Wymagania na egzamin (teoria - rozdziały 1-9)

Na egzamin obowiązuje znajomość całego wykładu. Należy zwrócić szczególną uwagę na poniższe

zagadnienia:

Definicje

− ciało, σ-ciało, ciało generowane przez rodzinę zbiorów, σ-ciało generowane przez rodzinę zbiorów

− zbiory borelowskie, zbiory typu F-sigma i typu G-delta

− przestrzeń mierzalna, zbiory mierzalne

− miara, miara skończona, miara σ-skończona, miara zupełna

− przestrzeń z miarą

− przeliczalna i skończona addytywność, przeliczalna i skończona podaddytywność (subaddytywność)

− miara zewnętrzna, warunek Carathéodory’ego

− przedział (k-wymiarowy), objętość przedziału

− miara zewnętrzna Lebesgue'a, miara Lebesgue'a, zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a

− translacja (przesunięcie) i jednokładność

− zbiór Vitalego

− funkcja mierzalna (względem σ-ciała), funkcja borelowska, funkcja mierzalna w sensie Lebesgue'a

−

–

funkcje f+ i f

− funkcja charakterystyczna zbioru, funkcja prosta, postać normalna funkcji prostej

− całka (Lebesgue’a) funkcji prostej

− całka (Lebesgue’a) nieujemnej funkcji mierzalnej

− zachodzenie własności prawie wszędzie, równość p.w., zbieżność p.w., funkcja p.w. skończona

− całka Lebesgue’a dowolnej funkcji mierzalnej, funkcja posiadająca całkę, funkcja całkowalna

− całka na podzbiorze

Twierdzenia (w nawiasie numer twierdzenia, własności lub wniosku)

− własności σ-ciała (1.1) – dowód

− o przekroju σ-ciał (1.2) – dowód

− własności σ-ciała generowane przez rodzinę zbiorów (1.3) – dowód

− własności miary (1.5) – dowód trzech własności (dowolnie wybranych)

− własności zbiorów miary zero (1.6)

− o rozszerzaniu miary do miary zupełnej (1.7) – dowód jednego punktu

− własności miary zewnętrznej (2.1) – dowód jednej własności

− Carathéodory’ego – dowód punktu (1) lub punktów (2) i (3)

− warunki równoważne definicji miary zewnętrznej Lebesgue'a (3.1)

− własności miary zewnętrznej Lebesgue'a (3.2) – dowód

− o mierzalności przedziału i o mierze przedziału (3.11, 3.9)

− o mierzalności zbiorów borelowskich (3.13) – dowód

− charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a (3.14) – dowód równoważności wybranego warunku z mierzalnością

− o niezmienniczości miary Lebesgue'a na translację (4.1)

− o mierze Lebesgue’a zbiorów przekształconych przez jednokładność (4.2)

− Vitalego (wraz z wnioskiem dotyczącym Rk) (4.3, 4.4) – dowód tw. Vitalego (4.3)

− warunki równoważne mierzalności funkcji (5.1) – dowód

− warunki równoważne mierzalności funkcji skończonej (5.2)

− o mierzalności zbiorów zdefiniowanych przy pomocy funkcji mierzalnych (5.6, 5.4) – dowód jednego warunku z tw. 5.6

− o działaniach na funkcjach mierzalnych (5.7) – dowód trzech warunków

− o mierzalności kresów i granic (5.8) – dowód jednego warunku

− o mierzalności złożenia funkcji (5.9)

− o postaci funkcji prostej (6.2) – dowód

− o aproksymacji nieujemnej funkcji mierzalnej funkcjami prostymi (6.6)

− o całce nieujemnej funkcji mierzalnej jako granicy całek funkcji prostych (6.7)

− własności całki nieujemnej funkcji mierzalnej (6.8) – dowód trzech warunków

− własności całki dowolnej funkcji mierzalnej wraz z wnioskiem (7.3, 7.4) – dowód trzech warunków

− o całkowalności na podzbiorze (7.5)

− o przeliczalnej addytywności całki względem zbioru (7.7)

− Lebesgue’a-Leviego o zbieżności monotonicznej wraz z wnioskami (8.1, 8.2, 8.3, 8.4) – dowód tw. (8.1)

− Lemat Fatou (8.5) – dowód

− Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej wraz z wnioskami (8.6, 8.7, 8.8, 8.9) – dowód tw. (8.6)

− o związku całki Riemanna z całką Lebesgue’a (9.1)

− o związku całki niewłaściwej Riemanna z całką Lebesgue’a (9.2)

Wymagania dotyczące dalszej części wykładu zostaną podane później