3. CA LKA POWIERZCHNIOWA NIESKIEROWANA 1. Obliczyć:

a)

Z Z

x + arctgz

√

dS,

S

1 + 4z

gdzie S to powierzchnia paraboloidy z = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ h, h > 0; b)

Z Z

(x2 + y2)dS,

S

gdzie S jest brzegiem obszaru {(x, y, z) ∈

3

R : px2 + y2 < z < 1}.

2. Naszkicować powierzchnie dana równaniem

,

,

p

z =

2xy,

gdzie

0 < x < 2,

0 < y < 4.

i obliczyć jej pole.

3. Obliczyć mase,

a) jednorodnej powierzchni danej w postaci parametrycznej

 x(t, s) = t cos s



y(t, s) = t sin s , t ∈ (0, 1), s ∈ (0, 2π);



z(t, s) = s

b) powierzchni stożka z2 = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ h, wiedzac, że gestość powierzchniowa w

,

,

dowolnym punkcie jest wprost proporcjonalna do odleg lości tego punktu od p laszczyzny XY .

4. Wyznaczyć wspó lrzedne środka masy jednorodnej powierzchni paraboloidy z = x2 + y2

,

dla 0 ≤ z ≤ 1.

5. Obliczyć moment bezw ladności jednorodnej powierzchni sześcianu

{(x, y, z) ∈

3

R : max{|x|, |y, |z|} = a}

wzgledem poczatku uk ladu wspó lrzednych.

,

,

,