Egzamin z Rachunku Prawdopodobie ństwa II, 25 I 2005

cz¸eść zadaniowa

Prosz¸e wybrać cztery z poniższych zadań i pisać rozwiązanie każdego z nich na osobnej kartce. Jeśli ktoś odda rozwiązania pi¸eciu zadań, uwzgl¸ednione zostaną cztery najniższe oceny, wi¸ec nie doradzam takiego post¸epowania.

Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 15 punktów.

1. Rzeczywiste zmienne losowe X0, X1, X2, . . . określone są na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F , IP ) i tworzą łańcuch Markowa o wartościach w dwuelementowej przestrzeni stanów {1, 2}. Określamy naturalną filtracj¸e Fn = σ(X0, X1, . . . , Xn) dla n = 0, 1, 2, . . . Wiedząc, że ciąg (Xn, Fn)∞

n=0

jest martyngałem i że IP (X0 = 1) = IP (X0 = 2) = 1/2, prosz¸e udowodnić, iż jest on jednorodny (w czasie) i wyznaczyć jego macierz przejścia.

2. Rzeczywista zmienna losowa Y ma funkcj¸e charakterystyczną zadaną wzo-rem ϕY (t) = e−|t|p, gdzie p ∈ (0, 2]. Prosz¸e wyznaczyć wszystkie wartości parametru p, dla których E|Y | < ∞.

3. Prosz¸e podać pełny dowód faktu mówiącego, że jeśli rzeczywista zmienna losowa Z ma skończony absolutny n−ty moment dla pewnej liczby nat-uralnej n, to jej funkcja charakterystyczna jest n−krotnie różniczkowalna.

Wolno korzystać z twierdzeń z wykładu analizy, pod warunkiem podania ich precyzyjnego sformułowania.

4. Niezależne rzeczywiste zmienne losowe X1, X2, . . . mają jednakowy rozkład:

∀k IP (Xk = 1/2) = IP (Xk = 2) = 1/2. Niech Yn = (X1 · X2 · . . . · Xn2)1.

Prosz¸e udowodnić, że istnieje zmienna losowa rzeczywista Y taka, iż ciąg Yn zbiega do Y według rozkładu przy n → ∞. Prosz¸e też obliczyć g¸estość tej zmiennej.

5. Mamy rozegrać co najmniej jedną, a co najwyżej dziesi¸eć tur gry w trzy karty. W każdej turze możemy postawić dowolną nieujemną kwot¸e nie wi¸ekszą niż nasz aktualny stan posiadania. Jeśli wygrywamy, co dzieje si¸e z prawdopodobieństwem 1/3, dostajemy naszą stawk¸e z powrotem i wygrywamy drugie tyle. Jeśli przegramy, co dzieje si¸e z prawdopodobieństwem 2/3, to postawione pieniądze tracimy. Wyniki poszczególnych tur (tzn. to, czy je wygramy, czy przegramy) są niezależne. Zaczynamy z kapitałem 100

zł i chcemy zmaksymalizować prawdopodobieństwo tego, że zakończymy gr¸e z kapitałem nie mniejszym niż 200 zł. Jedna strategia gry jest szczególnie prosta: stawiamy całe 100 zł w pierwszej turze - z prawdopodobieństwem 1/3 wygrywamy i na tym możemy zakończyć gr¸e, bo mamy już wt-edy 200 zł, natomiast z prawdopodobieństwem 2/3 przegrywamy i na tym gra si¸e kończy (bo nie mamy już za co grać). Udowodnić, że inna strategia nie da wi¸ekszej szansy na zakończenie gry z 200 zł. Uwaga: strategia musi wyznaczać wielkość stawek w kolejnych turach bez uwzgl¸ednienia

wyników tych tur gry, które jeszcze si¸e nie odbyły (nie umiemy przewidy-wać przyszłości)!

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobie ństwa II, 25 I 2005

cz¸eść testowa

IMI ¸E I NAZWISKO: ......................................

Prosz¸e podawać same odpowiedzi, tylko one b¸ed ˛

a oceniane.

1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F , IP ), gdzie Ω = {1, 2, 3}, F = 2Ω, IP = 1 (δ

3

1 + δ2 + δ3). Rozważamy w niej filtracj¸e zadaną przez

F0 = {∅, {1, 3}, {2}, Ω} i Fn = F dla n ≥ 1. Na Ω dany jest moment stopu τ wzgl¸edem filtracji (Fn)∞

n=0 taki, że τ (1) = τ (3) = 1, τ (2) = 0. Prosz¸e

obliczyć moc σ−ciała Fτ : . . .

2. Rzucamy milion razy symetryczną monetą. Korzystając z twierdzenia de Moivre’a-Laplace’a, prosz¸e podać przybliżoną wartość prawdopodobieństwa tego, że orłów wypadnie co najmniej o tysiąc wiecej niż reszek. Wynik można wyrazić używając funkcji Φ (dystrybuanty rozkładu N (0, 1)).

Odpowiedź: . . .

3. W potasowanej talii 52 kart jest 26 kart czarnych i 26 kart czerwonych.

W kolejnych turach gry losujemy z tej talii bez zwracania po jednej kar-cie. Niech Xn oznacza liczb¸e czerwonych kart wyciągni¸etych do n−tej tury włącznie, zaś Fn = σ(X1, X2, . . . , Xn) dla n = 1, 2, . . . , 52. Czy ciąg (Xn, Fn)52

n=1 jest

a) nadmartyngałem? (TAK / NIE) ...

b) martyngałem? (TAK / NIE) ...

c) podmartyngałem? (TAK / NIE) ...

4. Dany jest jednorodny łańcuch Markowa określony na przestrzeni stanów

{1, 2, 3}. Prawdopodobieństwa przejścia spełniają równości p1,1 = p1,2 = p2,1 = p2,3 = p3,2 = p3,3 = 1/2.

a) Czy ten łańcuch Markowa jest nieprzywiedlny? (TAK / NIE) ...

b) Prosz¸e obliczyć rozkład stacjonarny: ...

5. Czy poniższe funkcje są funkcjami charakterystycznymi rzeczywistych zmiennych losowych:

a) ϕ(t) = cos(4t)? (TAK / NIE) ...

b) ϕ(t) = | cos t|? (TAK / NIE) ...

c) ϕ(t) = cos5 t (TAK / NIE) ...