

oznacza, że ich wartość należy obliczyć na określony moment. Wymaga to znajomości tego momentu

(czas) ale również informacji o wyjściowym położeniu obu ciał. To drugie znajdziemy w Roczniku

Astronomicznym w funkcji współrzędnych równikowych godzinnych. Konieczne zatem będzie

powiązanie tych współrzędnych z układem horyzontalnym (z, A - trójkąt paralaktyczny).

Wychylenie linii pionu wpływa na orientację (spoziomowanie) np. niwelatora wykonującego pomiar

niwelacji precyzyjnej. Inne spoziomowanie generuje inne mierzone przewyższenia a zatem inne

wyniki niwelacji. W związku z tym wyniki pomiarów niwelacyjnych należałoby odnieść do warunków

pomiaru niezależnych od zmiennego wpływu Słońca i Księżyca. Wychylenie linii pionu o kąt δΘ

powoduje przyrost wysokości proporcjonalnie do s. W związku z tym δh czyli tzw. poprawka pływowa

wyniesie [26]. Elastyczne własności skorupy Ziemi sprawiają, że teoretycznie obliczony przyrost

wysokości jest rekompensowany zgodnie ze współczynnikiem elastyczności γ. W Polsce przyjmuje się

jego wartość równą 0.8. Zatem poprawka pływowa do wyników niwelacji oblicza się ostatecznie z

wzoru [27]. Warto zauważyć, że dla takiego samego położenia wpływa Księżyca jest dwukrotnie

większy niż wpływa Słońca.

Ze względu na czas wykonywania pomiaru odcinka niwelacyjnego (długość odcinków, niwelacja "tam

i z powrotem") poprawkę wprowadza się tylko do przewyższenia na kierunku "tam" i "z powrotem",

czyli dla średniego położenia Słońca i Księżyca w czasie pomiaru w każdym z ww. kierunków.

Potrzebne są zatem założenia co do czasu pomiaru a także zmienności azymutu odcinka

niwelacyjnego. Czas pomiaru dla danego kierunku nie powinien być większy niż 2.5h, ∆α<15°.

Slajd 9:

Zjawisko przyciągania Słońca i Księżyca wpływa również na wartość pomiaru przyspieszenia

ciężkościowego na powierzchni Ziemi. Tym razem interesuje nas składowa pionowa δgw wektora

przyciągania δgSK. Zwrot wektora δgw będzie przeciwny do wektora ciężkości a zatem przyciąganie

ww. ciał niebieskich będzie zmniejszać mierzone przyspieszenie. Wartość δgw podobnie jak

poprzednio zależy od położenia obu ciał względem punktu pomiaru przyspieszenia na powierzchni

Ziemi. Zamiast azymutu nieistotnego na kierunku pionowym ważna jest wartość paralaksy Π obu ciał.

Wzór [28] służy do obliczenia przyrostu przyspieszenia wynikającego przez grawitacyjne

oddziaływanie Słońca i Księżyca. Pozwala on obliczyć poprawkę z dokładnością poprawki 0.01 mGal.

Pierwsza jego część związana z wpływem Księżyca osiąga maksymalne wartości rzędu 165 mGal,

druga - wpływ Słońca - to maksymalnie 76 mGal. Na pomiar przyspieszenia na f.p.Z. wpływają

również inne planety. Wpływ ten jest jednak znikomy i nie przekracza w sumie 0.01 mGal.

Obserwacje pływów dostarczają cennych informacji nt. pola ciężkościowego Ziemi i budowy oraz

własności skorupy Ziemi. Stąd wykonuje się je permanentnie stacjach pływowych za pomocą

grawimetrów stacjonarnych (pływowych).

3. Niwelacja astronomiczna i astronomiczno-grawimetryczna

Slajd 10:

Zastosowanie informacji o przebiegu geoidy/quasi-geoidy

Odstępy geoidy/quasi-geoidy od elipsoidy są niezbędne do:

-

wyznaczenia kształtu bryły Ziemi,

-

redukcji obserwacji geodezyjnych na powierzchnię odniesienia (elipsoidę),

-

integracji niwelacji klasycznej i satelitarnej.

Wyznaczenie przyrostów odstępów geoidy/quasi-geoidy od elipsoidy jest możliwe za pomocą

odpowiedniego opracowania pomiarów astronomicznych, geodezyjnych (w tym satelitarnych) i

grawimetrycznych.

Niwelacja astronomiczna (astronomiczno-geodezyjna) polega na wyznaczaniu przyrostów odstępów

(dN) na podstawie znanych składowych (ξ,η) względnego odchylenia linii pionu (θ) w punktach

wybranego profilu i w kierunku określonym azymutem (α).

