2009 rok, I termin
Punktacja: każde zadanie 2 pkt.
1. W R rozważamy topologię τ = {U ⊂ R : N ∩ U = ∅} ∪ { R }. Czy (R , τ ) spełnia aksjomaty: a) I AP
b) II AP
c) T0
d) T1 ?
2. Rozważamy na R topologię τ zadaną przez bazę β = {( k, a] : k ∈ Z , a ∈ Q , k < a}.
√
a) Czy przedział (1 ,
2) jest otwarty w topologii τ ?
b) Czy przedział [1 , 3 ] jest domknięty w topologii τ ?
2
c) Czy topologia naturalna na R jest słabsza niż topologia τ ?
d) Czy na N topologie: τ i naturalna, indukowane z R na N, są równe ?
3. Wyznaczyć wnętrze i domknięcie zbioru A = {( x, y) ∈
2
R : x > 0 , y > 0 , x + y < 1 }
w przestrzeni
2
R rozważanej
a) z topologią produktową topologii prawych odcinków i dyskretnej
b) z metryką węzła kolejowego (0 , 0).
4. Czy funkcja f : X 3 x 7→ |x| + 1 ∈ Y jest ciągła, jeśli X = R, Y = R rozważamy z topologiami:
a) X oraz Y z topologią prawych odcinków
b) X oraz Y z topologią wyróżnionego punktu 0
c) X z topologią naturalną, Y z topologią dopełnień skończonych d) X z topologią dopełnień skończonych, Y z topologią naturalną ?
5. Czy zbiór {( x, x) ∈
2
2
R : x ∈ [0 , 1] } jest spójny w przestrzeni R rozważanej z topologią a) banalną
b) naturalną
c) pochodzącą od metryki rzeki R × { 0 }
d) pochodzącą od metryki węzła kolejowego (0 , 0) ?
6. Rozważamy
2
R z metryką euklidesową. Czy zbiór A = ( B × R) ∪ (R × B), gdzie B = { 0 } ∪ { 1 : n ∈
2 jest przestrzenią
n
N , n 1 }, z metryką indukowaną z R
a) lokalnie spójną
b) zupełną
c) spójną
d) lokalnie zwartą ?
7. Czy dla dowolnej funkcji ciągłej f : X → Y (gdzie X, Y są przestrzeniami topologicznymi) i dowolnego zbioru A ⊂ X prawdziwe są implikacje:
a) A otwarty w X = ⇒ f ( A) otwarty w Y
b) A spójny = ⇒ f ( A) spójny
c) A drogowo spójny = ⇒ f ( A) drogowo spójny
d) A gęsty w X = ⇒ f ( A) gęsty w f ( X) ?
8. Podane niżej zbiory podzielić na grupy tak, aby dowolne dwa zbiory z tej samej grupy były homeomorficzne, a dowolne dwa zbiory z różnych grup nie były homeomorficzne: a) (( − 1 , 1) × { 0 }) ∪ ( { 0 } × ( − 1 , 1)) b) ( − 1 , 1)
c) {( x, y) ∈
2
R : x ∈ R , y = x lub y = −x}
d) [ − 1 , 1]
e) {( x, y) ∈
2
R : x 2 + y 2 = 1 } \ {(1 , 0) }
f) {( x, y) ∈
2
R : x 2 + y 2 = 1 }
Wszystkie zbiory rozważamy z topologią naturalną indukowaną z
2
R lub R.
9. Podać przykład podzbioru A przestrzeni
2
R rozważanej z topologią naturalną, takiego, że: A
ma 3 składowe spójne, Int A = ∅, A jest spójny.
10. Niech A będzie brzegowym podzbiorem przestrzeni metrycznej X. Czy dla każdego zbioru B ⊂ A zachodzi
a) B jest brzegowy w X
b) B jest nigdzie gęsty w X
c) B nie jest gęsty w X
d) B nie jest domknięty w X ?
11. Pokazać na przykładzie, że teza tw. Banacha o punkcie stałym nie zachodzi, jeśli w założeniach pominiemy zupełność przestrzeni (wszystkie inne założenia mają być spełnione).