Rysunek: w P0 punkcie początkowym pewnego profilu powierzchnia geoidy pokrywa się z

powierzchnią elipsoidy. Stąd odstęp między ww. powierzchniami jest zerowy a linia pionu pokrywa

się z normalną do elipsoidy. W kolejnym punkcie P1 omawianego profilu odległym od P o niewielka

odległość ds01 nachylenie obu powierzchni zmienia się a w związku z tym odchylenie linii pionu od

normalnej wzrasta do wartości Θ12 wobec tego na drodze ds. nastąpił przyrost odstępu dN1. Na

drodze od P1 do P2 nastąpił podobny przyrost odchylenia do wartości Θ23 i odpowiedni przyrost

odstępu do wartości dN2. Przyrosty odstępów dN są w ścisłym związku z odpowiadającymi im

przyrostami odchylenia Θ na drodze s, zgodnie z wzorem [29], przy czym znak „_” określa kierunek

wzrastania odstępu. A zatem wysokość punktu końcowego K tego profilu nad elipsoidą będzie można

obliczyć po scałkowaniu zależności [29] czyli wzorem [30]. W praktyce nie można zrealizować tego

wzoru ze względu na zmienną wartość odchylenia linii pionu na danym odcinku. Zmienność tą nie da

się opisać jakąś zależnością funkcyjną co wyklucza całkowanie analityczne. Stąd istnieje konieczność

podziału profilu na krótkie odcinki i sumowaniu przyrostów odstępów na każdym z nich (całkowanie

numeryczne).

Wartości odchylenia linii pionu oblicza się w kolejnych punktach profilu z metody astro-geodezyjnej,

czyli na podstawie znanych współrzędnych Φ,Λ-astronomicznych i ϕ,λ- geodezyjnych zgodnie z

wzorami [31].

Slajd 11:

Zgodnie z powyższym odstęp w punkcie końcowym będzie równy sumie odstępów obliczonych na

poszczególnych punktach profilu A-B na f.p.Z. wg wzoru [32], przy czym do obliczenia każdego z nich

wykorzystuje się średnie odchylenie wyznaczone na sąsiednich punktach [33]. Przy założeniu liniowej

zmiany odchylenia na kolejnych odcinkach (i;i+1) przyjmuje się graniczne długości odcinków:

S < 20km na obszarach nizinnych

S < 3-5km na obszarach górskich.

Obliczenie odstępu dla odchyleń pionu znanych na fizycznej powierzchni Ziemi (punkty P0,...PK

znajdują się na f.p.Z.) należy uwzględnić dodatkowo zmianę krzywizny powierzchni

ekwipotencjalnych geopa z f.p.Z. (θfpZ ≠ θgeoida = θ0) w porównaniu z geoidą (drugi składnik wzoru

[34]). Składnik ten można obliczyć na podstawie odpowiedniego rozpoznania grawimetrycznego

zgodnie z zależnością [35], gdzie: gsr – średnie przyspieszenie w kolejnych punktach profilu A-B, „g z

kreską” – przyspieszenie przeciętne w połowie wysokości (zredukowane redukcją Poincarego-Preya),

H – wysokości punktów nad geoidą.

Warto przypomnieć, że geopem – nazywamy powierzchnię ekwipotencjalną potencjału

rzeczywistego ciężkościowego na poziomie dowolnego punktu, geopem na poziomie morza jest

geoida.

Niwelacja astronomiczno-grawimetryczna

Ten rodzaj niwelacji wykorzystuje zarówno pomiary astronomiczno-geodezyjne (jak poprzednio

omawiana niwelacja) jak i odchylenia wyznaczone metodą Veniga-Meinesza z map anomalii

grawimetrycznych oraz odstępy określone metodą Stokesa (metoda grawimetryczna badania figury

Ziemi). Ogólny wzór realizujący niwelację astronomiczno- grawimetryczną ma postać [36],

gdzie: ζB,ζA – undulacja quasi-geoidy w punktach A i B,

θB,θA – astronomiczne odchylenie linii pionu,

NA,NB – undulacja geoidy w punktach A i B (metoda grawimetryczna Stokesa),

θ gr gr

B ,θA – grawimetryczne odchylenie linii pionu z map anomalii grawimetrycznych (Venig-Meinesz),

S – odległość między punktami A i B.

Metoda niwelacji astronomiczno-grawimetrycznej umożliwia ograniczenie liczby punktów, w których

wykonuje się obserwacje astronomiczne do wyznaczenia astronomicznego odchylenia linii pionu